小學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)策略

顧曉東

幾何直觀作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中的十大核心概念之一，具有豐富的內(nèi)涵。《標(biāo)準(zhǔn)》指出，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。在教學(xué)實(shí)踐中，筆者認(rèn)為，幾何直觀是指利用實(shí)物、形體模型、幾何圖形及直觀符號(hào)等展開(kāi)直觀化的信息加工過(guò)程，形象描述數(shù)學(xué)對(duì)象，形成直觀表象，展開(kāi)數(shù)學(xué)聯(lián)想，從而有效探索和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種認(rèn)知方式和能力。幾何直觀溝通了兒童形象思維與數(shù)學(xué)抽象邏輯之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化，抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題與圖形之間的轉(zhuǎn)化，有助于探索解決問(wèn)題的有效策略。 那么，如何提高學(xué)生的幾何直觀能力呢？筆者認(rèn)為，要重點(diǎn)把握幾何直觀運(yùn)用的三個(gè)基本階段，突出幾何直觀能力培養(yǎng)的三個(gè)重要層次。

一、把握幾何直觀運(yùn)用的三個(gè)基本階段

當(dāng)學(xué)生面臨的實(shí)際問(wèn)題具有一定的復(fù)雜性和抽象性時(shí)，就須要借助幾何直觀來(lái)加以解決。在運(yùn)用幾何直觀手段時(shí)，一般要經(jīng)歷以下三個(gè)基本階段。

1.準(zhǔn)確建構(gòu)幾何直觀形象，讓描述與圖形相隨

幾何直觀就是要讓原本復(fù)雜的問(wèn)題描述內(nèi)容變得簡(jiǎn)明化、直觀化。因而當(dāng)學(xué)生遇到一個(gè)較為復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，首先要根據(jù)描述的文字內(nèi)容準(zhǔn)確建構(gòu)出與之相符的幾何形象來(lái)，為后續(xù)的幾何探索和分析奠定基礎(chǔ)。如四年級(jí)學(xué)生在解決面積變化的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，有一道典型題目：梅山小學(xué)有一塊長(zhǎng)方形花圃，長(zhǎng)8米，在修建校園時(shí)，花圃的長(zhǎng)增加3米，面積增加了18平方米，現(xiàn)在花圃的面積是多少平方米？由于題中的文字信息比較復(fù)雜，學(xué)生一開(kāi)始會(huì)顯得一頭霧水，無(wú)法準(zhǔn)確理解題意。此時(shí)，就需要學(xué)生邁出幾何直觀的第一步，即根據(jù)文字信息準(zhǔn)確地建構(gòu)起幾何形象，使文字描述與圖形結(jié)合起來(lái)，從而清晰、直觀地看到題中各條件之間的關(guān)系，進(jìn)而順利進(jìn)入到下一步的分析中去。

2.靈活展開(kāi)幾何直觀分析，讓思維與圖形共行 通過(guò)建構(gòu)幾何圖形，一方面能使繁瑣、復(fù)雜的問(wèn)題變得直觀形象，另一方面由于幾何圖形中存在的各種關(guān)系比較清晰，有利于學(xué)生靈活運(yùn)用幾何思維，展開(kāi)幾何分析與探索。如上題中，當(dāng)學(xué)生完成幾何形象建構(gòu)之后，可以從不同角度靈活地進(jìn)行幾何分析：可以先求出現(xiàn)在長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，再乘寬，得出面積；也可以先求出原先長(zhǎng)方形的面積，再加上增加的面積，從而得出現(xiàn)在花圃的面積。兩種方法的相同之處是都要先根據(jù)增加部分（即一個(gè)小長(zhǎng)方形）的面積和長(zhǎng)增加的長(zhǎng)度，求出原來(lái)長(zhǎng)方形花圃的寬。在這樣一種基于幾何圖形的直觀分析中，學(xué)生的思維過(guò)程始終是與直觀呈現(xiàn)的圖形要素相聯(lián)系的。

3.有機(jī)實(shí)現(xiàn)幾何直觀轉(zhuǎn)換，讓表達(dá)與圖形互進(jìn)

幾何直觀促發(fā)了幾何思維，但這一思維過(guò)程還要與題中數(shù)量關(guān)系分析結(jié)合在一起，實(shí)現(xiàn)基于幾何推理的數(shù)量關(guān)系分析，從而使幾何思維過(guò)程順利轉(zhuǎn)換為數(shù)量關(guān)系和解題思路的準(zhǔn)確表達(dá)，即再次由圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為文字表述。如六年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)用替換策略解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，有這樣一道題目：王老師買了3本科技書和5本文藝書，共花了50元錢，一本科技書比一本文藝書貴6元?？萍紩c文藝書的單價(jià)各是多少元？借助直觀的線段圖，學(xué)生能比較敏銳地發(fā)現(xiàn)：如果把線段圖中科技書單價(jià)貴的部分去掉，就和文藝書單價(jià)相同了。這樣，一種借助于幾何直觀的假設(shè)推理過(guò)程就在學(xué)生頭腦中形成了：假設(shè)科技書單價(jià)便宜6元，與文藝書相同，那么就變成50-3×6=32元，而這32元?jiǎng)t相當(dāng)于3+5=8本文藝書的總價(jià)。在借助幾何直觀解決問(wèn)題時(shí)，直觀只是一種手段和方法，最終還需要學(xué)生將直觀思考和幾何推理表述為一種清晰的數(shù)量關(guān)系，從而順利解決問(wèn)題。

以上三個(gè)方面只是剖析了幾何直觀作為一種方法運(yùn)用時(shí)的基本階段或步驟，其實(shí)這幾個(gè)方面在具體實(shí)施幾何直觀描述和分析問(wèn)題時(shí)，往往是糅合在一起的。此時(shí)就需要教師引導(dǎo)學(xué)生借助幾何圖形，作出更為準(zhǔn)確的幾何分析與推理，順利找到解題思路。

二、突出幾何直觀能力培養(yǎng)的三個(gè)重要層次

小學(xué)階段是幾何直觀能力培養(yǎng)的起始階段，也是至關(guān)重要的階段。《標(biāo)準(zhǔn)》在學(xué)段目標(biāo)的數(shù)學(xué)思考中提出，在小學(xué)階段要讓學(xué)生感受幾何直觀的作用。這意味著小學(xué)階段要結(jié)合具體的問(wèn)題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用幾何直觀的過(guò)程，感受其價(jià)值，并能初步運(yùn)用幾何直觀解決問(wèn)題。因此，教師在日常教學(xué)中，要注重學(xué)生幾何直觀意識(shí)的培養(yǎng)，幫助學(xué)生建構(gòu)各種有效的幾何直觀模型，積累和豐富幾何直觀經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而內(nèi)化幾何直觀的數(shù)學(xué)思想。

1.重視畫圖，培養(yǎng)幾何直觀意識(shí)

有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教師常常會(huì)反映，在解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生往往是被教師要求才畫圖的，甚至許多學(xué)生是在解決問(wèn)題之后才畫圖的。此時(shí)，畫圖不僅不是解決問(wèn)題的有效手段，反而成了學(xué)習(xí)上的一種的附庸和累贅，無(wú)法真正發(fā)揮幾何直觀的作用。為此，我們?cè)诮虒W(xué)中要結(jié)合實(shí)例重點(diǎn)指導(dǎo)畫圖方法，適時(shí)引導(dǎo)反思，凸顯幾何直觀的價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀的意識(shí)。

（1）結(jié)合實(shí)例加強(qiáng)指導(dǎo)。低段學(xué)生以模仿為主，缺乏模型建構(gòu)的能力。因此，教師應(yīng)從低年級(jí)開(kāi)始，注意結(jié)合一些典型例題，重視畫圖分析策略，加強(qiáng)畫圖方法指導(dǎo)，潛移默化地讓學(xué)生對(duì)畫圖策略產(chǎn)生好感。如在一年級(jí)教學(xué)“求少掉多少的實(shí)際問(wèn)題”時(shí)，教師在引導(dǎo)學(xué)生理解題意，分析數(shù)量關(guān)系時(shí)可以借助問(wèn)題本身的實(shí)際情境，先讓學(xué)生借助手勢(shì)來(lái)描述實(shí)物圖的基本內(nèi)容，然后啟發(fā)學(xué)生將手勢(shì)演示的內(nèi)容用線條畫下來(lái)，慢慢指點(diǎn)學(xué)生形成直觀的幾何圖（圖1），最后再引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖來(lái)分析和理解“求少掉多少”的數(shù)量關(guān)系。教師有意識(shí)地、經(jīng)常性地運(yùn)用畫圖策略解決問(wèn)題，并在“如何畫”上給予學(xué)生一定的幫助，長(zhǎng)此以往，能夠潛移默化地給學(xué)生以啟示：遇到問(wèn)題可以先畫圖，再看圖思考。

（2）適時(shí)對(duì)比引導(dǎo)反思。學(xué)生運(yùn)用幾何直觀的良好意識(shí)是在不斷獲得成功體驗(yàn)、自覺(jué)進(jìn)行反思的過(guò)程中逐步形成的。如果只是偶爾呈現(xiàn)相關(guān)材料，只有短時(shí)效應(yīng)。因而教師要選擇一些典型的幾何直觀運(yùn)用問(wèn)題，讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，并著重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)利用畫圖解決問(wèn)題的過(guò)程進(jìn)行反思，讓他們?cè)诜此贾猩羁腆w會(huì)和感受到運(yùn)用幾何直觀的優(yōu)勢(shì)。如上文所述“梅山小學(xué)操場(chǎng)擴(kuò)建”的問(wèn)題，教師在呈現(xiàn)例題時(shí)，可以設(shè)計(jì)兩種形式的例題（文字題和圖畫題），讓兩部分學(xué)生（不知情的）分別做其中一種，在解題過(guò)程中學(xué)生會(huì)感到了不公平，拿到圖畫題的學(xué)生輕而易舉地解決了問(wèn)題，而拿到純文字題的學(xué)生則無(wú)法快速解答。在這樣一種對(duì)比中，學(xué)生能深切地體會(huì)到畫圖思考問(wèn)題的優(yōu)越性。endprint

2.豐富模型，提升幾何直觀水平

幾何直觀有助于將抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象直觀化、顯性化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀領(lǐng)悟能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生掌握一些典型的幾何直觀模型，提升其幾何直觀水平。

（1）善用數(shù)軸模型，化抽象為形象。數(shù)軸是運(yùn)用幾何直觀的最佳模型之一，靈活應(yīng)用數(shù)軸，能夠化抽象為形象，幫助學(xué)生更加直觀、深入地認(rèn)識(shí)數(shù)，更準(zhǔn)確地理解數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)感起到積極作用。如在教學(xué)近似數(shù)時(shí)，讓學(xué)生解決“2.24更接近哪個(gè)一位小數(shù)”，目的是讓學(xué)生理解取一個(gè)數(shù)的近似值的原理，體會(huì)這個(gè)近似數(shù)的精確度。有些學(xué)生會(huì)存在困難，此時(shí)借助數(shù)軸模型就可以直觀、形象地理解近似數(shù)的取值原理，如圖2：

從圖2中，學(xué)生可以直觀地看到2.24與2.2之間的距離是4格，而與2.3之間的距離是6格，因而2.24更接近2.2。在直觀模型的幫助下，化抽象為形象，幫助學(xué)生理解“四舍五入”取近似數(shù)的原理。

再如在比較近似數(shù)的精確度時(shí)，如“1.5和1.50都是1.496的近似數(shù)，哪一個(gè)更精確？”這樣的問(wèn)題抽象程度比較高，學(xué)生不易理解。借助數(shù)軸模型，學(xué)生就能輕而易舉地解決問(wèn)題了。（圖3）

從數(shù)軸上，學(xué)生可以清楚看到約等于1.5的是兩位小數(shù)，其范圍是1.45～1.55，而約等于1.50的是三位小數(shù)，其范圍是1.495～1.504，范圍比前者小，顯然精確度更高。

（2）多用線段圖模型，化模糊為清晰。線段圖是用來(lái)表示實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的重要手段。尤其是面對(duì)一些條件復(fù)雜、易混淆的實(shí)際問(wèn)題，它能充分體現(xiàn)從抽象文字到清晰呈現(xiàn)、直覺(jué)感悟的價(jià)值。如“一條20米長(zhǎng)的路上，每隔5米種一棵樹，一共可以種多少棵樹？”對(duì)三年級(jí)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，具有一定的迷惑性，他們一開(kāi)始都會(huì)把它看成以前所學(xué)的平均分的實(shí)際問(wèn)題。此時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)畫線段圖，用圖表示出“每隔5米種一棵”究竟是怎樣的，經(jīng)過(guò)討論明確，以點(diǎn)代表樹，以線段代表間隔5米，畫出兩端都種的基本型，在直觀圖中清晰看到點(diǎn)數(shù)總比段數(shù)多1（即棵樹比間隔數(shù)多1），進(jìn)而繼續(xù)研究另外兩個(gè)變式。借助線段圖模型，學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)得到了自然突破。

（3）活用面積圖模型，化晦澀為直白。畫面積圖是解決問(wèn)題的一種策略。學(xué)生利用面積變化圖能將一些表述晦澀的問(wèn)題信息變得直白形象，從而有效地分析題意，探索解題路徑。因而，用好面積圖模型，能提高學(xué)生幾何直觀的水平。例如在高年級(jí)學(xué)習(xí)雞兔同籠的假設(shè)問(wèn)題時(shí)，我們通常是利用假設(shè)的策略，來(lái)引導(dǎo)學(xué)生抽象地理解解題思路。其實(shí)，我們也能引入面積圖模型，幫助學(xué)生直觀分析。

圖中用長(zhǎng)方形ABCD的面積表示雞的腳數(shù)，長(zhǎng)方形HDEG的面積表示兔的腳數(shù)，當(dāng)我們把每只兔也看做2只腳時(shí)，雞兔總腳數(shù)就可以用長(zhǎng)方形ABEF的面積來(lái)表示了，算出是16×2=32只，比原來(lái)總只數(shù)少了44-32=12只，這個(gè)12只在圖中就是長(zhǎng)方形HCFG的面積。從圖中還可以看到長(zhǎng)方形HCFG中寬FG是4-2=2，因此可以求出長(zhǎng)CF是12÷2=6，也就是兔的只數(shù)。這樣通過(guò)一幅直觀的面積圖，將原本晦澀的題意表示得很直白，讓學(xué)生借助幾何思維解決了實(shí)際問(wèn)題。當(dāng)然，這樣的思考過(guò)程需要學(xué)生具備一定的幾何直觀能力。但我們可以將這種幾何直觀方法與原先的假設(shè)思路加以比較，讓學(xué)生能夠深刻體會(huì)幾何直觀的妙處，從而慢慢體會(huì)到幾何直觀的便利性。

（4）巧用連線圖模型，化內(nèi)隱為外顯。連線是低年級(jí)學(xué)生解決一些生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法。其實(shí)在中高年級(jí)的一些實(shí)際問(wèn)題解決中，我們?nèi)钥梢砸龑?dǎo)學(xué)生活用連線模型，巧妙而直觀地解決問(wèn)題。比如在學(xué)習(xí)“搭配的規(guī)律”時(shí)，就可以讓學(xué)生進(jìn)行連線搭配，把頭腦中內(nèi)隱的思維過(guò)程外顯出來(lái)，通過(guò)有序的連線，把各種搭配情況一一列舉出來(lái)。

3.內(nèi)化積淀，發(fā)展幾何直觀思想

幾何直觀能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，須要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的、有意識(shí)的訓(xùn)練。而發(fā)展幾何直觀的數(shù)學(xué)思想，更是需要學(xué)生在運(yùn)用的過(guò)程中逐漸積累起豐富的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)到其真正的價(jià)值，進(jìn)而形成一種穩(wěn)定的數(shù)學(xué)思想。

（1）引導(dǎo)學(xué)生借形觀數(shù)，直觀表征，積累幾何直觀經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”一課時(shí)，出示教材問(wèn)題情境之后，先讓學(xué)生觀察量杯的實(shí)物圖，接著引導(dǎo)學(xué)生將其抽象成長(zhǎng)方形圖，繼續(xù)觀察幾何直觀圖，進(jìn)而在長(zhǎng)方形圖中畫一畫、想一想，學(xué)生能夠輕松地發(fā)現(xiàn)計(jì)算方法。在這一解題過(guò)程中，學(xué)生憑借著自身積累的畫圖經(jīng)驗(yàn)，借助常見(jiàn)幾何圖形來(lái)直觀表征數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解決問(wèn)題過(guò)程中進(jìn)一步強(qiáng)化畫圖意識(shí)、提高畫圖能力、積累直觀經(jīng)驗(yàn)，為發(fā)展和形成幾何直觀思想奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（2）啟發(fā)學(xué)生借形思法，直觀頓悟，發(fā)展幾何直觀思想。學(xué)生借助幾何直觀圖，通過(guò)幾何思維的推理和演繹，能夠獲得一些一般性的解題思路。而有時(shí)借助幾何直觀圖，學(xué)生還能獨(dú)辟蹊徑，頓悟出一些特殊方法，形成一些創(chuàng)造性解題思路，從而迅捷地解決問(wèn)題。如教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)“用畫圖的策略解決面積問(wèn)題”中“練一練”的題目時(shí)，學(xué)生根據(jù)題意畫出直觀圖，標(biāo)好有關(guān)的條件數(shù)據(jù)：

一般情況下學(xué)生能找到常規(guī)思路和方法，用150÷5×（20-5）=450（平方米）。但也有學(xué)生從圖中直接頓悟出用150×3=450（平方米），這表明學(xué)生在長(zhǎng)期的幾何直觀能力訓(xùn)練中，已經(jīng)能從直觀圖中實(shí)現(xiàn)頓悟。

總之，幾何直觀能力的培養(yǎng)應(yīng)滲透在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)方面。教師要善于結(jié)合教材資源，幫助學(xué)生形成畫圖的意識(shí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀描述和分析問(wèn)題的能力，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]endprint