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    關(guān)于q-差分方程形式解的兩個(gè)重要定理

    2017-12-13 09:19:09劉富裕王學(xué)芳
    關(guān)鍵詞:差分算子定理

    劉富裕,王學(xué)芳, 曹 健

    (杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

    關(guān)于q-差分方程形式解的兩個(gè)重要定理

    劉富裕,王學(xué)芳, 曹 健

    (杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310036)

    文章得到了兩個(gè)關(guān)于q-差分方程形式解的定理,它很好的把差分方程與q-算子Dxy及θxy聯(lián)系起來(lái).利用此定理,可以優(yōu)化一些經(jīng)典公式、定理的證明.文章的第三、四部分將會(huì)有詳細(xì)說(shuō)明.

    q-指數(shù)算子;q-差分方程; 差分方程;Euler公式;Rogers-Szeg?多項(xiàng)式;q-Mehler公式

    0 引言

    眾所周知,q-算子對(duì)應(yīng)的差分方程,以及它形式解的應(yīng)用,是當(dāng)今計(jì)算數(shù)學(xué)研究的重要課題之一.Dq,θq算子對(duì)應(yīng)的差分方程形式解以及它們推廣的研究,已經(jīng)相當(dāng)成熟了.

    2009年Lu[1]和Liu[2]分別把T(a,bDq),TbDq算子與q-差分方程巧妙的結(jié)合,并利用這種關(guān)系給出了許多推廣和應(yīng)用.2014年Cao[3]把差分方程的形式解,由原來(lái)含有3個(gè)參數(shù)的f(a,b,c)推廣到5個(gè)參數(shù)f(a,b,c,d,e).

    另外,自2003年Chen,F(xiàn)u,Zhang[4]定義算子Dxy以來(lái),眾多學(xué)者深入研究了Dxy算子問(wèn)題,也獲得許多有意義的結(jié)果.其中,Saad,Sukhi[5]在Chen,F(xiàn)u,Zhang[4]的基礎(chǔ)上得到

    并且給出了θxy算子的定義

    進(jìn)而得到

    然而,對(duì)于作用于兩個(gè)參數(shù)的Dxy,θxy算子與差分方程的結(jié)合,卻一直鮮有研究.這導(dǎo)致它們的拓展與推廣很受限制.鑒于此,本文受Liu[2]啟發(fā),將q-算子Dxy,θxy與差分方程巧妙結(jié)合,并給出了應(yīng)用和推廣.

    (Ⅰ)f(x,y,z)是一個(gè)含3個(gè)參數(shù)的函數(shù),且f(x,y,z)=(0,0,0)∈C.若f(x,y,z)滿足差分方程

    (x-q-1y)f(x,y,z)-z[f(x,yq-1,z)-f(xq,y,z)]+(yq-1-x)f(x,y,zq)=0.

    那么有:

    (Ⅱ)f(x,y,z)是含有3個(gè)參數(shù)的函數(shù),并且(x,y,z)∈3,滿足差分方程:

    (q-1x-y)[f(x,y,z)-f(x,y,zq)]=z[f(q-1x,y,z)-f(x,yq,z)].

    那么有:

    第三、四部分論述了它們的對(duì)經(jīng)典公式的拓展與推廣.

    1 預(yù)備知識(shí)

    該文中,設(shè)0lt;qlt;1,對(duì)文所用的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)作出如下規(guī)定[6]:

    定義1對(duì)于任意的a,q∈C,定義q-升階乘為:

    定義2對(duì)于任意的a,q∈C,定義q-升階乘為:

    定義3對(duì)于任意的n,k∈N,定義q-二項(xiàng)式系數(shù)為:

    定義4基本超幾何級(jí)數(shù)r+1φr和左右對(duì)稱的基本差幾何級(jí)數(shù):

    由上面的定義,很容易得到下列關(guān)系式:

    (a;q)n=(a;q)∞/(aqn;q)∞.

    定義5對(duì)任意的函數(shù)f(x),q-微分算子定義為:

    定義6(q-Leibniz法則) 設(shè)n≥0,則下列式子成立[7]:

    式(7)的證明可參閱S. Roman[8],Chen-Liu[9],式(8)的證明可參閱Al-Salam-Verma[10]S. Roman[8].

    定義7對(duì)任意的函數(shù)f(x,y),q-微分算子定義為[4-5]:

    兩者有以下關(guān)系:

    定義8對(duì)齊次q-算子Dxy,θxy算子有以下定義[4-5]:

    2 關(guān)于q-差分方程形式解的兩個(gè)重要定理

    定理1f(x,y,z)是含有3個(gè)參數(shù)的函數(shù),并且(x,y,z)∈C3,滿足差分方程:

    那么有:

    定理2f(x,y,z)是含有3個(gè)參數(shù)的函數(shù),并且(x,y,z)∈3,滿足差分方程:

    那么有:

    證明首先證明定理1, 可以設(shè)函數(shù)為:

    經(jīng)過(guò)變形以及f(x,y,z)的代入,可得:

    對(duì)比當(dāng)?shù)仁絻蛇卋n的系數(shù)(n≥1),可得:

    通過(guò)迭代,可得:

    通過(guò)計(jì)算可以得出A0(x,y).在等式(19)中令z=0,可以直接推出A0(x,y)=f(x,y,0),所以有:

    即定理1得證.

    同理,定理2也得證. 證畢.

    3 Euler算子公式的證明

    定理3對(duì)于算子Dxy和θxy,有以下重要定理[5,11]:

    證明首先證明定理(24)

    可設(shè):

    經(jīng)驗(yàn)證滿足差分方程(15):

    即為定理1.

    于是得出等式:

    因此定理(24)得證.

    同理,可以驗(yàn)證:

    滿足差分方程(17):

    也即為定理2.

    所以:

    于是定理(25)得證. 證畢.

    4 含三個(gè)變量的Rogers-Szeg?多項(xiàng)式

    在此定義3個(gè)變量的Rogers-Szeg?多項(xiàng)式為hn(x,y,z/q),其中x,y,z為參數(shù).Rogers-Szeg?多項(xiàng)式在正交多項(xiàng)式理論和q-多項(xiàng)式中扮演重要角色.Rogers是第一個(gè)對(duì)這些多項(xiàng)式研究的學(xué)者[12],而后就是Szeg?[13],這些多項(xiàng)式中最重要的一個(gè)是q-Mehler公式.在這一部分,我們要說(shuō)明q-Mehler 公式是定理1 的直接推論. 已知q-二項(xiàng)式系數(shù)被定義為:

    3個(gè)變量Rogers-Szeg?多項(xiàng)式被定義為[5]:

    另外由二項(xiàng)式定理有[5]:

    這里max{|xt|,|zt|}lt;1. 這部分主要結(jié)果是以下公式的拓展.

    定理4f(x,y,z)是3個(gè)參數(shù)的函數(shù),(x,y,z)∈3滿足定理1,而且f(x,y,0)有以下定義:

    這里的cn是獨(dú)立于x,y的,有:

    證明由已知條件

    很容易發(fā)現(xiàn)

    由定理1和式(32)得

    f(x,y,z) =J(zDxy){f(x,y,0)}=

    定理4證畢.

    由定理4,我們可以利用Rogers-Szeg?多項(xiàng)式給出一個(gè)證明q-Mehler公式的方法.

    定理5q-Mehler公式[5]:

    這里max{|xwt|,|zwt|,|xut|,|uzt|}lt;1.

    證明設(shè)f(x,y,z)等于上式右邊,那么容易驗(yàn)證f(x,y,z)滿足定理1,另外由(24)有:

    因此由定理3,得到:

    即定理5.證畢.

    5 結(jié)論

    通過(guò)第三、四兩部分的具體應(yīng)用,可以看出,本文提出的q-算子Dxy與θxy和差分方程之間的關(guān)系,對(duì)經(jīng)典公式定理的證明有一定的優(yōu)越性,相對(duì)于原始的證明方法與過(guò)程,顯得十分便捷.由此可見(jiàn),本文的結(jié)果,不僅把算子與方程有機(jī)聯(lián)系在一起, 而且它在實(shí)際應(yīng)用上,也有著十分重要的意義.

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    [3] CAO J. A note on generalized q-difference equations for q-beta and Andrews-Askey integral[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2014, 412(2): 841-851.

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    [13] SZEG?G, Ein Beitrag zur tbeorie der thetafunktionen[J]. Sitz Preuss Akad Wiss Phys Math, 1926,19: 242-252.

    TwoImportantTheoremsabouttheFormalSolutionforq-differenceEquation

    LIU Fuyu,WANG Xuefang,CAO Jian

    (School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)

    In this article, two theorems about the formal solution for q-difference equation are obtained,which relate difference equation with q-operatorsDxyandθxy. With the help of these theorems, some classic formulas and proofs of theorems can be optimized. There is a detailed explanation in the third and fourth parts of the article.

    q-exponential operator;q-difference equation; difference equation;Euler formula;Rogers-Szeg? polynomial;q-Mehler formula

    2016-10-18

    曹 健(1982—),男,副教授,博士,主要從事q-級(jí)數(shù)、生成函數(shù)研究.E-mail:21caojian@163.com

    10.3969/j.issn.1674-232X.2017.05.016

    O177.91MSC201047H10, 54H25

    A

    1674-232X(2017)05-0539-06

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