北京高考數(shù)學(xué)壓軸題的教學(xué)實(shí)踐與反思

李啟超 潘國雙

(北京市十一學(xué)校數(shù)學(xué)教研組 100039)

北京高考理科數(shù)學(xué)壓軸題向來以創(chuàng)新和難度著稱，一直引起廣大師生的關(guān)注.一方面，這些問題對(duì)考生的閱讀理解、抽象概括、自主探究和推理論證能力都有很高的要求([6]).另一方面，這些問題“背景新穎，內(nèi)涵豐富，解題方法質(zhì)樸，思想背景深刻”([9])，對(duì)優(yōu)秀考生具有很好的選拔功能，同時(shí)也為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)指明了方向.毫無疑問，這些題目對(duì)學(xué)生而言是非常寶貴的學(xué)習(xí)資料，但因其難度較大，不適合在普通課堂上講解.我們?cè)诟叨?shù)學(xué)小組上以近年來的北京高考?jí)狠S題為主題進(jìn)行了一個(gè)學(xué)期的教學(xué)實(shí)踐，期間遇到了一些教學(xué)困難，也取得了部分成效.本文中我們就此做一次總結(jié)，與大家分享我們的經(jīng)驗(yàn)和收獲.

1 北京高考數(shù)學(xué)壓軸題的特點(diǎn)芻見

高考數(shù)學(xué)北京卷壓軸題(第20題)考察角度之一是學(xué)生是否具有在全新的問題情境下，自覺地進(jìn)行探究、嘗試、歸納、猜想和論證而創(chuàng)造性地解決問題的能力(參考[6][9]).這些試題一貫的新穎大氣，特色鮮明，是北京卷的標(biāo)志性題目，歷年來引起廣大師生的重視,依我們拙見，這些題目主要具有以下幾方面的特點(diǎn).

1.1 規(guī)避題型，突出新概念和陌生情境.

近年來北京高考數(shù)學(xué)理科卷 (以下簡稱“京卷”)壓軸題目往往是一種離散型極值問題，呈現(xiàn)形式上以集合或數(shù)列為主，但幾乎總是伴有新概念和陌生情境出現(xiàn).例如，2010 年北京卷第20題中就涉及到了“抽象的空間”和“抽象的距離”概念，方便起見我們把原題呈現(xiàn)如下：

(2010-北京-20) 已知集合Sn={X|X=(x1,x2,…,xn),xi∈{0,1},i=1,2,…,n}，(n≥2).對(duì)于A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)∈Sn,定義A與B的差為

①證明： ?A,B,C∈Sn,有A-B∈Sn,并且d(A-C,B-C)=d(A,B);

②證明： ?A,B,C∈Sn，d(A,B),d(B,C),d(A,C) 三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；

分析本題題干中涉及到幾個(gè)新概念.對(duì)糾錯(cuò)碼理論([5])有了解的讀者可以發(fā)現(xiàn)，題干中的空間Sn實(shí)際上是二元域上的n維線性空間，距離d(A,B)實(shí)為糾錯(cuò)碼理論中熟知的Hamming距離.毫無疑問，這些概念與情境是考生之前在任何復(fù)習(xí)參考書上都難以見到的，題目對(duì)任何考生來說都是陌生的，有效地保證了考試的公平性.當(dāng)然，任何考生解答此題無需糾錯(cuò)碼理論背景知識(shí)，但是肯定需要準(zhǔn)確地把握到距離d(A,B) 的意義，即：

“d(A,B)=向量A,B相同位置上不同分量的個(gè)數(shù).”

原題①②③三個(gè)小問一步步地引導(dǎo)考生深入探究距離概念d(A,B)的性質(zhì).如果考生不能在短時(shí)間內(nèi)有效的理解這個(gè)抽象距離概念，就只能“望題興嘆”了.這讓我們教師意識(shí)到今后課堂上的概念教學(xué)中，必須摒棄那種“重結(jié)果，輕過程”([12]) 的講授方式，讓學(xué)生們親自體會(huì)并參與到概念的形成過程中來.

再例如，2015 年京卷第20題呈現(xiàn)形式上是一道遞推數(shù)列問題：

①若a1=6,寫出集合M的所有元素；

②若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；

③求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.

分析仔細(xì)審題后我們發(fā)現(xiàn)，本題并非常規(guī)意義下的“求遞推公式”問題，本質(zhì)上是一道組合問題.題目中沒有什么新概念，看上去似曾相識(shí)，實(shí)則每一問的提問角度都是前所未聞的，情境依舊陌生，需要考生從容不迫地從頭探究起.本題第①問引導(dǎo)考生從特例入手探究數(shù)列{an}的性質(zhì)，與人們從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律一致，大多數(shù)學(xué)生都可以完成.第②問是關(guān)于整數(shù)的整除性質(zhì)，解答起來不需要太多數(shù)學(xué)知識(shí)，但顯然復(fù)習(xí)時(shí)這類題型很難見到，但是如果考生只顧在腦海中搜索之前遇到過的類似題目“對(duì)題型，想技巧”的話，恐怕要無功而返了.由此可見，京卷高考數(shù)學(xué)壓軸題對(duì)于考生在面對(duì)陌生情境時(shí)能進(jìn)行自主探究、嘗試、歸納以解決問題的能力要求是非常高的.

1.2 淡化技巧，有別于通常的競(jìng)賽題.

北京高考?jí)狠S題難，競(jìng)賽題也難，但兩種難度是非常不一樣的.以下我們?cè)嚺e兩例說明這一點(diǎn):

(2004-北京-20) 給定有限個(gè)正數(shù)滿足條件T：每個(gè)數(shù)都不大于50且總和L=1275.現(xiàn)將這些數(shù)按下列要求進(jìn)行分組，每組數(shù)之和不大于150 且分組的步驟是：首先，從這些數(shù)中選擇這樣一些數(shù)構(gòu)成第一組，使得150與這組數(shù)之和的差r1與所有可能的其他選擇相比是最小的，r1稱為第一組余差；然后，在去掉已選入第一組的數(shù)后，對(duì)余下的數(shù)按第一組的選擇方式構(gòu)成第二組，這時(shí)的余差為r2；如此繼續(xù)構(gòu)成第三組(余差為r3)、第四組(余差為r4)，…，直至第N組(余差為rN)把這些數(shù)全部分完為止.

①判斷r1,r2,…,rN的大小關(guān)系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個(gè)數(shù);

③對(duì)任何滿足條件T的有限個(gè)正數(shù)，證明：N≤11.

分析上面這道全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題可以用極端原理或者局部調(diào)整法給出不同的多樣性解答，方法靈活技巧性很強(qiáng)，這是競(jìng)賽數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一.我們不難看出這道競(jìng)賽題有 2004年北京卷壓軸題的明顯背景，但高考?jí)狠S題的考察角度與競(jìng)賽題則完全不同.首先，壓軸題抽象程度明顯加強(qiáng)，隱去了實(shí)際應(yīng)用問題背景，題干較長，對(duì)考生的閱讀能力、信息加工能力要求較高.其次，京卷壓軸題獨(dú)辟蹊徑引入了“余差ri” 的概念，隨后設(shè)置的①②兩問引導(dǎo)考生逐步“發(fā)現(xiàn)”余差ri的性質(zhì)，最后第 ③ 問要求考生(在前兩問的鋪墊的基礎(chǔ)上)導(dǎo)出最終結(jié)論.三個(gè)小問之間環(huán)環(huán)相扣，逐層遞進(jìn)，并不需要什么高大上的技巧，這實(shí)在是因?yàn)槊}人用“余差ri”的概念分散了難點(diǎn).用概念化分解難點(diǎn)，正是高等數(shù)學(xué)中處理問題的常見風(fēng)格(參考[1]).我們認(rèn)為，類似的命題思路在京卷壓軸題中屢屢出現(xiàn).

我國著名數(shù)學(xué)家李邦河院士指出(參考[3]): “數(shù)學(xué)玩的是概念，而不是純粹的技巧．因?yàn)橹行W(xué)數(shù)學(xué)里面的概念比較少，所以就在一些難題、技巧上下功夫，這恰恰是舍本逐末的做法.”京卷壓軸題的命題理念是與此相合的，不強(qiáng)調(diào)炫酷的技巧，不強(qiáng)調(diào)復(fù)雜的計(jì)算，相反，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀感覺和數(shù)學(xué)思想方法.如果說數(shù)學(xué)競(jìng)賽題難在技巧上，那么京卷的壓軸題則是難在策略上.數(shù)學(xué)競(jìng)賽欣賞選手們“出其不意”的解題技巧，京卷壓軸題則強(qiáng)調(diào)按部就班、逐個(gè)擊破難點(diǎn)的解題策略.

[12][52] Fujita M., Ogawa H., “Multiple Equilibria and Structural Transition of Non-monocentric Urban Configurations”, Regional Science & Urban Economics, Vol. 12, No. 2 (1982), pp. 161-196.

1.3 背景深刻，重視實(shí)際應(yīng)用型問題

北京數(shù)學(xué)高考?jí)狠S題中有過很多具有實(shí)際背景的問題，例如: 2005年京卷第20 題，討論如何對(duì)有界閉區(qū)間上的單峰函數(shù)縮短含峰區(qū)間長度，其背景是(單因素)優(yōu)選法(參考[2]); 2010年京卷第20 題，第③問的背景是糾錯(cuò)碼理論中的普洛特金 (Plotkin)上界(參考[5]); 2014 年京卷壓軸題看似抽象，實(shí)則其背景是兩工序流水線時(shí)間最優(yōu)化問題 (參考文獻(xiàn)[2]第八章或者文獻(xiàn)[7]).

(2014-北京理科-20) 對(duì)于數(shù)對(duì)序列P(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn)，記T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n).其中max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak} 表示Tk-1(P) 和a1+a2+…+ak兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù).

①對(duì)于數(shù)對(duì)序列P(2,5),(4,1)，求T1(P),T2(P) 的值.

②記m為a,b,c,d四個(gè)數(shù)中最小值，對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì)(a,b),(c,d)組成的數(shù)對(duì)序列P(a,b),(c,d),和P′(c,d)，(a,b),試分別對(duì)m=a和m=b的兩種情況比較T2(P)和T2(P′) 的大小.

③在由5個(gè)數(shù)對(duì)(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6) 組成的所有數(shù)對(duì)序列中，寫出一個(gè)數(shù)對(duì)序列P使T5(P) 最小，并寫出T5(P)的值(只需寫出結(jié)論).

分析考慮這樣一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題：有n個(gè)零件X1,X2,…,Xn，需要分別在兩臺(tái)機(jī)床A,B上按照先A后B的順序加工.每一個(gè)零件在每臺(tái)機(jī)床上的加工時(shí)間 (如下面Table 1) 是已知的.問：零件如何排序可使得從第一個(gè)零件開始加工到最后一個(gè)零件加工完需要的時(shí)間最少？

Table 1:n種零件在兩臺(tái)機(jī)床上的加工時(shí)間

2014年京卷壓軸題的第②③問即分別為這個(gè)實(shí)際問題n=2,5的情形，參考[7].這個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題已經(jīng)由S.M.Johnson解決： “若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn中最小數(shù)出現(xiàn)在‘a(chǎn)’中，例如ai，則零件Xi安排在最早加工; 若出現(xiàn)在‘b’中，比如bj,則安排Xj最后加工.如果有多個(gè)相等的最小數(shù)，則按上面的辦法任取一個(gè)安排.去掉已經(jīng)安排好的零件，重復(fù)上面的步驟，直到排完為止 (證明過程請(qǐng)參考[2],pp.138).” 上面的京卷壓軸題第②問實(shí)則是在引導(dǎo)考生發(fā)現(xiàn)S.M.Johnson法則n=2的特殊情形,只要考生領(lǐng)悟到n=2時(shí)如何安放最小數(shù) (并不需要考生重新發(fā)現(xiàn)S.M.Johnson 法則)，就不難通過猜想加檢驗(yàn)的方式解決第③問 (為降低表述的難度，這一問不要求寫出解題過程).本題看似抽象，實(shí)則背景深刻.近年來北京數(shù)學(xué)高考試題越來越重視試題素材的生活化(參考[4][5][6][7][11])，例如選擇題部分的最后一題和簡答題中的概率統(tǒng)計(jì)問題中都可以感受到濃厚的生活氣息，這無疑為我們今后的課堂教學(xué)指明了改進(jìn)方向.

2 教學(xué)中遇到的障礙和反思

2.1 閱讀理解能力薄弱

京卷高考?jí)狠S題題干通常較長，這對(duì)學(xué)生們的閱讀能力形成考驗(yàn).選修課初期，我們沮喪地發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生讀完題目后往往拿著筆無動(dòng)于衷.我們通過問卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生“不知原題在問什么”.在后來的教學(xué)中，我們注意讓學(xué)生審題后進(jìn)行小組討論，用語言輔助自己對(duì)邏輯的理解.盡管數(shù)學(xué)語言講究抽象概括、簡潔凝練，提問時(shí)，我們要求學(xué)生用生活化的語言(白話)向同伴或老師描述清楚他(她)對(duì)題意的理解.數(shù)學(xué)的抽象源于概括，但理解抽象必須從具體的東西入手.遇到比較抽象些的概念，我們要求學(xué)生能從幾個(gè)具體的例子入手，在“試驗(yàn)(舉例計(jì)算)”中體會(huì)概念的本質(zhì).我們認(rèn)為京卷壓軸題第 ① 小問的功能也正在于此.

2.2 過于迷信參考答案,自信力差

調(diào)查問卷中，多數(shù)學(xué)生表示，看過京卷壓軸題的參考答案后會(huì)產(chǎn)生一種“挫敗感”,原因是認(rèn)為“自己根本想不出標(biāo)答那么巧妙、縝密的解答過程.” 我們認(rèn)為這種情況在全體學(xué)生中普遍存在.在課堂上，我們多次努力向?qū)W生解釋，“任何參考答案并不是一下子提筆寫就的，而是有其生產(chǎn)過程的.” 所謂的生產(chǎn)過程，便是“探究、嘗試、歸納、猜想、論證外加‘拋光答題語言’的過程.” 在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)為了破除學(xué)生對(duì)參考答案的迷信就必須引導(dǎo)學(xué)生“改進(jìn)”參考答案或推廣原題，得出比參考答案更自然的解題方案.在這一方面，我們?nèi)〉昧瞬糠质斋@，請(qǐng)參考本文3.2 小節(jié).

2.3 不適應(yīng)“猜測(cè)+檢驗(yàn)”的探索方法

京卷壓軸題向來強(qiáng)調(diào)學(xué)生“動(dòng)手嘗試、探索實(shí)踐”的能力和“先猜再證”的基本研究方法([7][8]).教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)一些知識(shí)基礎(chǔ)很牢固的同學(xué)往往過于“迷信”邏輯的力量，認(rèn)為一切解題思路都是依靠邏輯從概念出發(fā)推演出來的，從而使得解題過程陷入膠著狀態(tài).事實(shí)上，數(shù)學(xué)是用直覺和猜測(cè)來發(fā)現(xiàn)的，邏輯的功能僅僅是保證“發(fā)現(xiàn)”的正確性.邏輯固然重要，但是打開解題局面則需要“數(shù)學(xué)直觀能力”.王雅琪老師在文獻(xiàn)[8]中指出：“問題研究的過程，從來都是‘大膽猜想、小心證明’的過程．我們要求學(xué)生先要猜出結(jié)果，這是他(她)必須具備的科學(xué)素養(yǎng).” 我們認(rèn)為解答京卷壓軸題，每一道都需要具備這種“猜測(cè)+檢驗(yàn)”的能力.在平時(shí)的教學(xué)中，我們必須有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生這種“解題直覺.”

2.4 懶于題后反思，不善于總結(jié)

著名數(shù)學(xué)家波利亞指出，一個(gè)完整的解題步驟包括：弄清問題、擬訂解題計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)解題計(jì)劃和解題回顧四個(gè)環(huán)節(jié).在解題回顧環(huán)節(jié)中，學(xué)生們可以對(duì)解題過程進(jìn)行總結(jié)和反思，回顧每一個(gè)步驟的合理性和必要性，對(duì)比聯(lián)想相關(guān)的解題思想，長期堅(jiān)持下去，就有可能升華為解題策略([12])．對(duì)于懶于做題后回顧的同學(xué)，我們強(qiáng)制要求他們寫“數(shù)學(xué)作文”，將自己的解題探究過程中遇到的挫折和后來的聽課體會(huì)如實(shí)記敘下來.

3 教學(xué)策略與收獲

3.1 按命題背景或解題策略分專題介紹，適當(dāng)滲透高等數(shù)學(xué)知識(shí)和思想

我們開課講壓軸題的目的當(dāng)然不是為了尋找命題規(guī)律押題，但是我們發(fā)現(xiàn)其中的一些重要的數(shù)學(xué)思想方法和解題策略，如“尋找單調(diào)變化的量(2006-北京-20、2008-北京-20)”、“構(gòu)造對(duì)應(yīng)(2007-北京-20、2009-北京-20)” 等策略不止一次地出現(xiàn)在參考答案中，我們將這些問題收集在一起分專題講練，使得教學(xué)內(nèi)容變得系統(tǒng)化.我們認(rèn)為，這些問題往往有著深刻的高等數(shù)學(xué)背景，試舉一例：

(2007-北京-20) 已知集合A={a1,a2,…,ak}(k≥2)，其中ai∈Z(i=1,2,…,k)，由A中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合：

S={(a,b)|a∈A,b∈A,a+b∈A},T={(a,b)|a∈A,b∈A,a-b∈A},

其中(a,b) 是有序數(shù)對(duì)，集合S和T中的元素個(gè)數(shù)分別為m和n．若對(duì)于任意的a∈A，總有-a?A，則稱集合A具有性質(zhì)P． ① ②問略.③判斷m和n的大小關(guān)系，并給出證明.

分析本題第③小問中為證明m=n,我們可以構(gòu)造一個(gè)從S到T的既單又滿映射(一一映射)，因?yàn)镾,T為有限集，從而得到m=n.或者，首先構(gòu)造一個(gè)從有限集S到T的單映射，得出m≤n,再構(gòu)造一個(gè)從有限集T到S的單映射，得出n≤m，綜合起來有m=n.這兩種方法都不需要什么特別的技巧，但都涉及到“建立集合間對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想，這是抽象代數(shù)里常見的策略.像“一一對(duì)應(yīng)、單射、滿射”這些基本的高等數(shù)學(xué)概念是每一位優(yōu)秀的高中生都能掌握的.

另一方面，對(duì)于一些背景深刻的題目，我們認(rèn)為題目背后的高等數(shù)學(xué)背景比原題更有吸引力，為此我們準(zhǔn)備了“糾錯(cuò)碼與通訊(2010-北京-20題,參考[5])”、“兩工序流水線時(shí)間最優(yōu)化問題與S.M.Johnson 法則 (2014-北京-20題,參考[2][7])” 等專題講座.從同學(xué)們熱情的參與度中，我們看得出來這些專題知識(shí)可以激發(fā)學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的興趣.

3.2 鼓勵(lì)學(xué)生推廣、改編原題，改進(jìn)參考答案

我們起初只是把改進(jìn)參考答案當(dāng)做幫助學(xué)生“破除對(duì)參考答案的迷信”的一個(gè)手段，但后來我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生的潛力其實(shí)遠(yuǎn)高于我們的預(yù)期.試舉幾例：

2006 年京卷壓軸題定義了一個(gè)“絕對(duì)差數(shù)列”：

(2006-北京-20)在數(shù)列an中，若a1,a2是正整數(shù)，且an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,… 則稱an為“絕對(duì)差數(shù)列”.① ②問略.③ 證明：任何“絕對(duì)差數(shù)列”中總含有無窮多個(gè)等于零的項(xiàng).

小組討論時(shí)，有一組同學(xué)報(bào)告，他(她)們除了發(fā)現(xiàn)“任何絕對(duì)差數(shù)列中總含有無窮多個(gè)等于零的項(xiàng)”，還進(jìn)一步歸納出 “任何絕對(duì)差數(shù)列在出現(xiàn)零項(xiàng)之前，總會(huì)先出現(xiàn)a1,a2的最大公約數(shù)” 而從后一個(gè)結(jié)論可以推出前一個(gè).我們立即熱情地稱贊了他(她)們的發(fā)現(xiàn)，并鼓勵(lì)他(她)們深入下去給出證明，幾天后他(她)們便將絕對(duì)差數(shù)列與輾轉(zhuǎn)相除法聯(lián)系起來，對(duì)自己的發(fā)現(xiàn)給出了嚴(yán)格證明.

2015年京卷壓軸題第②問 (題目請(qǐng)見本文1.1 節(jié)) 要求證明給定的數(shù)列{an} 中，要么各項(xiàng)都是3的倍數(shù)要么各項(xiàng)都不是3的倍數(shù).官方給的參考答案是分情況討論加反證法，我們有一位同學(xué)指出，他發(fā)現(xiàn)從遞推關(guān)系

出發(fā)可以導(dǎo)出an+1+an=3an或 3an-36，從而總是有 3|an+1+an,這樣一來立刻就可以得出若數(shù)列{an}中存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，那么所有元素都是3的倍數(shù)，這就給出了比參考答案更加簡潔的證明.在獲得了全數(shù)學(xué)小組同學(xué)的熱烈掌聲后，這位同學(xué)變得更加活躍了.

在引導(dǎo)大家做完原題之后，有同學(xué)舉手提問n=6時(shí)會(huì)怎樣，是否a1,a2,a3,a4,a5,a6依舊是等比數(shù)列？ 這與我們教師備課時(shí)的想法不謀而合.我們立即肯定了她出色的數(shù)學(xué)直覺，并鼓勵(lì)大家考慮n≥5的情形.很快n=6,7的情形都被同學(xué)們驗(yàn)證是等比數(shù)列.我們鼓勵(lì)大家乘勝追擊，把總結(jié)出來的“排序”加“一一對(duì)應(yīng)”的方法貫徹到底，最終在大家的共同努力下，有一組同學(xué)在黑板上證明出：等比數(shù)列的結(jié)論對(duì)n=3 和n≥5的情形都成立，而對(duì)n=4 的情形則不一定成立.

總結(jié)從“表現(xiàn)得令人沮喪”到“令教師眼前一亮”，我們的學(xué)生在課堂上取得了不小的進(jìn)步，這使得我們?cè)絹碓较嘈牛褐灰谭ǖ卯?dāng)，京卷高考?jí)狠S題是非常寶貴的教學(xué)資源.

致謝本文參考了大量文獻(xiàn)，在此對(duì)作者們表示衷心的感謝.我們感謝高二年級(jí)數(shù)學(xué)小組同學(xué)在課堂上的投入表現(xiàn).