Fredholm算子指標在緊擾動、小擾動下的不變性

陳永翠

(重慶師范大學 數(shù)學科學學院，重慶 401331)

Fredholm算子指標在緊擾動、小擾動下的不變性

陳永翠

(重慶師范大學 數(shù)學科學學院，重慶 401331)

主要研究了Fredholm算子及其指標分別在緊擾動和小擾動下的變化情況;驗證了抽象指標與傳統(tǒng)指標本質(zhì)相同;并利用開集、同態(tài)映射和Fredholm算子的性質(zhì)對Fredholm算子及其指標分別在緊擾動和小擾動下的不變性給出了相應的證明.

緊算子；Fredholm算子；緊擾動；小擾動；不變性

本文在介紹了緊算子的前提下給出了Fredholm算子[1]定義及Fredholm算子的相關性質(zhì),做出了Fredholm算子在小擾動下不變的又一種證明,該方法單純使用開集及連續(xù)映射進行論證,較文獻[2]中利用Fredholm算子性質(zhì)證明的方法更簡潔,更易理解.此外，本文另一個工作是建立起了抽象指標與傳統(tǒng)指標間的等價性關系,并利用開集、同態(tài)映射以及Fredholm算子的相關性質(zhì),證明了Fredholm算子的指標在小擾動、緊擾動下的不變性.其實,Fredholm算子及其性質(zhì)在數(shù)學的很多分支中都有著極其廣泛的應用,多用于研究例如Hilbert空間、Dirichlet空間、Fock空間[3]等空間中各種算子的一些性質(zhì)[4-8],此外，人們還進一步考察了半Fredholm算子及其指標等相關問題[9].可見,Fredholm算子在數(shù)學研究中也占據(jù)著不容忽視的地位.

1 預備知識

定義1 若H是一個無限維Hilbert空間,算子T∈L(H),稱T是一個有限秩算子,若dimranTlt;∞.H上有限秩算子全體記為LF(H).稱T是一個緊算子[10],若T將H中單位球映為列緊集，即T(H)1的閉包是緊集.H上緊算子全體記為LC(H).

注：本文中討論的都是H為無限維Hilbert空間的情形,因為當H是有限維Hilbert空間時L(H)= LC(H).

定義2 若H是Hilbert空間，則商代數(shù)L(H)∕LC(H)是Banach代數(shù)[11-12],稱為Calkin代數(shù).

下面驗證L(H)∕LC(H)是Banach代數(shù)線性空間.

證明要證L(H)∕LC(H)是Banach代數(shù),首先需證L(H)∕LC(H)是代數(shù)：

自然同態(tài)Π：L(H)→L(H)∕LC(H),

對任意Π(T),Π(S)∈L(H)∕LC(H),因為Π同態(tài),所以對任意λ∈R或C,T,S∈L(H),

Π(λT)=λΠ(T),Π(TS)=Π(T)Π(S)

對任意α,β∈R或C,Π(T),Π(S),Π(R)∈L(H)∕LC(H)

Π(T)={Π(T+K1)| T∈L(H),K1∈LC(H)}，Π(S)={Π(S+K2)| S∈L(H),K2∈LC(H)}

α{Π(T+K1)| T∈L(H),K1∈LC(H)}+β{Π(S+K2)| S∈L(H),K2∈LC(H)}=

αΠ(T)+βΠ(S)=Π(αT+βS)={Π(αT+βS+K |αT+βS∈L(H),K∈LC(H)}

所以,αΠ(T)+βΠ(S) ∈L(H)∕LC(H),其他幾條性質(zhì)容易驗證.

因此,L(H)∕LC(H)是線性空間.再證L(H)∕LC(H)是代數(shù)：

Π(TSR)=Π(TS)Π(R) =Π(T)Π(S)Π(R)=Π(T)(Π(S)Π(R))=Π(T)Π(SR)

所以,結(jié)合律成立.

注：T∈L(H)，S∈LC(H),TS∈LC(H)

(Π(S)+Π(R))Π(T)= Π(S+R)Π(T)=Π((S+R)T)=Π(ST+RT)=Π(ST)+Π(RT)=

Π(S)Π(T)+Π(R)Π(T)

Π(T)(Π(S)+Π(R))= Π(T)Π(S+R)=Π(T(S+R))=Π(TS+TR)=Π(TS)+Π(TR)=

Π(T)Π(S)+Π(T)Π(R)

所以,左右分配律成立.

α(Π(T)Π(S))= α(Π(TS)) =Π(αTS)=Π((αT)S)=Π(αT)Π(S)=(αΠ(T))Π(S)=

Π(T)(αΠ(S))

綜上所述,L(H)∕LC(H)是一個代數(shù).

L(H)∕LC(H)={ [Π(T)]| Π(S)∈[Π(T)],T+ K=S,K∈LC(H)}

L(H)∕LC(H)上范數(shù)定義為：

‖[Π(T)]‖=inf{‖Π(R)‖：Π(S)∈[Π(T)]}≤‖Π(T)‖

‖[Π(T)][Π(S)]‖ =inf{‖Π(Q) Π(W)‖：Π(Q)∈[Π(T)],Π(W)∈Π(S)}≤

‖Π(T)‖‖Π(S)‖

所以,L(H)∕LC(H)是一個賦范代數(shù).最后證明L(H)∕LC(H)完備,顯然.

所以,L(H)∕LC(H)是Banach代數(shù).

不難驗證Calkin代數(shù)實質(zhì)上是一個C*代數(shù).

證明：設H是Hilbert空間，對任意T,S∈L(H),α,β∈R或C,有：

④(ST)*=T*S*;⑤‖T‖2=‖T*T‖;

不妨設對合映射*：L(H)∕LC(H)→L(H)∕LC(H)，Π(T) →Π(T)*

因為L(H)∕LC(H)是一個Banach代數(shù),所以對任意的Π(T)∈L(H)∕LC(H),存在唯一的表示

Π(T)= Π(U)+ iΠ(V)[11],其中Π(U), Π(V)是自伴算子.所以只需考慮L(H)∕LC(H)中自伴元即可.

若T為自伴元，則Π(T)=Π(T*)

又因為Π(T)={T+K|K∈LC(H)}，又有對任意K∈LC(H),則K*∈LC(H)

所以Π(T)*={T+K|K∈LC(H)}*=Π((T+K)*)=Π(T+K*)=Π(T)=Π(T*)

下面驗證Calkin代數(shù)是一個C*代數(shù).對任意T,S∈L(H),α,β∈R或C

(i) Π(T)**=((Π(T)*)*=Π(T*)*=Π(T**)=Π(T);

(iii) ( Π(T)Π(S))*=(Π(TS))*=Π((TS)*)=Π(S*T*)=Π(S*)Π(T*)=Π(S)*Π(T)*

(iv) 因為‖Π(T*)‖=inf{‖Π(S*)‖∣S～T }=inf{‖Π(S)‖∣S～T}=‖Π(T)‖

所以,‖Π(T)*Π(T)‖ =‖Π(T*)Π(T)‖=‖Π(T*T)‖=‖Π(T)‖2

故Calkin代數(shù)是一個C*代數(shù).

定義3 設H是Hilbert空間,自然同態(tài)Π：L(H)→L(H)∕LC(H),T∈L(H).若Π(T)是L(H)∕LC(H)中的可逆元,則稱T是一個Fredholm算子,H上Fredholm[11，13]算子全體記為F(H).

定義4 若H是Hilbert空間，則傳統(tǒng)指標函數(shù)j：F(H)→.使得j(T)=dim kerT-dim kerT*,對n∈,集合Fn={T∈F(H):j(T)=n}.

定理1 若H是Hilbert空間,則F(H)是L(H)的一個開子集,且F(H)自伴,乘法封閉,在緊擾動和小擾動下都保持不變[2,12].

定理2[12]若H是Hilbert空間,T∈F0且K∈LC(H),則T+K∈F0.

2 結(jié)論及其證明

在前面已有F0在緊擾動不變的情況下進一步討論Fn在緊擾動下的變化情況.要證明Fn在緊擾動下的變化情況,直接證明不太好入手,現(xiàn)不妨定義抽象指標i如下：

定義5i：F(H)→ΛL(H)/LC(H),使得i=γοП,其中γ是對Banach代數(shù)L(H)/LC(H)的抽象指標.即i：F(H)→L(H)/LC(H)→ΛL(H)/LC(H).

現(xiàn)驗證i連續(xù),可乘.

證明：先證i連續(xù),因為Π是一個同態(tài)且F(H)是開集,所以G={Π(T)|Π(T)-1存在}是L(H)/LC(H)中的開集,所以,F(H)=Π-1(G),由此可得Π連續(xù).又因為Λ離散,所以i連續(xù).再證i可乘,對任意T,S∈F(H),TS∈F(H),有：i(TS)=γοП(TS)=γο(Π(T)Π(S))=(γοΠ(T))(γοΠ(S))=i(T)i(S).

所以i可乘.

若能證得指標i與j等價,則可用i驗證j的性質(zhì).現(xiàn)證i,j本質(zhì)上是一致的.

定理3 傳統(tǒng)指標j與抽象指標i實質(zhì)相同.

證明：假設存在映射α∶Z→ΛL(H)/LC(H),使得下表交換：

對每個n,集合Fn=j-1(n)={T∈F(H)∶j(T)=n}連通[14].

可知,α良定義：因為i連續(xù),Λ離散,所以i作用在F(H)上一定為常量.所以α(n)=i(T)良定義且α一定連續(xù).再證α是同構(gòu),只需證α同態(tài)且一一映射.先驗證α同態(tài)：

i(T)=γοΠ(T)=αоj(T)=α(n)，i(Tk)=ki(T) =kα(n)，其中k∈+

所以,若j(T)=n,j(S)=m,則有

i(TS)=γο(Π(TS)=γο(Π(T)Π(S))=(γοΠ(T))( γοΠ(S))=α(j(TS))=α(j(T)+j(S))=α(n+m)

又因為i(TS)=i(T)+i(S)=α(n)+α(m)

所以,α(n+m)= α(n)+α(m)

即i可乘性成立.

λ個

所以線性性成立.因此,α是一個同態(tài).

最后證明α是一一映射.因為i是滿射,所以α為滿射.驗證單射：因為對任意T∈F(H),K∈LC(H),有Π(T+K)=Π(T).所以,i(T+K)=i(T),即i在緊擾動下不變.進而有keri= F0,所以α是單射，從而是一一映射.

由上可得α是同構(gòu)映射,所以指標i與j本質(zhì)上是相同的且j在緊擾動下不變,j連續(xù)、可乘.

定理4 對任意T∈F(H),K∈LC(H),有j(T+K)=j(T).

定理5 對任意T∈F(H),S∈L(H),存在δgt;0,當‖S‖lt;δ時，有j(T+S)=j(T).

證明：在前面定義5中證明i連續(xù)時已經(jīng)知道

(*1)對任意開集G∈L(H)/LC(H)，G={Π(T)|Π(T)-1存在}是開集，所以Π-1(G)存在且是開集.因此對任意T∈F(H),存在δgt;0,使得U(T,δ)?F(H),對任意F∈U(T,δ),有‖F(xiàn)-T‖lt;δ.不妨令F-T=S,‖S‖lt;δ,從而有：‖T+S-T‖=‖S‖lt;δ. 所以T+S∈U(T,δ), T+S∈F(H).(*2)又因為i連續(xù),所以對任意εgt;0,?δgt;0,使得：當‖F(xiàn)-T‖lt;δ時,令S=F-T,‖S‖lt;δ有：

∣i(F)-i(T)∣lt;ε,即∣i(T+S)-i(T)∣lt;ε

所以i在小擾動下不變,得證.

注：上述證明中(*1)～(*2)的內(nèi)容可作為定理1中F(H)小擾動下不變性的另一證明方式.

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責任編輯：時凌

TheInvariantoftheIndexoftheFredholmOperatorUnderCompactPerturbationamp;SmallPerturbation

CHEN Yongcui

(School of Mathematical Sciences,Chongqing Normal University,Chongqing 401331,China)

In this article,we studied the changes of Fredholm operators and its index under compact perturbation amp; small perturbation.We also proved that the classical indexiand the abstract indexjare essentially the same.At last,we gave the proofs of invariation by the properties of open set,homomorphic mapping and Fredholm operators.

compact operator;Fredholm operator;compact perturbation;small perturbation;invariation

2016-11-25.

重慶市研究生科研創(chuàng)新項目(YKC16001)

陳永翠(1994-)，女，碩士生，主要從事泛函分析的研究.

1008-8423(2017)04-0417-03

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2017.12.014

O18

A