以“數學素養(yǎng)”導引數學活動
——《幾何圖形》教學實錄與思考

胡 松

(江蘇省南京市第二十九中學初中部 210000)

《義務教育數學課程標準(2011年版)》明確指出：數學是人類文化的重要組成部分，數學素養(yǎng)是現代社會每一個公民應該具備的基本素養(yǎng)．作為促進學生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發(fā)揮數學在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用．可見，“數學素養(yǎng)”作為數學教育的價值之一被數學課程所重視，發(fā)展學生的“數學素養(yǎng)”也應該成為數學課堂的必要任務．為此，我們在開展數學活動時，必須以“數學素養(yǎng)”為目標，導引課堂的方向與目標．本文結合《幾何圖形》的教學實踐，談談本人的思考．

1 課堂實錄

活動一

(1)欣賞圖片，觀察生活空間，抽象圖形．

師：請觀察圖片中各種各樣的物體，你看到了什么？

生1：我看到了這些物體有不同的形狀，比如五星紅旗上有五角星，五星紅旗是長方形的．

生2：我看到了東方明珠上有球．

生3：……

師：除了這些物體的形狀，你還關注到了什么？

生1：我關注到了這些物體的顏色．

生2：我關注到了這些物體是有大小的，比如東方明珠上的兩個球一個大，一個小．

生3：我關注到了這些物體的位置，比如高速公路上的線都是平行的．

師：物體具有很多性質，物體的形狀、大小和位置關系才是幾何研究的內容．

師：在生活中和我們今天的現場，還能找到哪些熟悉的圖形，請你舉例．

生：冰箱可以看成長方體，鉛筆可以看成圓柱，筆尖部分可以看成圓錐……

設計意圖

這一環(huán)節(jié)從觀察各種物體開始，分兩個步驟進行．第一步驟，觀察圖片，讓學生認識到形狀、大小和位置關系是幾何研究的內容；第二步驟，再聯系生活，找出生活中物體的外形對應的圖形．這一環(huán)節(jié)中，學生對圖形的認識肯定還不是那么明確，還是在小學辨認圖形的基礎上進行回憶，這一環(huán)節(jié)可以稱為學生對圖形的第一次抽象，大部分學生應該停留在“模型即圖形”的層面．作為小學學習的延續(xù)，這一次抽象雖然不完整，但能讓學生體會到數學研究的內容，初步接受用數學的眼光認識世界的角度．

(2)觀察長方體模型，形成幾何圖形的概念．

師：同學舉例說到生活中有各種各樣的長方體形狀的物體，那么請同學們不用眼睛看，從學具袋中，摸出一個長方體的模型并觀察你手中的長方體，說說你對長方體有什么認識？

生1：長方體有6個面，12條棱，8個頂點．

師：這6個面有什么特征呢？

生2：6個面都是長方形，它們兩兩相對，相對的兩個面完全相同．

師：說的很好，他在描述這6個面的時候，注意到了從這6個面的形狀、大小和位置關系的角度去描述．那12條棱和8個頂點呢？

生3：12條棱可以分成3組，每組的4條棱長度相等，并且互相平行．

生4：8個頂點由兩條棱相交得到．

師：我們從各種各樣的長方體物體中抽象出來的長方體、長方形、線和點，都稱為幾何圖形，剛剛大家舉出的各種各樣物體中抽象出來的圖形，也都是幾何圖形．

設計意圖

這一環(huán)節(jié)是觀察長方體模型，從中抽象出長方體、長方形、線和點．設計這一環(huán)節(jié)是為了延續(xù)上一個環(huán)節(jié)，學生在“模糊抽象”的基礎上，對熟悉的長方體進行從整體到局部的觀察，完成對圖形的第二次抽象．這一次抽象的過程，讓學生完全理解了如何用數學的眼光觀察世界的方法，在接下來的活動中，也會根據這一數學活動的經驗，去做出判斷和選擇．

(3)認識棱柱和棱錐．

師：在幾何圖形的世界里，有些圖形我們還不太熟悉，今天我們來認識其中的兩個．請大家看看(出示小熊餅干包裝)，說說你對這個物體抽象出來的幾何圖形有什么認識．

生1：它有點類似圓柱，只是上下兩個底面不是圓，是多邊形．

師：這樣的幾何圖形我們稱為棱柱……

師：再請大家看看另一位新朋友(出示金字塔型包裝)，你對這個物體抽象出來的幾何圖形又有什么認識．

生2：它有點類似圓錐，只是底面不是圓，是多邊形．

師：這樣的幾何圖形我們稱為棱錐……

設計意圖

這一環(huán)節(jié)是學生第一次認識棱柱和棱錐．對于棱柱和棱錐，小學沒有介紹．這里通過學生的觀察，類比長方體的認識過程，或類比圓柱和圓錐的認知過程，得到棱柱和棱錐的外形特征，從而完善初中簡單幾何體的知識．在這一環(huán)節(jié)中，培養(yǎng)學生能夠通過自覺的聯系和推理，發(fā)現已有知識和未知知識之間的聯系，從而對未知知識的探索和認識更加的深刻．

(4)將幾何圖形分類．

師：請大家將幾何圖形進行分類，先獨立思考，再和同桌交流一下，說說你分類的結果和分類的依據．

生1：我把幾何圖形分為兩類，一類是立體的，比如：長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等；一類是平面的，比如：正方形、長方形、圓、三角形等．

師：那能說說看什么是立體的，什么是平面的？它們有什么區(qū)別呢？

生1：立體的有多個面，平面的只有一個面．

生2：立體的要占據空間，有體積，平面的不占據空間，只有面積．

師：一個幾何圖形的各部分不在同一平面內，這個幾何圖形是立體圖形．一個幾何圖形的各部分在同一平面內，這個幾何圖形是平面圖形．

設計意圖

這一環(huán)節(jié)是對幾何圖形進行分類，區(qū)分立體圖形和平面圖形．這一環(huán)節(jié)是學生對抽象出的幾何圖形的再次認識，通過學生自己的理解和表達，表述立體圖形和平面圖形的區(qū)別．這里的難點在于如何用準確的語言表達立體圖形和平面圖形的區(qū)別，學生的表達可能是含糊的，生活化的，教師可以幫助學生逐漸完善．這一環(huán)節(jié)，通過盡可能讓學生自己表達自己的觀點，培養(yǎng)學生用數學語言表達世界的素養(yǎng)．

活動二

(1)折疊棱錐和棱柱．

師：請大家觀察一下老師發(fā)給大家的紙片，你有什么想法？

生1：這張紙片可以看成是平面圖形，我們可以通過折疊，得到一個立體圖形．

師：好，那大家動手折一折．你得到什么？

生2：我得到一個三棱柱的模型．

生3：我得到一個四棱錐的模型．

師：通過剛剛的活動，大家有什么感悟？

生：能夠體會到平面圖形可以圍成立體圖形，立體圖形也可以展開成平面圖形．

(2)描述棱柱和棱錐的特征．

師：我們發(fā)現一個平面圖形可以圍成一個立體圖形，請觀察折成的三棱柱模型，說說三棱柱的表面包含哪些平面圖形？

生1：三棱柱的表面包含2個三角形和三個長方形．

生2：兩個三角形完全相同，并且是相對的兩個面，三個長方形也是完全相同的，并且是相連的．

生3：三棱柱有9條棱，6個頂點．

師：我們看出，有些立體圖形的表面包含著一些平面圖形．反之，我們也可以利用這些平面圖形來描述立體圖形．請觀察手中的四棱錐模型，描述四棱錐的特征．

生4:四棱錐的側面是四個相鄰的等腰三角形，底面是一個正方形．四棱錐有8條棱，1個頂點．

設計意圖

在活動一中，學生對棱柱和棱錐進行了第一次認知，但顯然學生的認識不充分，所以在活動二中，設計了對棱柱和棱錐的第二次認知活動．折疊棱柱和棱錐的模型并對它們的特征進行描述，目的有兩個：第一，通過喚醒小學折疊正方形的記憶，讓學生對立體圖形和平面圖形的聯系有初步的感受，在觀察、操作、想象、交流中發(fā)展空間觀念；第二，觀察棱柱和棱錐，對立體圖形表面中包含的平面圖形進行描述，逐步規(guī)范學生的數學語言．這一活動將觀察、思考、表達融合在一起，發(fā)展學生的空間觀念和推理能力，培養(yǎng)學生用數學思維分析世界的數學素養(yǎng)．

活動三

(1)摸出指定的幾何體．

師：請同學拿出學具袋，同桌選一位代表，老師說出一個幾何體的名稱，請你從袋子中摸出它的模型，舉起來，然后我們請摸的最快的同學說說你是怎么摸到的．

師：請大家摸出一個三棱柱模型．說說怎么摸到的．

生1：我先摸有棱的模型，然后找有兩個完全相同的底面的，再找底面是三角形的．

師：同桌位換一位代表，請摸出一個四棱錐模型．說說怎么摸到的．

生2：我摸到有尖尖的模型，說明是椎體，再摸到棱，說明是棱錐，再摸底面是四邊形，說明是四棱錐．

(2)根據幾何體特征的描述，說出幾何體名稱．

師：請同桌互相合作，一位同學摸幾何體模型并描述它的特征，另一位同學猜猜它的名字，然后交換進行．老師提兩個要求：第一，描述幾何體的時候，注意使用數學語言，要有條理的表達；第二，自己選擇一個你認為描述最準確最好的幾何體，準備匯報．

生1：我描述的是球，球是一個無棱無頂點的圖形．

師：無棱無頂點就一定是球嗎？其他同學有沒有補充？

生2：不管從哪個角度看球體，它都是一個圓．

生3：我描述的是圓錐，圓錐有一個頂點，底面是圓形，側面不是平面，是曲面．

師：能不能再詳細的說說圓錐的側面呢？

生4：圓錐的側面可以展開成一個扇形．

師：很好！我們描述一個幾何體的時候，如果這個幾何體的各個面都是平面圖形，我們便可以通過這些平面圖形的形狀、大小和位置關系描述；如果有的表面不僅僅是平面圖形，我們也可以通過這些面的展開圖，或者從不同的方向去看，或者這些立體圖形的截面來描述．

設計意圖

課堂進行到這里，學生應該對“實物——模型——圖形——語言”有了初步的認識．這一環(huán)節(jié)中，學生將綜合前面所學，經歷一個由觸覺感受模型、頭腦想象圖形、語言表達圖形的完整過程，對本節(jié)課的活動過程再次進行完整的認識．

活動三分為兩個環(huán)節(jié)，第一個環(huán)節(jié)是本節(jié)課對棱柱和棱錐的第三次認識．通過觸覺，感受它們外形上的特征，完成觸覺感知后，在頭腦中想象它們的外形，這一環(huán)節(jié)的想象過程，要比前面的活動更為高級．第二個環(huán)節(jié)是同桌間進行的活動，完成“摸模型——想圖形——說特征”這個過程，活動中學生會再一次認識到棱柱和棱錐的特征，完成了本節(jié)課對棱柱和棱錐的第四次認識過程．活動中，學生除了摸到棱柱和棱錐以外，還會摸到不僅僅由平面圖形圍成的幾何體模型，如圓柱、圓錐、球等．學生會用展開和折疊、描述截面等方式來表達圖形，這些都是學生在活動中的閃光點．

小結與提升

師：利用今天學習的知識，向同學介紹“中國館”的外形．

生1：中國館的下半部分是四個完全相同的長方體，上半部分是一個由6個面組成的圖形，其中相對的兩個底面是正方形，上面的正方形大，下面的正方形小，其余4個側面都是相同的梯形．

師：剛剛這位同學在敘述的過程中，已經將中國館的外形進行了抽象，并且分成了上下兩個部分來描述，還有同學能對它的上半部分有其他的描述方式嗎？

生2：中國館的上半部分是一個四棱錐的頂部再切割掉一個小四棱錐，然后把這個圖形倒過來．

師：非常好，大家已經用不同的方式，去描述我們未知的圖形．當然，還有更加豐富的圖形世界，留待我們今后慢慢研究．

設計意圖

本節(jié)課的小結沒有采用傳統的問題式方式，而采用描述“中國館”的外形這一活動，學生能自覺的將它抽象成圖形，并分為兩個部分，一個部分是熟悉的長方體，可以通過名稱描述它的形狀，另一個部分是不熟悉的棱臺，可以通過表面的平面圖形或者通過熟悉的立體圖形描述它的形狀，其實質就是學生在這節(jié)課里獲得的知識和積累的經驗的最美詮釋．

2 對發(fā)展“數學素養(yǎng)”的教學思考

梁貫成教授認為“數學素養(yǎng)”就是在沒有數學的地方，能看到數學、感覺到數學，能夠用數學解決身邊的一些問題或者工作中的一些問題．可見，“數學素養(yǎng)”應該理解為人的一種思維形式，它不可能通過某一節(jié)課完成，這是一個長期持續(xù)的過程，甚至很難用語言來描述它的目標或達成度，它是老師個人通過自己的教學，影響一群學生的過程．教師需要挖掘數學教學內容中的思維價值，盡可能在每一節(jié)課中，設計利于放大這些思維價值的數學活動，在數學教學過程中，通過學生的活動，將這種“思維形式”內化為自己的“思維習慣”．

2.1 理解數學，讓數學活動有價值

對于教學內容，教師要挖掘其內部包含的育人價值，才會有更高的立意去設計教學，讓這些育人價值在教學中發(fā)揮作用．《高中數學課程標準》把數學的核心素養(yǎng)定義為：會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界．有了這樣的認識，教師應當深度挖掘教學內容中，直指核心素養(yǎng)的部分，同時思考如何將核心素養(yǎng)融入到教學內容中，讓教學內容不僅僅是傳授數學知識與技能，更能對學生的數學素養(yǎng)的發(fā)展起到積極作用，真正體現數學的價值．當然，教師認識數學的高度有多高，決定了課堂的高度有多高，在這個過程中，教師要努力提高自身的“數學素養(yǎng)”，才能實施發(fā)展學生“數學素養(yǎng)”的教學．

基于以上的分析，對本節(jié)課的內容有以下的認識．幾何圖形是“圖形與幾何”的研究對象，一般按照“實物——模型——幾何圖形——文字表示——符號表示”的順序認知．通過對立體圖形和平面圖形的分析，一方面讓學生通過觀察、操作、想象、交流，發(fā)現它們的聯系，發(fā)展空間觀念，另一方面培養(yǎng)和訓練幾何語言，為學生今后的學習建立語言表達的基礎．

2.2 理解教學，讓數學活動有生命

“數學知識與數學技能可以通過數學教學傳授，學生可以通過數學教學接受．而數學素養(yǎng)只能在學生所經歷的數學活動中產生，并在真實的情境中表現出來，數學素養(yǎng)的生存依賴于學生在數學活動中對數學的體驗、感悟和反思．”

認識到教學內容的價值，就要將這些有思維價值的內容在教學中發(fā)揮作用，讓其落實在課堂中，體現出生命力，那就必須理解教學．只有理解了教學，才能設計出好的數學活動，通過這些活動，數學內部的育人價值得以生存，并能放大，數學的活動才真正的有意義，才能使學生真正感受到數學的力量，也只有通過這些活動，數學才不會是紙上談兵，借題發(fā)揮的空洞學科．

本節(jié)課設計的活動是：學生通過對實物圖片的欣賞和對生活中物體的觀察，抽象出幾何圖形．學生經歷對幾何圖形的分類過程，了解立體圖形和平面圖形的區(qū)別，對幾何圖形有進一步的抽象認識．學生進行折紙和摸幾何體的數學實驗，利用不同的感官，對立體圖形和平面圖形的聯系進行再認識．通過小組合作描述幾何體的活動，激發(fā)幾何興趣，培養(yǎng)幾何語言．

這樣的活動，形式上多樣化，內容上層層遞進，內涵上直指數學素養(yǎng)，在實施過程中才有生命力．

2.3 理解學生，讓數學活動有靈氣

設計好了活動，那么接下來在教學過程中，老師要引導學生真正“動起來”．這里不僅僅是指動手，更要動腦，還要調動一切可以調動的感官，這就需要在教師理解學生的基礎上，設計好的問題作為活動進行的紐帶．

好的問題應當具有開放性，留給學生思考的空間，學生才能有所思考．問題過于直白，會代替了學生的思考，將最有價值的部分忽略掉．本節(jié)課中，反復的一個問題是：“你對該圖形有哪些認識？”這個問題看似比較模糊，實際經過反復的打磨，就是希望把“想”和“說”的權利還給學生，讓學生有時間去思考如何認識圖形，應當從圖形的形狀、大小和位置關系去觀察．教學中的提問不一定要多，但給學生 “想” 和“說”的時間一定要多，這樣建立師生良好的溝通平臺，這就是好問題的作用．

好的問題應當具有指向性．開放不代表沒有方向，問題要讓學生有思路思考，有辦法回答．本節(jié)課中，對于幾何語言的培養(yǎng)，問題設計體現了三個層次，第一層次的問題是“說出立體圖形的表面包含的平面圖形”，第二層次的問題是“請描述立體圖形的特征”，第三層次的問題是“用數學語言有條理的描述”．這三個問題的指向非常明確，也層次分明．

好的追問應該問在關鍵點上．追問是在提出主要問題后，與學生交流中最重要的環(huán)節(jié)，能將學生在思維難點上逼向更廣闊的空間或更高的層次．本節(jié)課中的第一問題是：“請觀察圖片中各種各樣的物體，你看到了什么？”在老師不斷的追問“除了這些物體的形狀，你還關注到了什么？”學生就能向大小、位置關系、顏色、材質等方面去發(fā)散．

問題問的精簡、精準、精盡了，必定能將高的立意在好的活動中發(fā)揮更大的作用，在數學教學過程中發(fā)展學生的“數學素養(yǎng)”．