碗筷問題分析
——兼談虛功原理在競賽中的應(yīng)用

朱國強 項秉坷

(1. 浙江省蕭山中學(xué),浙江 杭州 311201； 2. 浙江師范大學(xué)初陽學(xué)院物理學(xué),浙江 金華 321000)

·競賽園地·

碗筷問題分析
——兼談虛功原理在競賽中的應(yīng)用

朱國強 項秉坷

(1. 浙江省蕭山中學(xué),浙江 杭州 311201； 2. 浙江師范大學(xué)初陽學(xué)院物理學(xué),浙江 金華 321000)

分別從牛頓力學(xué)與分析力學(xué)角度出發(fā),結(jié)合幾何學(xué)知識,對中學(xué)物理競賽經(jīng)典訓(xùn)練題——碗筷問題——給出了多種解法,并對各種解法進(jìn)行比較評析.

碗筷問題； 虛功原理； 虛位移； 力矩； 共點力

1 問題的緣起

碗筷問題是靜力學(xué)中一類經(jīng)典問題,題設(shè)條件非常簡潔,但又能較好地考察學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題的的綜合能力.題目如下.

圖1

一根均勻粗細(xì)的筷子放置在半徑為r的半球形碗內(nèi),筷子靜止在光滑的碗內(nèi),筷子在碗內(nèi)長度為c,如圖1所示.求筷子總長l.

虛功原理是2016版全國中學(xué)生物理競賽大綱新增的內(nèi)容,且為決賽內(nèi)容.碗筷問題屬于靜力學(xué)平衡問題,可以應(yīng)用包括虛功原理在內(nèi)的多種方法解決.

2 幾種解法介紹

圖2

首先,這是一個靜力學(xué)問題,一般根據(jù)受力平衡和力矩平衡,列出方程組來求解.

解法1(如圖2):對筷子,力矩平衡,以P為支點,

對筷子,水平方向受力平衡,N2sinθ=N1cos2θ，

又據(jù)幾何關(guān)系，

其次,注意到這是一個剛體平衡問題,根據(jù)共點力原理,筷子所受到的3個力應(yīng)該交于一點,如圖2所示.根據(jù)幾何關(guān)系可確定重心位置進(jìn)而求出筷子長度.

第三,靜力學(xué)問題,可以應(yīng)用虛功原理求解.虛功原理由伯努利(Bernoulli)1717年提出的,到1764年拉格朗日(Lagrange)進(jìn)一步完善.虛功原理是指具有理想約束力學(xué)體系,其平衡的充要條件是所有主動力在任意虛位移中所作元功之和等于0.1788年拉格朗日出版了世界上最早分析力學(xué)的著作《分析力學(xué)》.分析力學(xué)是建立在虛功原理和達(dá)朗貝爾原理的基礎(chǔ)上,兩者結(jié)合,可得到動力學(xué)普遍方程,從而導(dǎo)出分析力學(xué)各種系統(tǒng)的動力方程.

圖3

解法3:建立坐標(biāo)系如圖3所示.

根據(jù)虛功原理,筷子的主動力在任意虛位移中所作元功之和等于0,δW=0.

消去x、y得

第四,由于該碗筷問題的自由度s=1,取δθ為虛位移,應(yīng)用虛功原理.

解法4:根據(jù)虛功原理,筷子的主動力在任意虛位移中所作元功之和等于0,δW=0.

得

第五,該碗筷問題中,主動力只有重力,根據(jù)虛功原理可知,重力在任意虛位移中所作元功等于0.

第六,上述虛功原理是力學(xué)變分原理的微分形式,同樣可以用力學(xué)變分原理的積分形式——哈密頓原理來解決這個問題.

最后,體系的動能T=0且勢能形式非常簡潔,也可以用保守系的拉格朗日方程快速地求解.

3 解法比較分析

牛頓定律及建立在此基礎(chǔ)上的理論稱為牛頓力學(xué)(也稱矢量力學(xué)),拉格朗日方程及建立在此基礎(chǔ)上的理論稱為拉格朗日力學(xué)(也稱分析力學(xué)).

(1) 解法1、2是從牛頓力學(xué)出發(fā)的解法.解法1運用了受力平衡和力矩平衡是解決靜力學(xué)問題最基本方法,原則上所有靜力學(xué)問題都可由這種方法求解,其不足之處在于需要聯(lián)立多條方程求解,計算過程相對復(fù)雜.而解法2則利用共點力的3力匯交原理簡化了運算過程,可直接由幾何關(guān)系確定重心位置,進(jìn)而得到了筷子長度.帶來這種便捷的原因是共點力3力匯交原理是剛體力矩平衡方程的體現(xiàn),故直接運用它可使問題得到簡化.

(2) 解法3到解法6是從分析力學(xué)角度出發(fā)的解法.其中解法3到解法5的3種解法應(yīng)用的都是虛功原理,本質(zhì)相同,不同之處在于對廣義坐標(biāo)選擇的不同.解法5就是通過靈活選取了廣義坐標(biāo)θ以及運用幾何關(guān)系得到了較為簡潔的求解過程.

(3) 解法6用到的哈密頓原理是和牛頓運動定律等價的原理,同樣是力學(xué)的第一性原理,并且廣泛地被用來推導(dǎo)其他原理、定律和方程.我們可以用拉格朗日方程推出哈密頓原理,也可以反過來從哈密頓原理推出拉格朗日方程.解法7則是運用了拉格朗日方程解決問題.可以說,拉格朗日方程是微分變分原理,哈密頓原理是積分變分原理.而虛功原理和哈密頓原理的共同點是也都用到了變分法的精神.分析力學(xué)將關(guān)注點從力轉(zhuǎn)向了具有更廣泛意義的能量,同時又?jǐn)U大了坐標(biāo)的概念,因而這種方法更便于運用到物理學(xué)的其他領(lǐng)域,具有更豐富的內(nèi)涵和外延.

1 周衍柏.理論力學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社,1985.

2 韓亞萍,徐曉峰.應(yīng)用虛功原理時應(yīng)注意的一個問題[J].大學(xué)物理,2000，19(5)： 22-23.

2017-07-30)