積分學(xué)概念教學(xué)的思考

李兆豐++張淵淵

摘 要：微積分是高等數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，積分學(xué)又是微積分中一個(gè)重要的部分，而在大多數(shù)的教學(xué)實(shí)踐中，往往更注重解題的技巧而不是去分析、思考和解決實(shí)際問(wèn)題，不能體現(xiàn)出微積分這門課程的重要之處，更無(wú)法體現(xiàn)出微積分這一震撼心靈的偉大結(jié)晶。本文通過(guò)在定積分概念的講解過(guò)程中如何引導(dǎo)學(xué)生思考，使學(xué)生能夠理解基礎(chǔ)知識(shí)，掌握解決問(wèn)題的方法，進(jìn)而達(dá)到提高學(xué)生創(chuàng)新能力的目的。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 理解性教學(xué) 數(shù)學(xué)思維的遷徙 積分學(xué)概念

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2017）09（b）-0152-02

微積分學(xué)，或者數(shù)學(xué)分析，是人類思維的偉大成果之一。它處于自然科學(xué)和人文科學(xué)之間的地位，使它成為高等教育的一種特別有效的工具[1]。高等數(shù)學(xué)是現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)，它的數(shù)學(xué)思想在自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域中都隨處可見(jiàn)，而作為高等院校理工科的一門重要的基礎(chǔ)課程，高等數(shù)學(xué)又為后續(xù)課程提供必要的理論基礎(chǔ)，因此，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)至關(guān)重要。做為微積分的重要內(nèi)容之一的積分學(xué)思想，最早可以追溯到古希臘阿基米德等人提出的計(jì)算面積和體積的方法，即“窮竭法”。這些數(shù)學(xué)家后來(lái)也逐步得到了一系列求面積（積分）的重要結(jié)果，但這些結(jié)果都是孤立的，不連貫的[2]。直到17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了越來(lái)越多的諸如體積、面積及長(zhǎng)度之間的計(jì)算的聯(lián)系，后來(lái)，牛頓和萊布尼茲在眾多的數(shù)學(xué)積累上發(fā)現(xiàn)了微分和積分之間的互逆運(yùn)算，從而創(chuàng)立了微積分。定積分是積分學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，在定積分的教學(xué)中，如何讓學(xué)生深刻地理解“積分”這一數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而激發(fā)學(xué)生的想象力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，為以后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，是值得研究的課題。本文以定積分的教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧诮虒W(xué)過(guò)程中，不僅能讓學(xué)生學(xué)得數(shù)學(xué)知識(shí)，還能使學(xué)生從學(xué)習(xí)的過(guò)程中鍛煉創(chuàng)新能力。

1 在定積分概念的教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生思考性學(xué)習(xí)

定積分的概念的引入不僅與極限和微分，還與后面的定積分的應(yīng)用及重積分和曲線及曲面積分的學(xué)習(xí)有重要的聯(lián)系，起著承上啟下的作用。因此定積分的教學(xué)顯得尤為重要，在定積分的概念的教學(xué)過(guò)程中，不僅僅是教給學(xué)生知識(shí)，更重要的是使得學(xué)生能用之解決實(shí)際問(wèn)題，提高創(chuàng)新的能力。在定積分概念的引入中，大多數(shù)教材都是用計(jì)算曲邊梯形的面積來(lái)說(shuō)明的，教師在講解這一部分內(nèi)容時(shí)，可以通過(guò)提問(wèn)的方式，分以下幾個(gè)階段進(jìn)行：

（1）首先教師可以從常規(guī)的梯形的面積計(jì)算入手，繼而提出一條邊為曲邊，其余三邊是直邊的不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算，最后在此基礎(chǔ)上給出曲邊梯形的定義，引導(dǎo)學(xué)生采用“大化小”的方法來(lái)計(jì)算其面積。此時(shí)可以延伸到圓的面積，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)也是采用的類似的算法的，同學(xué)們對(duì)于割圓術(shù)還是比較了解的，以此為例，學(xué)生就很容易理解了曲邊梯形的計(jì)算思路。

（2）進(jìn)一步細(xì)化概念，曲邊梯形面積的計(jì)算重點(diǎn)是用直線代替曲線，即用一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積來(lái)代替小曲邊梯形的面積，此時(shí)教師應(yīng)該特別強(qiáng)調(diào)小曲邊梯形是怎么分割出來(lái)的，即將整個(gè)區(qū)間任意無(wú)限分割為無(wú)窮多個(gè)小區(qū)間（每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于0）。教師可以通過(guò)提問(wèn)來(lái)了解學(xué)生的理解情況，比如可以問(wèn)：為什么可以用直線來(lái)代替曲邊？是用哪條直線代替的？能不能用斜線來(lái)代替曲線？誤差多大？等等問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生。

（3）在學(xué)生理解了這種分割思想后，就可以給出曲邊梯形面積的計(jì)算，即無(wú)限求和的極限。此時(shí)教師可以引入牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的數(shù)學(xué)典故與積分符號(hào)的演變來(lái)加深學(xué)生對(duì)積分思想的理解。

在對(duì)曲邊梯形的面積的計(jì)算有了初步的認(rèn)識(shí)后，可以提出物理學(xué)里面的變速直線運(yùn)動(dòng)的位移的計(jì)算來(lái)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生的理解。曲邊梯形和位移雖然屬于不同的學(xué)科，但從數(shù)學(xué)角度看，其計(jì)算的思路和結(jié)構(gòu)式是一致的。此外，教師還可以結(jié)合不同的學(xué)科背景，列舉不同的實(shí)例來(lái)加深學(xué)生的理解，比如在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，在特定的一段時(shí)期內(nèi)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的總量；在人類學(xué)中，一段時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)；在生物學(xué)中一段時(shí)間內(nèi)細(xì)胞的繁殖總量等等都可以用類似的方法來(lái)解決。這種種例子的列舉，不僅使學(xué)生學(xué)到了分析解決問(wèn)題的方法，也使其體會(huì)到了數(shù)學(xué)無(wú)處不在，是人類認(rèn)識(shí)自然的最偉大的成果。

教師通過(guò)對(duì)定積分概念的引入的細(xì)節(jié)的講解，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了什么是定積分，也會(huì)用這種思想來(lái)解決其他類似的不規(guī)則的問(wèn)題。通過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生自主分析問(wèn)題，歸納問(wèn)題進(jìn)而解決問(wèn)題，增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及主動(dòng)性，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。正如Anderson[5]所認(rèn)為：探究學(xué)習(xí)的本質(zhì)特征是教師不把構(gòu)成教學(xué)目標(biāo)的有關(guān)概念、原理和認(rèn)知策略直接告訴學(xué)生，而是設(shè)計(jì)一種智力和社會(huì)交往環(huán)境，讓學(xué)生通過(guò)探索來(lái)發(fā)現(xiàn)有利于深入探索的這些內(nèi)容和認(rèn)知策略。

2 從定積分概念遷徙到重積分的過(guò)程中培養(yǎng)創(chuàng)新性

縱觀微積分的發(fā)展史，每一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念都是伴隨這解決實(shí)際問(wèn)題而出現(xiàn)的，所以在講解數(shù)學(xué)概念之前，應(yīng)充分引導(dǎo)學(xué)生更好地理解所待解決的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)分析抽象出數(shù)學(xué)概念，反過(guò)來(lái)又用這一數(shù)學(xué)概念去解決新的類似的實(shí)際問(wèn)題。如果教師在教學(xué)過(guò)程中一味追求解題的技巧性，只是把數(shù)學(xué)概念強(qiáng)加給學(xué)生而不加以聯(lián)系實(shí)際和延伸，學(xué)生就會(huì)覺(jué)得很抽象突兀，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)也不能很好低應(yīng)用。

教師在前面定積分概念的深入講解中，使學(xué)生理解到“分割，近似，求和，求極限”這一積分思想后，就很容易延伸到后面的重積分概念的學(xué)習(xí)。理解數(shù)學(xué)即進(jìn)一步要求學(xué)生在觀念與意識(shí)深處真正融入數(shù)學(xué)的精髓，融入數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，形成數(shù)學(xué)思維的意識(shí)，最終獲得終身受益的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[4]。重積分的概念是定積分從二維空間到三維空間的延伸，其解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想具有一致性。二重積分的概念是以計(jì)算曲頂柱體的體積為例引入的，教師在講解過(guò)程中，可以引導(dǎo)學(xué)生與定積分的概念做類比，通過(guò)二重積分的概念進(jìn)一步提高學(xué)生創(chuàng)新思維能力，完成數(shù)學(xué)知識(shí)的遷徙。在學(xué)生理解了這種積分思想體系后，可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生往不同的學(xué)科領(lǐng)域的延伸，比如物理學(xué)中平面鐵片的質(zhì)量即可用二重積分來(lái)計(jì)算，而立體的質(zhì)量又與三重積分的概念相關(guān)等等。學(xué)生在不斷的類比學(xué)習(xí)之中，一方面可以更深刻地理解積分思想，另一方面可以在不同的學(xué)科知識(shí)遷徙之中培養(yǎng)較高的創(chuàng)新性，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

3 結(jié)語(yǔ)

微積分是人類文明最偉大的成果之一，其數(shù)學(xué)概念更是所含內(nèi)容的精華濃縮?，F(xiàn)代教育的主旋律是學(xué)生批判性思維與創(chuàng)造力的培養(yǎng)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)是最基本的任務(wù)，會(huì)學(xué)比學(xué)會(huì)更重要。因此教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)充分引導(dǎo)學(xué)生去理解其精髓，發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，用心體會(huì)數(shù)學(xué)的奧妙。只有真正理解了數(shù)學(xué)，才能培養(yǎng)出具有創(chuàng)新能力的人才。

參考文獻(xiàn)

[1] 卡爾·B·波耶.微積分概念發(fā)展史[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2007.

[2] [美]莫里斯.克萊因，古今數(shù)學(xué)思想（第二冊(cè)）[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2009.

[3] 李彩鳳.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中提高學(xué)生的辯證思維能力[J].廣西教育，2013（10）：79.

[4] 呂林海.數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)與教學(xué)研究[M].上海：華東師范大學(xué)，2005.

[5] Anderson， L. W. International encyclopedia of teaching and teacher education. Pergamon： Elervier Service Ltd， Second Education. 109.endprint