超混沌系統(tǒng)在圖像置亂加密中的算法探究

李鳳榮　劉嘉洋

【摘 要】受到離散數(shù)學(xué)中超混沌系統(tǒng)及信息轉(zhuǎn)移的啟發(fā)，將嘗試結(jié)合兩者形成新算法框架并應(yīng)用于圖像加密相關(guān)的信息安全領(lǐng)域。通過分析超混沌系統(tǒng)，計(jì)算生成混沌吸引子相圖、像素值相關(guān)度等非線性動(dòng)力學(xué)特性，并實(shí)現(xiàn)超混沌系統(tǒng)展開對(duì)圖像加密的研究，并著眼超混沌序列對(duì)于初始條件的敏感性、相鄰像素差置亂度、圖像加密/解密速度進(jìn)行實(shí)踐測(cè)試。 實(shí)驗(yàn)成果及安全性分析表明，在該算法及所提議的框架下具有較強(qiáng)的抵御窮舉攻擊、統(tǒng)計(jì)攻擊等，具有一定的擴(kuò)展意義。

【關(guān)鍵詞】超混沌系統(tǒng)；圖像置亂；混沌吸引子相圖

0 引言

與傳統(tǒng)加密方案不同，本研究將基于超混沌系統(tǒng)的新框架來實(shí)現(xiàn)加密的安全通信，設(shè)計(jì)思路如圖1所示。

混沌具有良好的偽隨機(jī)性、軌道不可預(yù)測(cè)性等一系列優(yōu)良特性。但應(yīng)用于加密算法時(shí)，低維混沌存在密鑰空間小等不安全弊端；而高維超混沌系統(tǒng)則能更有效的抵御相空間重構(gòu)等破譯攻擊。正的Lyapunov指數(shù)越高，系統(tǒng)軌道不穩(wěn)定方向越多，系統(tǒng)隨機(jī)性越強(qiáng)，抗攻擊能力越高。計(jì)算表明該研究所采用的超混沌系統(tǒng)具有滿意的Lyapunov指數(shù)。

圖1 研究實(shí)現(xiàn)架構(gòu)

本文后繼展示具體的實(shí)驗(yàn)步驟，集合對(duì)應(yīng)步驟結(jié)果的分析逐步深入探討并優(yōu)化實(shí)施方法，并最終通過實(shí)驗(yàn)效果驗(yàn)證了算法及架構(gòu)的合理性。

1 超混沌系統(tǒng)

本研究采用的超混沌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程如下[1]：

■■=a（-y■+y■）■■=dy■+cy■-y■y■■■=y■y■-by■■■=y■+k（1）

其中a，b，c，d和k是非線性系統(tǒng)的常數(shù)參數(shù)。當(dāng)a=36，b=3，c=28，d=-16和-0.7≤k≤0.7時(shí)，該系統(tǒng)是超混沌的。

混沌序列可以通過以下步驟生成：通過四階Runge-Kutta離散算法迭代超混沌系統(tǒng)N0次以獲得四個(gè)離散狀態(tài)序列yk（k=1，2，3，4）。然后用過yk構(gòu)造隨機(jī)整數(shù)序列xk，（k=1，2，3，4）：xk（i）=mod（（|yk（i）|-？骔|yk（i）|？骎）×10t，D（i））其中xk（i） 是序列xk第i個(gè)值，|x|表示x的絕對(duì)值，|x|返回小于或等于x的最近整數(shù)。

在研究實(shí)現(xiàn)中，N0取100000，即采用Runge-Kutta迭代100000次，取后面99000各數(shù)據(jù)得到混沌序列生成點(diǎn)對(duì)。系統(tǒng)的混沌吸引子軌道線在特定的吸引域內(nèi)具有遍歷性[2]。

3 像素級(jí)置亂

3.1 對(duì)加密圖像的位置置亂

為了擾亂圖像相鄰像素間的高度相關(guān)性，利用置亂矩陣來置亂原圖像像素位置。實(shí)驗(yàn)具體操作步驟如下：

（1）用迭代生成的混沌序列，舍棄前10000個(gè)值，將后面的99000個(gè)值作為實(shí)際使用的混沌序列。

（2）對(duì)混沌序列做如下處理：

x1（k）=|x1（k）|-fix（x1（k））x3（k）=|x3（k）|-fix（x3（k））（2）

（3）將由（2）產(chǎn)生的混沌序列排序，分別從行和列建立從原序列到新序列的映射（一定為單射+滿射），即將排序序列作為圖像數(shù)據(jù)矩陣的行序列和列序列，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)原圖像位置的置亂[3]。

3.2 置亂的局限性

像素級(jí)置亂破壞了原圖像相鄰像素點(diǎn)相關(guān)性，但是圖像的灰度直方圖并沒改變，因而安全性不夠高，很難抵御已知明文攻擊，仍需要做進(jìn)一步的加密。

4 比特級(jí)置亂

4.1 像素值擴(kuò)散

仍然由超混沌系統(tǒng)生成的4個(gè)混沌序列出發(fā)，把其作為加密密鑰來加密圖像：

（1）對(duì)各序列預(yù)處理：

xi=mod（fix（（|xi|-？骔|xi|？骎）×1015），256

（2）通過x0決定使用的三元組：

x0=mod（x4，4）

其中x0的四個(gè)值分別對(duì)應(yīng)四個(gè)不同的三元組；

（3）以x0=0為例，使用三元組（x1，x2，x3）

定義：置亂后矩陣為一個(gè)1*M*N的向量P（作為本例輸入）；擴(kuò)散后矩陣置亂后矩陣為一個(gè)1*M*N的向量C（作為加密圖像輸出）則有：

C（3×i+1）=P（3×i+1）？茌x1？茌C（3×i）

C（3×i+2）=P（3×i+2）？茌x1？茌C（3×i+1）

C（3×i+3）=P（3×i+3）？茌x1？茌C（3×i+1）

其中：i=0，1，2...■，P（i）和C（i）分別代表了置亂后的圖像和密文圖像像素灰度值，C（0）=100。

4.2 置亂效果

實(shí)驗(yàn)選用256×256、灰度為256色的Lena位圖作為實(shí)驗(yàn)圖像。如圖2和圖3所示：

圖2 測(cè)試用例原始圖像

圖3 比特級(jí)置亂效果

5 密鑰空間分析

超混沌系統(tǒng)的4個(gè)初始值和參數(shù)作為密鑰。若設(shè)置精度為1*10-14，則密鑰空間總數(shù)超過 1*1070。如果將迭代次數(shù)也作為密鑰，則這樣的密鑰空間足以應(yīng)付大部分的密鑰攻擊[4]。

6 密鑰敏感性分析

混沌序列的選擇對(duì)混沌系統(tǒng)也是敏感的，這樣就能有效地增強(qiáng)算法的安全性。

分別取兩個(gè)不同初值的x3為26.8629和26.86290001（精度為1*10-8），迭代10w次后輸出關(guān)于x1，x3的散點(diǎn)效果，如圖4所示：

因隨著迭代次數(shù)的逐級(jí)上升，差異化將越來越明顯，為驗(yàn)證差異性，取后1w個(gè)點(diǎn)的散點(diǎn)效果，如圖5所示：

可以看出密鑰的微小變化將引起密文的顯著變化。使用超混沌系統(tǒng)加密的安全性在于其初始值的敏感性，即攻擊者用與初始值極為相似的一個(gè)數(shù)值進(jìn)行破解，也因?yàn)榧?xì)微的差別而不能正確解密出原始圖像，故加密效果良好[5]。

7 結(jié)束語(yǔ)

本研究所采用的實(shí)驗(yàn)框架核心邏輯在于對(duì)超混沌系統(tǒng)的應(yīng)用以及同統(tǒng)計(jì)學(xué)計(jì)算技巧的結(jié)合，從而有效地應(yīng)用于圖像置亂加密?；诔煦缦到y(tǒng)完成對(duì)明文圖像進(jìn)行加密、置亂和像素值擴(kuò)散的過程，分析可得其擁有較高的精度和較大的密鑰空間。每次隨機(jī)產(chǎn)生的密鑰不同，具有“一次一密”性 。并且該算法運(yùn)速度較快（為線性時(shí)間），具有應(yīng)用于實(shí)時(shí)加密傳輸?shù)臐撛趦r(jià)值。

【參考文獻(xiàn)】

[1]Gao， T.， Chen， Z.， Yuan， Z.， Chen， G.： A hyperchaos gen- erated from Chens system. Int. J. Mod. Phys. C 17（04）， 471–478 （2006）.

[2]Shannon， C.E.： Communication theory of secrecy systems. Bell Syst. Tech. J. 28（4）， 656–715 （1949）.

[3]A，A.V.I.A.：Ergodicproblemsofclassicalmechanics.Math. Phys. Monogr. Ser. （1968）.

[4]Zhang， W.， Wong， K.-W.， Yu， H.， Zhu， Z.-I.： An image encryption scheme using lightweight bit-level confusion and cascade cross circular diffusion. Opt. Commun. 285（9）， 2343–2354 （2012）.

[5]盧輝斌，孫艷.基于新的超混沌系統(tǒng)的圖像加密方案，計(jì)算機(jī)科學(xué)，201138（6）：149-152.endprint