梯形面積問(wèn)題之求解

何秋霞

摘要：以向量為背景研究梯形的相關(guān)問(wèn)題；從幾何（勾股定理）、三角函數(shù)、向量分解、坐標(biāo)的視角給出梯形面積的不同求法。

關(guān)鍵詞：梯形面積；向量；基底；三角函數(shù)；坐標(biāo)

以梯形為背景考查向量的相關(guān)問(wèn)題是常見(jiàn)的，但以向量為背景考查梯形相關(guān)問(wèn)題，就顯得奇異。那么，向量視角下，如何研究梯形的相關(guān)問(wèn)題呢？是以向量為手段，還是轉(zhuǎn)化為平幾？

【點(diǎn)評(píng)】（1）證明一個(gè)四邊形是梯形，關(guān)鍵是找到那一對(duì)平行的邊——解析一是通過(guò)基底表示來(lái)完成了這一證明。而且，這一想法應(yīng)該是自然生成的。（2）本題求梯形的面積中，最難的是如何求梯形的高。由基底想到求四邊形的各邊長(zhǎng)，再通過(guò)勾股定理完成高的計(jì)算，應(yīng)該說(shuō)是基底思想的基本應(yīng)用。很明顯，這種方法計(jì)算量超大，能改進(jìn)嗎？

2. 視角二：分解+三角函數(shù)

在筆者展示學(xué)生提供的解法一時(shí)，有學(xué)生提出：筆者改卷時(shí)判分存在問(wèn)題。筆者將其求解過(guò)程投影，并要求其講述自己的思維過(guò)程。

【點(diǎn)評(píng)】（1）解析二存在一個(gè)問(wèn)題：E、P、G、Q四點(diǎn)在同一條直線上嗎？筆者將該解法投影后，就有學(xué)生指出上述問(wèn)題。那么，能完善這種解法嗎？首先證明四邊形PDFQ為平行四邊形，其次證明PE∥AB、QG∥AB。遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有解析一快捷。（2）求梯形的面積較解析一簡(jiǎn)便了許多。求梯形的高，應(yīng)用三角函數(shù)定義簡(jiǎn)化了計(jì)算。另外，也可以考慮求B到PQ的距離。方法和前面類似。

3. 視角三：分解+相似比

解析二也給我們提供了一種求高的想法——將AP分解，將求高轉(zhuǎn)化為求三角形的相似比。

【點(diǎn)評(píng)】（2）將梯形的高轉(zhuǎn)化為三角形的相似比，避開(kāi)了向量的復(fù)雜計(jì)算。應(yīng)該是向量法（基底思想）中最簡(jiǎn)單的方法。

4. 視角四：坐標(biāo)法

【分析四】解決向量問(wèn)題的另一個(gè)常用方法就是建立直角坐標(biāo)系，將向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的運(yùn)算。如何建系呢？以A為原點(diǎn)或以B為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建系，都可以。

【點(diǎn)評(píng)】坐標(biāo)法求得P、Q的坐標(biāo)，恰巧的是P的縱坐標(biāo)就是梯形的高。一步，既解決了梯形中平行的證明，又解決了梯形的高，妙！

縱觀以上四種解法，從最開(kāi)始的迷茫，到有想法（繁瑣的計(jì)算），再到簡(jiǎn)化計(jì)算，每一次思考都有一個(gè)層次，而通過(guò)比較，自然在以后的求解中會(huì)優(yōu)先選擇坐標(biāo)法——畢竟由基底給定的向量，其坐標(biāo)也是一定的，進(jìn)而就能解決問(wèn)題了。解析三給人的沖擊也是蠻大的——給定基底，自然蘊(yùn)涵了向量的加法，也就存在比例問(wèn)題?；姿枷胧墙y(tǒng)一思想：將所有向量用兩個(gè)已知的向量表示，將所有向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為兩個(gè)已知向量的運(yùn)算，是數(shù)學(xué)中重要的一種思想。endprint