舉反例在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

王秀麗+李迅+黃名川

摘 要 教學(xué)中有效運用反例教學(xué)，可以增加學(xué)生對定理、定義、概念的理解和記憶，理解原命題條件的合理性和結(jié)論的正確性。反例的理解過程就是一種思維辯證的鍛煉過程。本文主要就反例在以下四個個方面進行分析。

關(guān)鍵詞 反例 辯證思維 思維發(fā)散

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A

由于高考的壓力，很多學(xué)校大都只注重于解題能力的培養(yǎng)，而對于邏輯思維能力的培養(yǎng)會有所欠缺。邏輯思維能力其實是一切理科科目的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，所以數(shù)學(xué)在高中的基礎(chǔ)學(xué)科中擔(dān)任著重要的責(zé)任。數(shù)學(xué)中的一些定理和定義條件繁多，理解起來很抽象。學(xué)生的思辨能力很難通過原有的定義、定理建立起來。如果在數(shù)學(xué)的教學(xué)中能夠利用反例來教學(xué)，可以達到事半功倍的作用；其次在反例和原命題的比較討論中，學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)造能力得到了加強。繼而可以實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的最高的目的，即邏輯思維能力的訓(xùn)練。

1反例在公式、定義教學(xué)中的應(yīng)用

很多學(xué)生在理解和記憶定義、定理的過程中，大都只記住了定理的結(jié)論而忽略了使用條件，這就可能導(dǎo)致學(xué)生在解決問題的過程中發(fā)生錯誤。學(xué)生在拿到題目時，看到題目的條件和定理很相似沒有過多思考就直接使用了，這就要求老師在教學(xué)過程中要對定理的條件加以強調(diào)，對相應(yīng)的條件舉出反例就是一個很好的手段。

例如在高中數(shù)學(xué)的“實數(shù)指數(shù)冪”中，根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中，書本上給出這樣的定義

由于學(xué)生剛剛從初中步入高中學(xué)校，學(xué)生的抽象思維能力很弱。對于上述含有較多參數(shù)的代數(shù)式，很多學(xué)生從心理上存在抵觸。很多學(xué)生知道這個公式的含義，但是往往忽略了公式后括號里的使用條件。這就需要老師向?qū)W生強化使用的條件，但是往往一言堂的教學(xué)課堂并不能使學(xué)生充分體會括號內(nèi)條件的必要性。我給同學(xué)們舉出了這樣的一組反例，并問學(xué)生如果運用公式求解下列根式的值對嗎？

很多同學(xué)認(rèn)為運用公式求解沒有問題，但是也有同學(xué)提出疑問：根式的結(jié)果應(yīng)該是個正數(shù)為什么最后通過公式運算得到的卻是一個負(fù)數(shù)？同學(xué)們在課堂上展開了激烈的討論。這時老師加以引導(dǎo)學(xué)生注意公式后面的括號，學(xué)生就會對這個公式的使用條件印象更加深刻，在以后的使用過程中有所注意。

2反例在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)的概念就是指學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理、公式、法則的性質(zhì)，它是作圖、計算、解題的前提條件，也是培養(yǎng)學(xué)生思維發(fā)散的必要條件之一。清晰明確的概念是理解的前提，如果數(shù)學(xué)概念模糊不清，那么學(xué)生在解題過程中就會出現(xiàn)各種錯誤。因此，熟練掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要條件。學(xué)生往往在概念的理解過程中會忽略概念的必要條件，這就要求教師在教學(xué)過程中合理使用反例對條件加以強化。例如在雙曲線的學(xué)習(xí)中定義：在平面內(nèi)有兩個定點 F1 和 F2 的距離的和等于一個常數(shù) 2a（2a>|F1F2|），那么這個動點 P 的軌跡叫做橢圓。

（1）焦點：F1、F2，焦距：|F1F2|

（2）定義重點：距離和大于|F1F2|

然而很多同學(xué)對概念中距離之和大于焦距的條件不太關(guān)注，這就需要老師向?qū)W生強化此條件。在傳統(tǒng)的填鴨式課堂，學(xué)生只能通過記憶記住這兩個條件，但在實際的解題過程中又會出現(xiàn)遺忘的情況，繼而出現(xiàn)解題困難。那么可舉這樣的一個反例：設(shè)點 P 到同一平面內(nèi)兩個點 F1（-4， 0），F(xiàn)2（4， 0）的距離的和為 8，那么點 P 的軌跡是什么呢？學(xué)生經(jīng)過計算后 就會發(fā)現(xiàn)點 P 的跡方程卻是 y=0 （-4≤x≤4） 所對應(yīng)的線段，不是橢圓。通過舉出的這個反例，學(xué)生就會對“距離和的常數(shù)須要大于 F1F2”這個條件記憶深刻，以后也會在應(yīng)用條件時記得考查是否滿足這個條件了 。

3反例在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)的題型解答中，選擇題是很常見也很有效的考察方式，對于一些選擇題可以運 用舉出反例加以驗證而不需要通過復(fù)雜抽象的邏輯思考，卻可以達到簡便、快速的解題效果。例如在不等式一節(jié)中：

例題：如果 a+b>0，ab>0 則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. a>0， b>0 B. a>0， b<0 C. a<0， b>0 D. a<0， b<0

學(xué)生通過舉出反例可以很快排除 B、C、D 的答案，得到 A 是正確的答案，雖然這種舉反例的方法很繁瑣，但是對于剛進入高中的學(xué)生來說，這卻是一種很直接有效的解題方法。同時，運用舉反例的方法可以快速檢驗自己的答案是否滿足題意的要求。

4反例在逆向思維中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)是更加注重邏輯思維的學(xué)科。如何使學(xué)生能夠切實感受到邏輯思考的過程，其實就顯得很重要和困難。如果能夠在日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中插入反例，那么就可以達到事半功倍

的作用。例如在數(shù)學(xué)的《充要條件》一節(jié)中：“x > 3”是“x > 2”什么條件？其實問題的關(guān)鍵是由命題“x > 3”到命題“x > 2”的正確性與否以及由命題“x > 2”到命題“x > 3”的正確性，如果學(xué)生能夠舉出反例：2.5 大于 3，但是小于 2 就能夠得出相應(yīng)的結(jié)論。雖然這個問題較簡單，但是它反應(yīng)的邏輯思維方式卻是逆向、辯證的思維，從中學(xué)生也能夠感受到數(shù)學(xué)的思辨能力。

5結(jié)語

在高中的教育伊始，學(xué)生由于心智發(fā)展不夠成熟，對抽象的邏輯問題沒有自己的思考。對數(shù)學(xué)的定理和定義理解起來很困難。老師如果能夠在數(shù)學(xué)的教學(xué)中合理運用反例教學(xué)，并且構(gòu)造恰當(dāng)?shù)姆蠢龓椭鷮W(xué)生理解和記憶概念，那么往往將能夠產(chǎn)生出乎意料的效果。學(xué)生在這逆向的思維過程中，不但能純熟駕馭所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，又能提高自己的邏輯思維能力。充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的邏輯思考過程，讓學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)成為一種樂趣。

參考文獻

[1] 蔣長蘭.反例在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].讀與寫雜志，2015，12（03）：249.

[2] 張少鳳.反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].教法研究，2013.

[3] 王培德.數(shù)學(xué)思想應(yīng)用及探索：建構(gòu)教學(xué)[M].北京：人民教育出版社，2007.

[4] 夏愛桃.淺析“反例教學(xué)”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].課程教學(xué)，2013（02）.endprint