高考試卷難度與區(qū)分性能分析研究①

任子朝 佟 威 陳 昂

(教育部考試中心 100084)

1 問題的提出

(一)實(shí)行課標(biāo)后的高考數(shù)學(xué)試卷的難度

2007年實(shí)行課程標(biāo)準(zhǔn)后的高考，10年來隨高中課程改革的不斷推進(jìn)，使用課標(biāo)的省份逐漸增加，考生的常模不斷發(fā)生變化，高考試卷的難度也根據(jù)考生群體的變化逐年調(diào)整，以適應(yīng)考生水平的變化.10年來數(shù)學(xué)試卷的難度怎樣？選擇題、填空題、解答題三種題型中哪種題型的難度比較穩(wěn)定？

(二)數(shù)學(xué)試卷中哪種題型的得分率對(duì)總分的影響最大

數(shù)學(xué)科高考試卷包括選擇題、填空題、解答題三種題型.三種題型考查的目標(biāo)各有側(cè)重，選擇題和填空題主要集中在對(duì)知識(shí)的了解和理解層次的考查，主要是使試卷有較大的覆蓋面.依據(jù)測(cè)驗(yàn)分類，應(yīng)該屬于速度測(cè)驗(yàn).解答題側(cè)重對(duì)數(shù)學(xué)能力的深入考查，更多地發(fā)揮選拔和區(qū)分功能，應(yīng)該屬于難度測(cè)驗(yàn).三種題型試題的難度經(jīng)過加權(quán)平均得到整卷的難度，哪種題型的試題對(duì)整卷難度的影響最大？在進(jìn)行整卷難度調(diào)控時(shí)應(yīng)該首先考慮調(diào)整哪種題型的試題？

(三)試卷的難度和試卷區(qū)分能力的關(guān)系

數(shù)學(xué)實(shí)行文理分科，雖然每年文科試題都比理科試題容易，但文科試卷統(tǒng)計(jì)難度都高于理科試卷，差距在10個(gè)百分點(diǎn)左右.那么文科試卷的區(qū)分能力怎樣？試卷的難度對(duì)區(qū)分能力的影響有多大？

針對(duì)這些問題，我們對(duì)實(shí)行課程標(biāo)準(zhǔn)后高考10年來的15份試卷的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析研究.

2 數(shù)據(jù)分析

(一)基本統(tǒng)計(jì)量描述

在2007年～2016年10年間使用15份高考理科數(shù)學(xué)課標(biāo)卷的省份隨機(jī)抽樣選取了若干樣本，計(jì)算得到三道大題以及整卷通過率(得分率)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).[1]通過率代表著試卷或者試題的難度，通過率越高說明難度越小，通過率越低說明難度越大.

表1 2007-2016年高考理科數(shù)學(xué)課標(biāo)卷統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

從每一年份來看，選擇題、填空題和解答題的平均難度呈依次增加的態(tài)勢(shì)，試卷總體難度在0.50左右，符合設(shè)計(jì)的要求.各年選擇題、解答題和整卷難度比較穩(wěn)定，波動(dòng)較小，填空題難度相對(duì)波動(dòng)較大.

(二)大題難度與整卷難度的關(guān)系

三種題型哪種試題對(duì)總分的影響最大，我們應(yīng)用四種方法進(jìn)行了研究.

1.三種題型分值比例

設(shè)整卷難度為A，三道大題難度分別為T1、T2、T3，則整卷難度與三道大題難度的線性關(guān)系為：

很明顯，在理論上而言，大題難度對(duì)試卷難度的影響由其所占的比重決定.第三大題總分為70分，對(duì)試卷難度的影響也最大.第三大題的難度提高0.1，整個(gè)試卷的難度將會(huì)增加0.04667.相應(yīng)地，提高0.1個(gè)單位的第二大題的難度，整個(gè)試卷的難度只會(huì)增加0.0133.通過這個(gè)線性關(guān)系式，我們可以定量地描述題目難度與試卷難度之間的線性關(guān)系，由此推斷解答題在全卷難度穩(wěn)定中發(fā)揮的作用最大.

2.考生在三種題型得分的比例

然而，由于三道大題在難度設(shè)置和試卷構(gòu)成中具有各自特點(diǎn)，同時(shí)學(xué)生在作答過程中會(huì)應(yīng)用不同的解題策略等，從學(xué)生實(shí)際作答數(shù)據(jù)結(jié)果來看，在學(xué)生的得分構(gòu)成中，三道大題得分比重與三道大題的分值比重有所不同.

表4 學(xué)生在三道大題上的實(shí)際得分在總得分中所占比重[1] [2]

從表中可以看出，第一大題在學(xué)生總得分中所占比重最大，理科占到55%，文科占到58%；而分值較大的第三大題在學(xué)生實(shí)際得分中的比重有所降低，理科占到33%，文科占到30%.這說明，難度較低的第一大題對(duì)于學(xué)生在整個(gè)試卷的得分有很大程度影響.這種方法得出與上面分析不同的結(jié)論，還需要進(jìn)行進(jìn)一步的研究.

3.三種題型難度與試卷難度的回歸分析

把試卷中三種題型實(shí)際難度做為自變量(第一大題為x1，第二大題為x2，第三大題為x3)，整卷的實(shí)際難度做為因變量y，通過標(biāo)準(zhǔn)化轉(zhuǎn)化，然后建立多元回歸分析模型，基于表1數(shù)據(jù)可以得到三個(gè)自變量的回歸系數(shù)(P值)為0.331(P<0.001)、0.239(P<0.001)和0.62(P<0.001).

從回歸系數(shù)中可以看出，第三道大題的標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于第一、二道大題，說明第三道大題對(duì)整卷難度的解釋率更大，也就是影響更大.特別地，從第三大題與整卷難度的散點(diǎn)圖分布也可以看出，兩者之間存在很清晰的線性相關(guān)性.

(橫軸：第三大題難度；縱軸：整卷難度)圖1 第三大題難度與整卷難度的散點(diǎn)圖

4.三種題型難度與整卷難度相關(guān)分析

表5 三道大題與整卷難度相關(guān)系數(shù)(P值)

在相關(guān)系數(shù)方面，第一大題和第二大題、第三大題相關(guān)系數(shù)很低，而且并不具有統(tǒng)計(jì)學(xué)上的顯著性意義；第二大題和第三大題相關(guān)系數(shù)很大，而且是顯著的.這說明，選擇題因?yàn)橛袀溥x項(xiàng)可以校驗(yàn)和提示，而且還有一些特殊的解題方法可以運(yùn)用，其與填空題和解答題還是有一定的區(qū)別的.填空題和解答題這類主觀性試題對(duì)于考生的測(cè)量質(zhì)性方面具有很多相同的特征.

在整卷難度與各個(gè)大題之間難度的相關(guān)性方面，第三大題與整卷難度的相關(guān)性最高，第一大題與整卷難度相關(guān)性最低.這說明，雖然第一大題所占學(xué)生得分比重很高，但是對(duì)于學(xué)生的甄別和篩選作用不如解答題.第一大題更多考查的是較為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)，解答題則側(cè)重于考查更為高階和復(fù)雜的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能力要求較高，學(xué)生得分率低，但更有利于區(qū)分考生，與學(xué)生總得分率的相關(guān)性也較高.

這四種方法從不同的角度研究了三道大題和整卷難度的關(guān)系，得出的結(jié)論也略有不同.綜合考慮來看，第三道大題與整卷難度關(guān)系相關(guān)性最高，對(duì)整卷難度的影響也較大，這也從基于數(shù)據(jù)的實(shí)證研究角度佐證了高考命題中對(duì)于解答題的定位，即解答題對(duì)高考數(shù)學(xué)整卷難度起到的決定性的作用.

(三)試卷的標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)差是考生分?jǐn)?shù)離散程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，標(biāo)準(zhǔn)差越大說明考生間的分?jǐn)?shù)差異越大.

變異系數(shù)(Coefficient of Variation，簡(jiǎn)稱CV)用于比較兩組數(shù)據(jù)離散程度的大小.如果兩組數(shù)據(jù)的測(cè)量尺度相差太大，或者數(shù)據(jù)量綱不同，直接使用標(biāo)準(zhǔn)差來進(jìn)行比較就不合適了.此時(shí)就應(yīng)當(dāng)消除測(cè)量尺度和量綱的影響，而變異系數(shù)可以做到這一點(diǎn)，變異系數(shù)是原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差與原始數(shù)據(jù)平均數(shù)的比.

變異系數(shù)沒有量綱，可以直接進(jìn)行客觀比較.我們可以認(rèn)為變異系數(shù)和極差、標(biāo)準(zhǔn)差和方差一樣，都是反映數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量.變異系數(shù)不僅受變量值離散程度的影響，而且還受變量值平均水平大小的影響.

1．試卷變異系數(shù)

試卷的變異系數(shù)可以用來衡量考生分?jǐn)?shù)的分布情況，并沒有統(tǒng)一規(guī)定的閾值范圍，通常情況下，變異系數(shù)越大，分?jǐn)?shù)分布越分散；變異系數(shù)越小，分?jǐn)?shù)分布越集中.高考理科數(shù)學(xué)和文科數(shù)學(xué)卷的變異系數(shù)均較高，這說明，整個(gè)試卷分?jǐn)?shù)分布很均勻，并沒有集中在某個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間.特別是，文科數(shù)學(xué)卷的變異系數(shù)整體上高于理科數(shù)學(xué)試卷.這說明，雖然文科數(shù)學(xué)試卷平均得分低于理科數(shù)學(xué)試卷，對(duì)于考生而言試題較難，但是，由于考生分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差較大，所以文科試卷依然保持著合理甚至優(yōu)于理科試卷的分?jǐn)?shù)分布，有利于區(qū)分和甄別考生.

2．變異系數(shù)和難度、標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系

從表3中可以看出，無論是理科試卷還是文科試卷，難度和變異系數(shù)都具有明顯的負(fù)相關(guān)，這就說明，難度偏高的試卷，變異系數(shù)也相對(duì)較高；難度偏低的試卷，變異系數(shù)也相對(duì)較低.試卷的標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)沒有顯著相關(guān)性.

表2 2007-2016年高考文理科數(shù)學(xué)課標(biāo)卷分?jǐn)?shù)變異系數(shù)

表3 2007-2016年高考文理科數(shù)學(xué)課標(biāo)卷分?jǐn)?shù)變異系數(shù)與難度和標(biāo)準(zhǔn)差的相關(guān)系數(shù)(P值)

進(jìn)一步做出通過率與標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)的散點(diǎn)圖，可以更直觀地分析其關(guān)系.

(橫軸：通過率；縱軸：標(biāo)準(zhǔn)差) 圖2 理科數(shù)學(xué)通過率與標(biāo)準(zhǔn)差散點(diǎn)圖

(橫軸：通過率；縱軸：變異系數(shù))圖3 理科數(shù)學(xué)通過率與變異系數(shù)散點(diǎn)圖

(橫軸：通過率；縱軸：標(biāo)準(zhǔn)差)圖4 文科數(shù)學(xué)通過率與標(biāo)準(zhǔn)差散點(diǎn)圖

(橫軸：通過率；縱軸：變異系數(shù))圖5 文科數(shù)學(xué)通過率與變異系數(shù)散點(diǎn)圖

從文理兩科數(shù)學(xué)試卷的通過率與標(biāo)準(zhǔn)差的散點(diǎn)圖，可以看到兩者具有比較明顯的正相關(guān)的線性關(guān)系；但通過率與變異系數(shù)的散點(diǎn)圖可以看出兩者具有比較明顯的負(fù)相關(guān)的線性關(guān)系.因此在判斷試卷的難度對(duì)試卷的區(qū)分能力的影響時(shí)，不能單從標(biāo)準(zhǔn)差一個(gè)維度進(jìn)行考慮，要結(jié)合變異系數(shù)進(jìn)行綜合評(píng)價(jià).對(duì)理科試卷，難度控制在0.5左右，標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)達(dá)到比較好的平衡；對(duì)文科試卷，目前還沒有通過率超過0.5的試卷，需要積累更多的資料.單就現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，難度在0.4左右標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)能達(dá)到比較好的平衡.對(duì)于試卷的難度控制要綜合考慮標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)，使試卷的難度既有利于對(duì)學(xué)生的精確區(qū)分，又有利于鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

3 結(jié)語

(一)選擇題和填空題應(yīng)控制難度.通過數(shù)據(jù)分析可以看出，選擇題、填空題和解答題的難度依次上升，基本符合考試設(shè)計(jì)，也符合各種題型的考查功能和題型特點(diǎn).因?yàn)檫x擇題、填空題沒有中間過程，憑借最后的結(jié)果判定成績(jī)，所以在命題過程中需要控制試題的復(fù)雜程度和解題的過程，不能過于復(fù)雜，過程也不能過長，否則一知半解和功虧一簣是同樣的效果，可能造成中上學(xué)生不能完全展現(xiàn)水平，影響考試的成績(jī)和題目的區(qū)分度.另外選擇題本身就有25%的猜測(cè)幾率，如果試題過難就會(huì)影響試題的區(qū)分度.綜上，選擇題和填空題應(yīng)該控制難度，試題不能過難.考生反映和定性分析也證實(shí)，試卷的入門題如果過難可能影響考生的情緒，同時(shí)也可能造成耗時(shí)過多，影響后面的答題.

(二)解答題是能力考查的著力點(diǎn)，難度穩(wěn)定的壓倉石.解答題的考查目的是系統(tǒng)考查思維過程、深入考查能力水平.數(shù)據(jù)分析顯示解答題的難度與整卷難度的相關(guān)最大，因此在進(jìn)行試卷難度調(diào)節(jié)時(shí)，首選應(yīng)是解答題.高考數(shù)學(xué)的解答題一般采用分步設(shè)問、梯次遞進(jìn)的方式設(shè)計(jì).這樣的設(shè)計(jì)包括兩方面的意義，一方面是五個(gè)(或六個(gè))解答題的難度逐步上升；另一方面是對(duì)每個(gè)解答題而言，都是設(shè)置兩個(gè)或三個(gè)問題，第一個(gè)問題都是基礎(chǔ)題，一般考生都能解答，后面兩個(gè)問題難度逐步上升，達(dá)到區(qū)分考生的目的.在考慮整卷難度控制時(shí)，我們除了要考慮不同大題自身分值比重影響之外，還要結(jié)合以往學(xué)生實(shí)際作答情況，有針對(duì)性的進(jìn)行題目設(shè)置和難度調(diào)整.

(三)科學(xué)評(píng)價(jià)試卷的區(qū)分功能，合理調(diào)控難度.高考的主要功能是區(qū)分考生，為高校錄取提供有效的高考分?jǐn)?shù).因此其區(qū)分能力應(yīng)是評(píng)價(jià)試卷質(zhì)量最重要指標(biāo).標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)應(yīng)該給予更多的關(guān)注.難度只是評(píng)價(jià)試卷的一個(gè)指標(biāo)，而且對(duì)高考而言并不是十分重要的，但因?yàn)槠錉可婵忌牡梅智闆r、考生的心理感受以及各省錄取的分?jǐn)?shù)線，因此受到了超乎尋常的關(guān)注.從本文的分析可以看出，試卷只要不是過易或過難，其對(duì)考生的區(qū)分精細(xì)、明確，就是可接受的范圍.因此高考應(yīng)該根據(jù)區(qū)分和選拔的主體任務(wù)，合理調(diào)控試卷的難度，使試卷更好地發(fā)揮區(qū)分功能和對(duì)中學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向作用.