虧數(shù)為 1 的冪等變換生成半群的R*-關(guān)系

葉碩海,楊秀良

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

虧數(shù)為 1 的冪等變換生成半群的R*-關(guān)系

葉碩海,楊秀良

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036)

令Singn為 [n]={1,2,…,n} 上的奇異變換半群.En-1為Singn中虧數(shù)為 1 的冪等變換的集合，對En-1的任意非空子集I, 本文刻畫其生成子半群S(I) 滿足關(guān)系式

(α,β)∈R*?Ker(α)=Ker(β),?α,β∈S(I)

的特征.

虧數(shù)為 1 的冪等元; 簡單有向圖; 變換的核; R*-關(guān)系

0 引 言

對半群理論可參考文[1]. 設(shè)Singn為 [n] 上的奇異變換半群, 對任意的α∈Singn,α的虧數(shù)定義為 def(α)=n-|im(α)|. 并且記En-1為Singn中所有虧數(shù)為 1 的冪等變換的集合, 它中任意一個元具有形式χ(a,b)(a,b∈[n],a≠b), 其中 (a)χ(a,b)=b,(t)χ(a,b)=t,?t≠a. 設(shè)I為En-1的任一個非空子集, 令半群S(I)=I. 在文[2]中, Howie特征了S(I)=Singn. 此外，文 [3]證明了奇異保序變換半群On可由生成, 且為H- 平凡的正則半群. 文[4]證明了奇異遞減變換半群可由 {χ(i,j)|jlt;i,i,j∈[n]} 生成, 且為H-平凡的富足半群. 文[5]綜合[3-4], 進(jìn)一步給出了S(I)為H-平凡的特征. 縱觀文[2-3], 文[6]中給出了S(I) 為正則半群的充要條件. 進(jìn)一步我們可探討S(I) 為富足半群的充要條件.

本文中將刻畫半群S(I)滿足

(α,β)∈R*?Ker(α)=Ker(β),?α,β

的特征，這里Ker(α)={(x,y)∈[n]×[n] | (x)α=(y)α}.

1 定理陳述

設(shè)I為En-1中的一個非空子集, 構(gòu)造一個簡單有向圖D(I), 其頂點集為 [n], 其有向邊集為E(D(I))={(b,a)∈[n]×[n] |χ(a,b)∈I}, 并稱D(I) 為I的伴隨有向圖. 反之, 若有向圖D以V(D)=[n] 為頂點集, 以E(D)?[n]×[n]-{(a,a) |a∈[n]} 為有向邊集, 可構(gòu)造En-1的一非空子集I(D)={χ(a,b)| (b,a)∈E(D)}, 并用S(D) 來表示由I(D) 生成的半群 (見文[2],[5-7]).

x1→x2→…→xn, ?1≤j≤m-1, (xj,xj+1)∈E(D)

的子圖稱之為有向路徑, 簡稱路徑.

設(shè)S為任意一個半群,a,b∈S,S上的R*-關(guān)系定義為 (a,b)∈R*當(dāng)且僅當(dāng)a,b在一個包含S的半群中關(guān)于Green-關(guān)系R等價(見文[4],[8]).

定理1設(shè)I為En-1中的非空子集, 則下面條件等價

1) 在半群S(I) 中下面關(guān)系成立

(α,β)∈R*?Ker(α)=Ker(β),?α,β∈S(I);

2) 在I的伴隨圖D(I) 中, 若存在以下D′ 的子圖

→z→xm→…→x2→x1=x，

→z→ym′→…→y2→y1=y，

其中m,m′≥1 且 {x1,x2,…,xm}∩{y1,y2,…,ym′}=? 并且

?{z,x1,x2,…,xm,y1,y2,…,ym′}.

則在D(I) 中必存在子圖

x→…→y

或

y→…→x

或

x→…→u←…←y，

其中u∈[n].

2 幾個預(yù)備引理

為方便起見, 在此始終認(rèn)為D為一個以 [n] 為頂點集的有向圖.

引理1設(shè)I為En-1的非空子集,x,y∈V(D(I)),x≠y, 則在S(I) 中存在元素ω滿足 (x)ω=y的充要條件為在D(I) 中存在從y到x的有向路徑.

證明見文[7] 引理3.4.

■

引理2設(shè)I為En-1的非空子集,x,y∈V(D(I)),x≠y. 若在D(I) 中存在路徑

P:y=am→am-1→…→al→a0=x,

其中am,am-1,…,a1,a0兩兩不同, 則在S(I)1中存在元素ξ,η滿足

以及

ξ=1V(D(I)),η=χ(x,y).

情況2否則取

以及

引理3設(shè)I為En-1中的非空子集,x,y∈V(D(I)),x≠y. 若在D(I) 中存在q∈[n]-{x,y}, 滿足

Q1:x=td→td-1→…→t1→t0=q,

Q2:y=se→se-1→…→s1→s0=q,

為D(I) 中交點僅為q的有向路徑, 且t0,t1,…,td兩兩不同,s0,s1,…,se兩兩不同, 則在S(I)1中存在元素ω,ζ滿足

以及

χ(tj,tj+1).

引理4設(shè)S為任意一個半群,a,b∈S, 則下面條件等價:

1) (a,b)∈ R*;

2) 對任意的x,y∈S1,xa=ya?xb=yb.

證明見文[4] 引理 2.4.

■

3 定理 1 中 (1)?(2) 的部分

證明反證法, 假設(shè)在D(I) 中存在形如定理1中D′ 的子圖, 其中m,m′≥1 且 {x1,x2,…,xm}∩{y1,y2,…,ym′}=? 并且

?{z,x1,x2,…,xm,y1,y2,…,ym′},

但形如下面的子圖都不存在:x→…→y及y→…→x以及x→…→u←…←y, 其中,u∈[n].

下面來說明在S(I) 中, 存在元素α,β∈S(I) 滿足

Ker(α)≠Ker(β),

但有

(α,β)∈R*.

為此現(xiàn)定義

σ1=χ(x2,x3)?！＆?xm-1,xm)。χ(xm,z),

假如x2,…,xm不存在, 則取σ1=χ(x,z),σ2做類似處理.

由計算馬上有

以及

其中Λ={x1,…,xm,y1,…,ym′,z,},v1,v2,…∈[n]-(Λ∪{x,y}). 并且由于容易得對任意的δ,λ∈S(I), 由。α=。α可得出。β=。β.

顯然又有 Ker(α)≠Ker(β).

因此, 存在u∈[n] 使得

x→…→y=u

或是

y→…→x=u

或是

x→…→u←…←y，

這便與假設(shè)矛盾.

■

4 定理 1 中 (2)?(1) 的部分

證明若 (α,β)∈S(I) 且 Ker(α)=Ker(β), 則顯然有 (α,β)∈RSingn, 從而有 (α,β)∈R*.

現(xiàn)假設(shè) (α,β)∈R*且 (x)α=(y)α=z, (x≠y), 下面我們來說明 (x)β=(y)β, 即說明 (x,y)∈Ker(β).

情況1若在D(I) 中存在

y=am→am-1→…→a1→a0=x.

不妨設(shè)a0,a1,…,am兩兩不相等, 則由引理 2 知在S(I)1中存在ξ,η滿足

以及

進(jìn)而有

因此有 (x,y)∈Ker(β).

在情況1不成立的情況下, 由 (x)α=(y)α=z以及引理1 知存在D(I) 中從z到x的路徑P1, 以及從z到y(tǒng)的路徑P2, 此處不妨設(shè)P1中頂點互不相同,P2也如此, 容易知存在z′ 為P1,P2中的一個公共頂點滿足：

情況2若z≠z′, 此處有兩種子情況.

U1:x=td→td-1→…→t1→t0=u,

U2:y=se→se-1→…→s1→s0=u.

此處不妨設(shè)u為U1,U2唯一的公共頂點且t0,…td互不相同,s0,…,se互不相同, 從而由引理 3 知存在ω,ζ∈S(I)1滿足:

以及

y.

從而由條件 (2) 以及假定情況 1 不成立知，在D(I) 存在頂點u使得D(I) 中有形如下面的子圖

x→…→u←…←y,

因此類似于情況 2.1 我們又知 (x,y)∈Ker(β).

情況3若z=且id(z)=0, 即在D(I) 中沒有形如 (g,z) 的有向邊, 則有 (z)α=z, 從而(x)α=(y)α=(z)α=z.由 (z,x)∈Ker(α) 以及情況 1 知 (x,z)∈Ker(β),

同理又有 (y,z)∈Ker(β). 因此有 (x,y)∈Ker(β).

情況4z=z′ 且 存在?V(P2)∪V(P1) 使得 (,z)∈E(D(I)), 類似于情況 2,可說明 (x,y)∈Ker(β).

情況5z=z′ 且在 {a1,a2,…,at-1} 中存在ap0使得 (ap0,z)∈E(D(I)), 現(xiàn)取

Q1:ap0→…→a1→a0=x,

Q2:ap0→z→br→…→b1→b0=y.

則ap0必為Q1,Q2唯一的公共頂點, 且ap0+1?V(Q1)∪V(Q2). 因而類似于情況 2, 我們又可說明 (x,y)∈Ker(β).

情況6若z=z′ 且 (at,z)∈E(D(I)), 此時若存在v∈V(P1)∪V(P2) 滿足 (v,at)或 (v,z)∈E(D(I)), 則類似于情況 2, 也可證明 (x,y)∈Ker(β).

若存在aq0∈{a1,a2,…,at-2} 使得 (aq0,at)∈E(D(I)), 則類似于情況5可知 (x,y)∈Ker(β).

若存在bj0∈{b1,b2,…,br} 使得 (bj0,at)∈E(D(I)), 則在D(I) 中便有如下子圖：

bj0+1→bj0→at→…→a1→a0=x，

bj0+1→bj0→bj0-1→…→b1→b0=y，

其中 {at,at-1,…,a1,a0}∩{bj0-1,…,b1,b0}=? 且bj0+1?{at,at-1,…,a1,a0,bj0,bj0-1,…,b1,b0}, 這里若j0=r, 則取bj0+1=z. 類似于情況2, 可證明 (x,y)∈Ker(β).

并且設(shè)在D(I) 中,Ω中的頂點滿足下面的各條件：

(W2) 在D(I) 中不存在從yi到xj的路徑, 1≤j≤k, 1≤i≤l.

顯然, 若Ω中的點不滿足 (W1) ，則可把情形歸至情況 2.

若Ω不滿足 (W2), 則在D(I) 中存在路徑

S:yi0=c1→c2→…→ce=xj0,e≥1,

此處不妨設(shè)c1,c2,…,ce兩兩不同 且都不在 {y1,y2,…,yl} 中, 則下面定義的兩條路徑

R:yi0=c1→c2→…→ce=xj0→…→x1=x,

R′:yi0→…→y2→y1=y,

y.

現(xiàn)在在V(Ω) 上定義一個全序,

x=x1x2…xk…z…yl…y1=y.

由引理 1 不難證明對任意的π∈S(I) 有

χ(pj,qj), ?1≤t≤s.

進(jìn)而取

現(xiàn)設(shè) (x)αt∈V(Ω) , 往證 (x)αt?(z)αt. 下面分4種子情況來討論.

情況6.1若 (x)αt-1?V(Ω). 現(xiàn)設(shè)x′=(x)αt-1, 而由 (x′)χ(pt,qt)∈V(Ω) 知

這是由于首先由 (W2) 知 (x)αt≠yi, ?1≤i≤l. 假如

m≥2,

情況6.2若 (x)αt-1∈{x1,…,xk}, 類似于情況6.1知

因而又有

(x)αt-1?(z)αt-1,

(x)αt=(x)αt-1?(z)αt-1=(z)α.

(x)αt?(x)αt-1。χ(pt,qt)?(z)αt-1。χ(pt,qt)=(z)αt.

因此, 由歸納原理知若有 (x)αt∈V(Ω), 則有 (x)αt?(z)αt. 特別地, 由于 (x)α=(x)αs=z∈V(Ω), 從而我們有z=(x)α?(z)α.

類似的, 可證z=(y)α(z)α. 因此便有 (x)α=(y)α=(z)α=z. 因而由情況1以及 (x,z)∈Ker(α), (y,z)∈Ker(α), (α,β)∈R*知

(x,z)∈Ker(β), (y,z)∈Ker(β),

因此有 (x,y)∈Ker(β).

從而有 Ker(α)?Ker(β). 同理可證相反的包含關(guān)系. 因此有 Ker(α)=Ker(β).

[1] HOWIE J M. An introduction to semigroup theory[M]. London: Academic Press, 1976: 1-13.

[2] HOWIE J M. Idempotent generators in finite full transformation semigroups[J]. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 1977, 81(81):317-323.

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[4] UMAR A. On the semigroups of order-decreasing finite full transformations[J]. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 1991, 120(1):129-142.

[5] YANG X, YANG H.H-trivial transformation semibands and digraphs[J]. Communications in Algebra, 2005, 33(5):1461-1481.

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[8] FOUNTAIN J. Abundant semigroups[J]. Proceedings of the London Mathematical Society, 1982, 44:103-129.

(α,β)∈R*? Ker(α)=Ker(β), ?α,β∈S(I).

TheR*-relationontheSemigroupsGeneratedbyIdempotentsofDefect1

YE Shuohai, YANG Xiuliang

(School of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036,China)

LetSingnbe the semigroup of all the singular transformations on [n]={1,2,…,n}. LetEn-1be set of all the idempotents of defect 1 inSingn. For any non-empty subsetIofEn-1, we characterized the necessary and sufficient condition forIsuch that the following relation holds:

idempotent of defect 1; simple digraph; kernel of a transformation; R*-relation

2017-02-10

楊秀良(1963—)，男，教授，主要從事半群代數(shù)研究.E-mail: yxl@hznu.edu.cn

10.3969/j.issn.1674-232X.2017.05.015

O152.7MSC201043A22

A

1674-232X(2017)05-0531-08