沒水傾斜板式防波堤消波性能分析

王禹龍，上官子昌，董榅鍵，祁 隆

(大連海洋大學(xué) 海洋與土木工程學(xué)院，遼寧 大連 116023)

沒水傾斜板式防波堤消波性能分析

王禹龍，上官子昌，董榅鍵，祁 隆

(大連海洋大學(xué) 海洋與土木工程學(xué)院，遼寧 大連 116023)

提出了一種將波浪中傾斜板問題等效化簡為波浪中水平板單元組的方法，該方法建立在使用分離變量法求解水工結(jié)構(gòu)邊值問題的基礎(chǔ)上，并使用伽遼金法精確求解連續(xù)邊界條件，確定考慮衰減波態(tài)的速度勢函數(shù)，從而求解沒水傾斜板結(jié)構(gòu)的消波性能。等效化簡法計算精度于邊界元法相當(dāng)，且計算單元數(shù)量少、開銷低?；诙S線性勢波理論，對沒水傾斜板式防波堤消波性能分析顯示，沒水板的傾斜角度、沒水深度與板長是結(jié)構(gòu)消波性能的控制因素：沒水傾斜板防波堤的消波性能優(yōu)于沒水水平板防波堤的消波性能，隨著沒水板結(jié)構(gòu)的傾斜角度增大，沒水傾斜板結(jié)構(gòu)的波浪透射系數(shù)顯著減小，且長板優(yōu)于短板，淺板優(yōu)于深板；與前人的水槽實驗對比顯示，相對沒水深度與波陡影響結(jié)構(gòu)的消波性能，且波陡造成的波浪破碎貢獻(xiàn)了顯著的波能消耗。該結(jié)論對板式防波堤的結(jié)構(gòu)配置、優(yōu)化設(shè)計有重要意義。

等效化簡；特征展開；伽遼金法；傾斜板；潛堤；消波

近年潛沒于水面下的板式防波堤在近海海域中的應(yīng)用越來越廣泛。建設(shè)于日本靜岡縣清水區(qū)的CALMOS結(jié)構(gòu)(Calm Offshore Structure，有腳式消波構(gòu)造物)為多層水平板結(jié)構(gòu)[1-2]，其養(yǎng)護(hù)沙灘的效果十分明顯；建設(shè)于日本北海道網(wǎng)走湖的傾斜板式防波堤不僅能適應(yīng)潮位變化，也能有效提高漁港內(nèi)的水面靜穩(wěn)度[3-4]。板式防波堤具有諸多優(yōu)點：環(huán)境友好，適應(yīng)大波高、大水深、弱基礎(chǔ)，施工快，易維護(hù)。傾斜板式防波堤不僅繼承了水平板式防波堤的優(yōu)點，而且能適應(yīng)潮位變化，從而提高了該結(jié)構(gòu)作為防波堤的可行性。

與沒水平板理論與實驗分析相比，沒水傾斜板的研究從時間與規(guī)模上都較為滯后。青山哲也等[5]利用非定常緩坡方程與伯努利定律分別分析了沒水傾斜板周圍自由水面流域與板下流域的水面變動與流量，基于微小振幅波理論并利用平板端部連續(xù)性邊界條件求解沒水傾斜板的波浪反射系數(shù)；并通過水槽實驗給出了沒水板結(jié)構(gòu)在不同波陡與相對水深下的消波性能關(guān)系；傾斜板對較小波長，較高波陡波浪的消波作用更加有效。Parsons和Martin[6-7]利用超奇異邊界積分方程求解半沒水傾斜板的波浪散射問題。余錫平[8]對近海沒水平板的消波效果與機(jī)理做了詳細(xì)的總結(jié)并分析介紹了有關(guān)沒水平板反射透射性能計算的方法，包括在隨機(jī)波浪下、非線性波浪下各幾何參數(shù)對沒水平板的影響，并指出傾斜角度對板式防波堤的有效性尚不能確定。劉勇等[9]利用邊界元法對沒水傾斜板式防波堤進(jìn)行數(shù)值分析，討論了傾斜角度對反射系數(shù)與透射系數(shù)的影響，并證明了在相同的傾斜板角度的前提下，前傾或后傾對消波效果沒有影響。隨著對沒水傾斜板式防波堤實驗研究的深入，Rao等[10]和Yagci等[11]明確提出傾斜板式防波堤更優(yōu)于水平板式防波堤的結(jié)論，這使得之前關(guān)于沒水板式防波堤的傾斜角的有效消波效果變得明晰起來。

傳統(tǒng)水平板式防波堤波浪消波性能分析的方法主要為特征函數(shù)展開法、邊界元法和有限元法等。特征函數(shù)展開法又稱領(lǐng)域分割法[12](the method of matched eigenfunction expansions)。簡而言之，是將流體領(lǐng)域分割成矩形區(qū)域，相鄰區(qū)域的速度勢函數(shù)(代表波壓力)與速度勢函數(shù)的法向微分(波流速)滿足連續(xù)性條件，利用特征函數(shù)正交性質(zhì)建立關(guān)于未知系數(shù)的一次線性方程組求解。這里試圖使用該方法并結(jié)合伽遼金法求解傾斜板的邊值問題；在處理邊界時，將傾斜板等效化簡為一組水平板單元，隨著水平板單元數(shù)量增加，其消波效果亦接近傾斜板的真實效果，如圖1所示。

圖1 有限水深中沒水傾斜板等效化簡示意Fig. 1 Conception sketch of simplified inclined plate

1 控制方程與邊界條件

為不失一般性，基本計算模型如圖2(a)所示，J段沒水平板單元依次潛沒于水深為h的波浪水域中，全部水域被劃分為3J+1個區(qū)域：水平板單元長度(lj)、單元板厚(δj)、潛沒深度(dj)與中點橫坐標(biāo)(xj)便能概括模型特征，其中j(j=1,2,3,……,J)代表水平板單元序號。

圖2 等效簡化傾斜板模型定義與水平板單元符號定義Fig. 2 Symbol definition for inclined plate model and single horizontal plate element in regions

傾斜板結(jié)構(gòu)與等效化簡的傾斜板模型參量關(guān)系：

其中，B為沒水傾斜板水平方向投影長度，它與傾斜板原型的實際長度關(guān)系為B=Lpcosθ，下文稱板長；D為沒水傾斜板原型中點沒水深度，下文稱平均沒水水深；θ為沒水傾斜板原型與水平的夾角。

結(jié)構(gòu)模型定義后，便是研究水域的變量定義。如圖2(b)所示，任一水平板單元(單元編號定義為j)，其水平長度中心點橫坐標(biāo)為x=xj，水平板單元左側(cè)豎直邊界為x=xj-lj/2，水平板單元右側(cè)豎直邊界為x=xj+lj/2。水平板單元左邊界左側(cè)的自由水面水域定義為區(qū)域1，水平板單元上側(cè)自由水面水域定義為區(qū)域2，水平板單元下側(cè)非自由水面水域定義為區(qū)域3，三個區(qū)域分別用符號定義為φ1,j,φ2,j與φ3,j。

考慮均勻水深h中入射波幅為A的波浪作用，基于線性勢波理論，水體在流域內(nèi)滿足控制方程(4)與邊界條件式(5)～(11)。

水平板單元邊界條件：

二維輻射遠(yuǎn)場條件：

其中，ω為圓頻率；k為入射波數(shù)；i為虛數(shù)單位。

以上邊值問題求解可將速度勢做特征值展開，在x=xj±lj/2處建立速度勢函數(shù)與速度的跨邊界連續(xù)方程。余錫平[13]對比分析了幾種接合法，即選點解法、選段解法與伽遼金法。考慮最小化加權(quán)殘差時，計算沒水平板對波浪的反射表明伽遼金法最有效率，故以下利用伽遼金法求解。

2 速度勢求解

2.1速度勢函數(shù)一般解

對于自由水面區(qū)域與板下非自由水面水域Ω1,j,Ω2,j與Ω3,j，包含定常衰減波波態(tài)的速度勢一般解可由線性化自由水面邊界條件與分離變量法求解：

式中：Aj,n,Bj,n,Cj,n,Dj,n,Ej,n與Fj,n為一般解中待求未知系數(shù)；k0,n,kj,n與λj,n分別為自由水面區(qū)域，水平板單元上自由水面區(qū)域與水平板單元下非自由水面區(qū)域的復(fù)波數(shù)，其滿足以下關(guān)系(15)～(17)，可利用Newton-Raphson法計算。

以上復(fù)波數(shù)中，k0,0=-ik0，k0為實數(shù)色散方程的解，kj,0同理Εn(k0,nz),Ζn(kj,nz)與Λn(λj,nz)為特征方程(18)～(20)。

自由水面區(qū)域中，Ω1,1在x=-邊界處、Ω1,J在x=+邊界處衰減受阻；于是可輕易得到以下符合輻射條件的邊界信息。

2.2建立并求解線性方程組

水平板單元與其他水平板單元的影響是相互的：迎浪側(cè)水平板單元的透射波浪將以入射波浪傳播入第二塊水平板單元區(qū)域；第二塊水平板單元區(qū)域的反射波浪將同樣以反射波的形式傳播入第一塊迎浪側(cè)水平板單元區(qū)域。表現(xiàn)在速度勢函數(shù)中，即系數(shù)的相互影響的傳遞效果(如圖3所示)，入射波浪波高A1,n(n=0,1,2,3,……)受到第一塊水平板單元作用，經(jīng)C1,n(n=0,1,2,3,……) 的傳遞，影響到第二塊水平板前入射波浪波高A2,n(n=0,1,2,3,……)，此作用最終影響到透射波浪波高AJ+1,n(n=0,1,2,3,……)；反射波高波浪BJ+1,n(n=0,1,2,3,……)受到最后一塊水平板單元作用，經(jīng)DJ,n(n=0,1,2,3,……)的傳遞，影響到前一塊水平板前入射波浪波高BJ,n(n=0,1,2,3,……)，此作用最終影響到反射波浪波高系數(shù)B1,n(n=0,1,2,3,……)。

圖3 水平板單元系數(shù)傳遞示意(n=0, 1, 2, ……, N)Fig. 3 Effects over elements (n=0, 1, 2, ……, N )

圖4 系數(shù)矩陣M結(jié)構(gòu)圖(J=3，N=1)Fig. 4 Diagram of matrix structure (J=3，N=1)

根據(jù)相鄰區(qū)域的速度勢函數(shù)，速度連續(xù)性條件與輻射條件，3J+1個水域可建立(6J+2)(N+1)元方程組，該方程組包含(8J+2)(N+1)枚等式。合并關(guān)于速度連續(xù)的方程組，可利用伽遼金法簡化方程組，詳細(xì)推導(dǎo)可從相關(guān)文獻(xiàn)[14]得到。利用特征函數(shù)的正交關(guān)系最后得到包含(6J+2)(N+1)枚等式的(6J+2)(N+1)元線性方程組。

線性方程組的系數(shù)可以方陣形式列出，該方陣可利用Gauss-Jordan消元法求解，其結(jié)構(gòu)如圖4所示。圖4表示了J=3時水平板單元組成的傾斜板問題的系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)圖，衰減波波態(tài)數(shù)量為N=1，圖中每一枚實點代表矩陣中一個元素：三個水平板單元的小矩陣Mj(j=1,2,3)依次從上開始向下排列，最后為表示輻射邊界條件的矩陣，故水平板單元矩陣Mj維度為6(N+1)×(6J+2)(N+1)；輻射條件矩陣的維度為2(N+1)×(6J+2)(N+1)。其中每2行實點分別對應(yīng)一枚等式中系數(shù)(見圖4矩陣M2所示)中N=0與N=1兩種衰減波情況，此方程組中有6(N+1)個公式，分別由水平板單元左側(cè)豎直邊界x=xj-lj/2與右側(cè)邊界x=xj+lj/2得到(見圖4矩陣M3所示的上下兩部分)，故12行元素，16列亦如此，從左至右依次為Aj,Bj,Cj,Dj,Ej,Fj,Aj+1,Bj+1，其中J=3,N=1。

3 結(jié)果分析

3.1結(jié)果驗證

通過線性方程組求解或矩陣計算，可得所有水域速度勢函數(shù)，定義傾斜板對波浪的反射系數(shù)和透射系數(shù)如式(26)和(27)。并將計算結(jié)果與既往關(guān)于沒水傾斜板的數(shù)值解數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，以驗證該模型的有效性。

圖5給出了沒水平板結(jié)構(gòu)對波浪的反射系數(shù)與透射系數(shù)理論結(jié)果，這與余錫平所得理論結(jié)果[8]吻合良好(h/L=0.25,d/h=0.30)，其中微小的偏差是由于余錫平文中不計板厚度。

圖6給出了沒水傾斜板結(jié)構(gòu)對波浪的反射系數(shù)與透射系數(shù)理論結(jié)果。可以看出，本結(jié)果與劉勇等[9]利用邊界元法所得理論結(jié)果吻合良好(B/h=1.00,d/h=0.15,δ/h=0.1)。

圖5 沒水平板結(jié)構(gòu)反射與透射系數(shù)(J=1, N=20)Fig. 5 Coeff. of submerged horizontal plate (J=1，N=20)

圖6 沒水傾斜板結(jié)構(gòu)反射與透射系數(shù)(J=25, N=20)Fig. 6 Coeff. of submerged inclined plate (J=25，N=20)

3.2沒水傾斜板的消波性能分析

圖7給出了傾斜角度對沒水傾斜板消波性能的影響(J=25，N=20，以下計算均如此)，即沒水板結(jié)構(gòu)厚度δ=0.10h、平均沒水水深D=0.15h、傾斜板長度與水深比B/h=1.00，沒水傾斜板在不同傾斜角度下相對板長(B/L)的變化規(guī)律。沒水傾斜板式防波堤的透射系數(shù)隨著傾斜角度的增加，在不同相對板長情況均呈現(xiàn)出降低的趨勢；特別的，相對板長為約0.15到0.30時能夠形成最好的效果。這說明，增加傾斜角度有助于提高沒水傾斜板的消波性能。

圖8給出了沒水深度對沒水傾斜板消波性能的影響，即沒水板結(jié)構(gòu)厚度δ=0.10h、平板傾斜角度θ=15°、傾斜板長度與水深比B/h=1.00，沒水傾斜板在不同沒水深度下相對板長(B/L)的變化規(guī)律。沒水傾斜板式防波堤的透射系數(shù)隨著沒水深度的增加，呈現(xiàn)出增大的趨勢：沒水深度越小，消浪效果越好，相對沒水深度小于0.20時能夠形成最好的掩護(hù)效果，更深的沒水深度的消波效果急劇下降。這說明，沒水深度的減小能夠顯著提高沒水傾斜板的消波性能。

圖9給出了傾斜板長對沒水傾斜板消波性能的影響，即沒水板結(jié)構(gòu)厚度δ=0.10h、平均沒水水深D=0.15h、平板傾斜角度θ=15°，沒水傾斜板在不同相對板長隨相對水深(kh)變化的規(guī)律。沒水傾斜板式防波堤的透射系數(shù)隨著板長的減小，呈現(xiàn)出增大的趨勢，且相對板長為約0.80以上時能夠形成最好的掩護(hù)效果，更短的板長結(jié)構(gòu)的消波效果急劇下降。這說明，增加板長能夠顯著提高沒水傾斜板的消波性能。

圖7 傾斜角度對沒水傾斜板消波性能影響(δ/h=0.10,D/h=0.15,B/h=1.00)Fig. 7 Inclination effect on submerged inclined plate breakwater(δ/h=0.10,D/h=0.15,B/h=1.00)

圖8 沒水深度對沒水傾斜板消波性能影響(δ/h=0.10,B/h=1.00,θ=15°) Fig. 8 Submergence effect on submerged inclined plate breakwater(δ/h=0.10,B/h=1.00,θ=15°)

圖9 相對板長對沒水傾斜板消波性能影響(δ/h=0.10,D/h=0.15,θ=15°)Fig. 9 Length effect on submerged inclined plate breakwater(δ/h=0.10,D/h=0.15,θ=15°)

圖10 相對板厚對沒水傾斜板消波性能影響(D/h=0.15,B/h=1.00,θ=15°) Fig. 10 Thickness effect on submerged inclined plate breakwater(D/h=0.15,B/h=1.00,θ=15°)

圖10給出了傾斜板厚對沒水傾斜板消波性能的影響，即沒水板結(jié)構(gòu)平均沒水水深D=0.15h、傾斜板長度與水深比B/h=1.00、平板傾斜角度θ=15°，沒水傾斜板在不同相對板厚時相對板長(B/L)的變化規(guī)律。

在相對板長為約0.20以內(nèi)時，沒水傾斜板式防波堤的透射系數(shù)隨著板厚的增大，呈現(xiàn)出減小的趨勢，且在相對板長小于0.15左右時，厚板的消浪效果優(yōu)于薄板。這一結(jié)論與劉鵬飛等[15]對淹沒矩形箱式防波堤厚度對透射系數(shù)的影響可得到印證。

圖11中曲線給出了沒水傾斜板在板厚度δ=0.10h、傾斜角度θ=10°，不同相對波長與不同相對潛沒深度時反射系數(shù)與透射系數(shù)與相對板長的關(guān)系；與此對照的是用點線表示出的青山哲也等[5]的實驗結(jié)論。計算與實驗的透射系數(shù)與反射系數(shù)在相對板長小于0.3時較好的符合，在此之后計算值均明顯大于實驗值；而且較大的波陡系數(shù)時亦如此，這一差異越來越大的趨勢在透射系數(shù)上尤為明顯。這種趨勢說明傾斜板對較小波長波浪，較高波陡波浪的消波作用更加有效。相比于圖11(a)、圖11(b)中計算與實驗更接近，即計算值在不同波陡的實驗值上表現(xiàn)出相同的變化，而且差距不顯著。這說明在該實驗條件下，因為較大的沒水深度避免了波浪在板上的破碎，使得其更接近數(shù)值計算的假設(shè)。

圖11 沒水傾斜板在不同相對水深下的消波性能Fig. 11 Measured and computed results of submerged inclined plate in relative water depth

4 結(jié) 語

通過將傾斜板等效化簡為一組水平板單元，并結(jié)合伽遼金法匹配連續(xù)條件，得到了利用傳統(tǒng)特征函數(shù)展開法對傾斜邊界問題的半解析解，從而實現(xiàn)了對沒水傾斜板式防波堤的消浪效果的分析?，F(xiàn)有理論模型的計算結(jié)論與既有的理論解與數(shù)值解相互吻合良好，證明了該方法在解決沒水傾斜板與波浪相互作用問題上的有效性。理論分析結(jié)論表明，沒水傾斜板防波堤的消波性能優(yōu)于沒水水平板防波堤的消波性能，逐漸增大的傾斜角度，顯著減小了波浪透射系數(shù)；沒水傾斜板的板長與沒水深度這兩項因素的分析結(jié)論與水平板結(jié)構(gòu)相似，即較大的相對板長與較淺的沒水深度減小了透射系數(shù)，這是因為絕大部分波浪能量集中于自由水面附近而且板結(jié)構(gòu)異化了由波浪產(chǎn)生流速并阻隔了水質(zhì)點的震蕩軌跡。進(jìn)一步與既往實驗的對比研究發(fā)現(xiàn)，潛沒較深的傾斜板實驗結(jié)論與理論計算結(jié)果極為接近，而潛沒深度較淺、波陡較大的傾斜板實驗結(jié)論與理論結(jié)果差別逐漸增大，并形成顯著差別。該結(jié)論證明發(fā)生在傾斜板上波浪破碎主要是由沒水深度與波陡決定的，且勢波理論在求解沒水傾斜板式防波堤消波研究存在部分局限。由此，合適的傾斜角度與顯著的波浪破碎對沒水板式防波堤結(jié)構(gòu)改進(jìn)有積極意義，以提高沒水傾斜板式防波堤的工程可行性。

致謝：對東京海洋大學(xué)沿岸域工學(xué)研究室岡安章夫教授的啟發(fā)與池谷毅教授在工程實例資料收集與程序編寫時給予了寶貴的協(xié)助和指導(dǎo)，在此致以衷心的感謝！

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Wave controlling performance analysis of submerged inclined plate breakwater

WANG Yulong, SHANGGUAN Zichang, DONG Wenjian, QI Long

(College of Ocean and Civil Engineering, Dalian Ocean University, Dalian 116023, China)

A method is proposed to simplify the problem of wave interaction with a submerged inclined plate structure as a group of submerged horizontal plate elements. The separation variable method and Galerkin method are employed to solve the boundary value problem around this hydraulic structure and to find the approximation of transboundary continuity solution. This method, an equivalent approximating method, has demonstrated quite excellent accuracy with a fair speed comparing with boundary element method. Based on the two-dimensional linear wave theory, the analysis of the wave controlling performance of the submerged inclined plate breakwater shows that the inclination, water depth and the length of the plate are critical factors. The wave propagation over the submerged inclined plate structure is significantly reduced, the long plate is superior to the short one, and the shallow submerged plate is superior to the deep one. The comparison with the previous experiments indicates that the smaller wave depth also influences the wave controlling performance, and the wave-induced wave breaking over plate contributes to the remarkable wave energy dissipation. The conclusion is of great significance to the structural configuration and optimization design of this type of plate breakwater.

equivalent simplification; eigenfunction expansions; Galerkin method; inclined plate; submerged breakwater; wave control

1005-9865(2017)06-0055-07

TV139.2

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2017.06.007

2017-03-24

王禹龍(1989-)，男，河北衡水人，港口工程助理工程師，主要從事近岸構(gòu)筑物研究。E-mail：wangyulong.dlou.edu.cn@gmail.com