三類與三角形有關(guān)的最值問(wèn)題的解法

陳衛(wèi)衛(wèi)

與三角形有關(guān)的最值問(wèn)題具有較強(qiáng)的綜合性，不僅考查了三角形的性質(zhì)、周長(zhǎng)公式、面積公式、正弦定理、余弦定理、勾股定理，還考查了三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象以及基本不等式和函數(shù)的性質(zhì)等．對(duì)于此類較為復(fù)雜的最值問(wèn)題，我們?cè)撊绾蜗率帜?？下面結(jié)合實(shí)例來(lái)探討．

一、與三角形的角有關(guān)的最值問(wèn)題

與三角形的角有關(guān)的最值問(wèn)題，通常要求根據(jù)已知條件，求某個(gè)角的最大、最小值．求解此類問(wèn)題，需熟練運(yùn)用等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊，鈍角為三角形的最大角等知識(shí)，找到最大的角．在解題時(shí)，需先運(yùn)用正余弦定理將題目中的邊角關(guān)系統(tǒng)一，然后將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的三角函數(shù)式，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性來(lái)求得最值．值得注意的是，三角形中的角的范圍為（0，180°）．

例1．已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為2a+3，a2+3a+3，a2+2a（a>0），求這個(gè)三角形的最大角．

解：經(jīng)比較可知，三角形的最大邊為a2+3a+3，

所以最大角為120°．

解答本題，需先根據(jù)三角形三邊的大小關(guān)系確定三角形的最大角，然后利用余弦定理求角的余弦值．

二、與三角形的邊有關(guān)的最值

求解與三角形的邊有關(guān)的最值問(wèn)題，首先要運(yùn)用正弦定理將題目中的邊角關(guān)系統(tǒng)一，把目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于三邊或三角的函數(shù)式，然后利用三角函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性和有界性，基本不等式等來(lái)求得最值．

該題中給出的已知關(guān)系式和目標(biāo)式均較為復(fù)雜，需首先根據(jù)正余弦定理將已知關(guān)系式化簡(jiǎn)，確定角B、角C之間的關(guān)系，然后再次運(yùn)用正余弦定理，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角C的三角函數(shù)式，最后根據(jù)正弦函數(shù)的有界性和基本不等式求得最值．

三、與三角形的面積有關(guān)的最值

求解與三角形面積有關(guān)的最值問(wèn)題，需熟練掌握三角形的面積公式為；×底×高：（r為內(nèi)切網(wǎng)的半徑）．在解題時(shí)，需首先根據(jù)已知關(guān)系式的特征，利用正余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，以便求得三角形面積的表達(dá)式，最后利用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性求出最值．

例3．已知圓O的半徑為R，△ABC為圓O的內(nèi)接三角形，若2R（sin2A-sin2C）=（√2a-b）sinB，求△ABC面積的最大值．

在求三角形面積的最值時(shí)，往往要根據(jù)已知的關(guān)系式，選擇合適的三角形面積公式．一般地，若已知關(guān)系式中只含有三邊，則需選擇公式×底×高；若已知關(guān)系式中含有角的三角函數(shù)式，則需運(yùn)用公式；若已知關(guān)系式中涉及三角形的內(nèi)切網(wǎng)的半徑，則需選擇公式．最后利用三角函數(shù)的有界性求三角形面積的最大值．

雖然解答與三角形的角、邊、面積有關(guān)的最值問(wèn)題涉及的知識(shí)面廣，命題形式多變，但是同學(xué)們只要能熟練運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，根據(jù)目標(biāo)式的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式來(lái)求最值，便可順利解題．