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    用條件(PWPE)刻畫的序幺半群

    2017-11-02 01:40:28梁星亮
    關(guān)鍵詞:刻畫命題理想

    王 田, 梁星亮

    (1. 甘肅中醫(yī)藥大學(定西校區(qū))理科部, 定西 743000; 2. 蘭州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 蘭州 730000; 3. 陜西科技大學文理學院, 西安 710021)

    用條件(PWPE)刻畫的序幺半群

    王 田1, 梁星亮2,3*

    (1. 甘肅中醫(yī)藥大學(定西校區(qū))理科部, 定西 743000; 2. 蘭州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 蘭州 730000; 3. 陜西科技大學文理學院, 西安 710021)

    借助S-系理論及序半群理論的方法,在序S-系范疇中引入了條件(PWPE),刻畫了循環(huán)(Rees商)序S-系滿足這一條件的序幺半群的結(jié)構(gòu)特征. 進一步地,給出了Rees商序S-系的條件(PWPE)與其他平坦性質(zhì)一致的序幺半群的刻畫,并推廣了條件(PWP)的相關(guān)結(jié)果.

    條件(PWPE); 序S-系; 序幺半群

    Keywords: condition(PWPE);S-poset; pomonoid

    序S-系理論作為序幺半群的一種表示與同調(diào)代數(shù)具有密切的聯(lián)系,序S-系平坦性質(zhì)的研究是該理論中重要的研究內(nèi)容之一,已取得了豐富的研究成果[1-12]. 20世紀80年代,FAKHRUDDIN[1-2]最早研究了序S-系的平坦性質(zhì). 2005年,SHI等[8-9]將S-系范疇中的條件(P)和平坦性推廣至序S-系范疇中,并證明了每一個滿足條件(P)的序S-系是序平坦的. 進一步地,引入了序平坦序S-系的主弱形式,稱之為序主弱平坦序S-系,并利用該性質(zhì)刻畫了左PP、左PSF序幺半群. 2009年,GOLCHIN和REZAEI[4]在序S-系范疇中利用子拉回圖定義了條件(PWP),該條件是條件(P)的主弱形式. 由文獻[4]可以得到條件(PWP)與序主弱平坦性之間的關(guān)系:

    條件(PWP)?序主弱平坦性.

    為進一步探索平坦性質(zhì)在序S-系中的應(yīng)用,本文通過引入條件(PWP)的一種推廣形式,稱之為條件(PWPE),建立了該條件與序主弱平坦性之間的聯(lián)系,研究了循環(huán)(Rees商)序S-系滿足這一條件的序幺半群的結(jié)構(gòu)特征,進而推廣了條件(PWP)的已有相關(guān)結(jié)果.

    1 預(yù)備知識

    設(shè)S是序幺半群,1是其單位元,E(S)表示S中所有冪等元的集合,文中未說明的術(shù)語和事實見文獻[3,5,7]. 設(shè)A是一個帶有偏序≤的集合,f是A×S到A的映射,簡記為f(a,s)=as. 如果對任意的a,a′A,s,s′S,滿足以下條件:

    (1)a(ss′)=(as)s′, 以及a·1=a.

    (2)a≤a′推出as≤a′s,并且s≤s′推出as≤as′.

    則稱(A,f)是一個序右S-系,或稱S序右作用于A上[1]. 為了方便起見,簡記為AS或A. 類似地可以定義序左S-系SA.

    設(shè)ρK是由K決定的Rees商序同余. 稱序幺半群S的凸的真右理想K是強左零化的[4-5],如果對任意的tS,x,ySK,由[x]ρKt≤[y]ρKt推出xt≤yt.

    稱序右S-系A(chǔ)滿足條件(PWP)[4],如果對任意的a,a′A,sS,若as≤a′s,則存在a″A,u,vS,使得a=a″u,a′=a″v,且us≤vs.

    稱序右S-系A(chǔ)是序主弱平坦的[9],如果對任意的a,a′A,sS,若a?s≤a′?s在A?S中成立,則a?s≤a′?s在A?Ss中成立.

    首先給出滿足條件(PWPE)的序S-系的定義.

    定義1稱序右S-系A(chǔ)滿足條件(PWPE),如果對任意的a,a′A,sS,as≤a′s,存在a″A,u,vS,e,fE(S),使得ae=a″ue,a′f=a″vf,es=s=fs且us≤vs.

    注記1顯然,在定義1中,當e=f=1時,條件(PWPE)就是條件(PWP). 因此,每一個滿足條件(PWP)的序S-系都滿足條件(PWPE). 但由文獻[5]的例3.11可知其逆不成立. 另外,由定義1可知SS和ΘS都滿足條件(PWPE).

    下面建立條件(PWPE)與序主弱平坦性之間的關(guān)系:

    命題1設(shè)A是序右S-系. 若A滿足條件(PWPE),則A是序主弱平坦的.

    證明假設(shè)A是滿足條件(PWPE)的序右S-系. 若a?s≤a′?s在A?S中成立,則由文獻[9]的推論3.3知as≤a′s. 根據(jù)假設(shè),存在a″A,u,vS和e,fE(S),使得ae=a″ue,a′f=a″vf,es=s=fs且us≤vs. 因此,在A?Ss中有

    a?s=a?es=ae?s=a″ue?s=a″?ues=a″?us≤

    a″?vs=a″?vfs=a″vf?s=a′f?s=a′?fs=a′?s,

    故A是序主弱平坦的. 證畢.

    利用命題1可給出序群的一個新的等價刻畫:

    推論1對任意序幺半群S,以下條件等價:

    (1)所有的序S-系滿足條件(PWPE),且|E(S)|=1;

    (2)S是序群.

    證明(1)?(2). 假設(shè)所有的序S-系滿足條件(PWPE). 根據(jù)命題1,所有的序S-系是序主弱平坦的,則由文獻[6]的定理2.3知S是正則序幺半群. 又因為|E(S)|=1,容易得到S就是序群.

    (2)?(1)顯然成立. 證畢.

    2 主要結(jié)果

    本節(jié)主要研究滿足條件(PWPE)的序S-系的同調(diào)分類問題. 首先,由定義1可給出循環(huán)序S-系滿足條件(PWPE)的序幺半群的刻畫:

    命題2設(shè)ρ是S上的序右同余,則循環(huán)序S-系S/ρ滿足條件(PWPE)當且僅當對?x,y,tS,

    [x]ρt≤[y]ρt?(?u,vS)(e,fE(S))((xe)ρ(ue)∧

    (yf)ρ(vf)∧et=t=ft∧ut≤vt).

    推論2[4]設(shè)ρ是S上的序右同余,則循環(huán)序S-系S/ρ滿足條件(PWP)當且僅當對任意的x,y,tS,若[x]ρt≤[y]ρt,則存在u,vS,使得xρu,yρv且ut≤vt.

    由命題2可得以下推論:

    推論3設(shè)sS,則主右理想sS滿足條件(PWPE)當且僅當對?x,y,tS,

    sxt≤syt?(?u,vS)(e,fE(S))(sxe=sue∧syf=

    svf∧et=t=ft∧ut≤vt).

    為了刻畫滿足條件(PWPE)的Rees商序S-系,給出以下定義:

    定義2稱序幺半群S的凸的真右理想K是強E-左零化的,如果對?tS,x,ySK,

    [x]ρKt≤[y]ρKt?(?u,vS)(e,fE(S))(et=t=

    ft∧ut≤vt∧xe≠ue?xe,ueK∧yf≠vf?yf,vfK).

    注記2顯然,S的每一個凸的強左零化真右理想都是強E-左零化的. 然而,文獻[5]的例3.11說明了反之不然.

    下面給出Rees商序S-系滿足條件(PWPE)的序幺半群的刻畫.

    定理1設(shè)K是序幺半群S的凸的真右理想,則 Rees 商序右S-系S/K滿足條件(PWPE)當且僅當K是強左穩(wěn)定的和強E-左零化的.

    證明必要性. 假設(shè)S/K滿足條件(PWPE). 則由命題1知,S/K是序主弱平坦的,于是由文獻[5]的引理3.7知,K是強左穩(wěn)定的. 下證K是強E-左零化的. 設(shè)[xt]≤[yt],其中tS,x,ySK. 因為S/K滿足條件(PWPE),由命題2知,存在u,vS,e,fE(S),使得(xe)ρK(ue),(yf)ρK(vf),et=t=ft且ut≤vt. 根據(jù)ρK的定義,由xe≠ue和yf≠vf得xe,ueK和yf,vfK. 因此,K是強E-左零化的.

    充分性. 假設(shè)K是凸的強左穩(wěn)定和強E-左零化真右理想. 為了證明S/K滿足條件(PWPE),只需驗證S滿足命題2的條件即可. 若x,y,tS滿足[xt]≤[yt],則由文獻[3]的引理3知xt≤yt,或者存在k,k′K使得xt≤k且k′≤yt. 如果xt≤yt,則只需取u=x,y=v,e=f=1即可;否則,將考慮以下4種情形:

    情形1.x,yK. 取u=v=x,e=1=f即可;

    情形2.xK,yK. 因為K是強左穩(wěn)定的,并且ytS,所以存在kK使得kyt≤yt,于是取u=ky,v=y且e=1=f即可;

    情形3.xK,yK. 類似于情況2;

    情形4.x,yK. 因為K是強E-左零化的,所以存在u,vS,e,fE(S),使得xe≠ue?xe,ueK,yf≠vf?yf,vfK,et=t=ft且ut≤vt,故(xe)ρK(ue),(yf)ρK(vf).

    綜上所述,S/K滿足條件(PWPE). 證畢.

    推論4[4]設(shè)K是序幺半群S的凸的真右理想,則Rees商序右S-系S/K滿足條件(PWP)當且僅當K是強左穩(wěn)定的和強左零化的.

    正如命題1所述,條件(PWPE)?序主弱平坦,但以下例子說明了反之不然.

    例1[4]設(shè)S={0,1,r,s,t}是滿足如下運算

    的幺半群,并且S僅有的非平凡序關(guān)系為t<0且r<0. 令K={0,r},則(S,≤)是一個序幺半群,并且容易驗證K是凸的強左穩(wěn)定真右理想. 由文獻[4]的例6.3知,S/K是序主弱平坦的. 然而,根據(jù)定理1,S/K不滿足條件(PWPE). 這是因為1,tSK,且[1]t≤[t]t,但不存在元素u,vS和e,fE(S)滿足1e≠ue?1e,ueK,tf≠vf?tf,vfK,et=t=ft且ut≤vt,從而K不是強E-左零化的.

    接下來考慮Rees商序S-系的條件(PWPE)與其他平坦性質(zhì)一致的序幺半群的刻畫.

    定理2對任意序幺半群S,以下條件等價:

    (1)所有滿足條件(PWPE)的Rees商序S-系S/K滿足條件(PWP);

    (2)S的每一個凸的強左穩(wěn)定和強E-左零化真右理想是強左零化的.

    證明(1)?(2). 假設(shè)K是S的凸的強左穩(wěn)定和強E-左零化真右理想. 則由定理1知,S/K滿足條件(PWPE). 根據(jù)條件(1),S/K滿足條件(PWP),于是由文獻[5]的引理3.8知,K是強左零化的.

    (2)?(1). 設(shè)K是S的凸的右理想,并且S/K滿足條件(PWPE). 如果K是S的真右理想,那么由定理1知,K是強左穩(wěn)定的和強E-左零化的. 從而根據(jù)條件(2),K是強左零化的理想,進而由文獻[5]的引理3.8知,S/K滿足條件(PWP). 如果K=S,顯然,S/K?ΘS滿足條件(PWP),即結(jié)論成立.

    定理3對任意序幺半群S,以下條件等價:

    (1)所有滿足條件(PWPE)的Rees商序S-系S/K滿足條件(P);

    (2)S是弱右reversible序幺半群,且S中沒有真的強左穩(wěn)定和強E-左零化凸右理想K使得|K|>1.

    證明(1)?(2). 由于ΘS滿足條件(PWPE),所以根據(jù)條件(1),ΘS滿足條件(P). 由文獻[3]的定理1,S是弱右reversible序幺半群. 反設(shè)S有真的強左穩(wěn)定和強E-左零化凸右理想K且|K|>1,則由定理1知,S/K滿足條件(PWPE). 從而根據(jù)條件(1),S/K滿足條件(P),于是由文獻[7]的引理1.8知,|K|=1,矛盾.

    (2)?(1). 令K是S的凸的右理想,并且S/K滿足條件(PWPE). 如果K是S的真右理想, 那么由定理1知,K是強左穩(wěn)定的和強E-左零化的. 根據(jù)條件(2),|K|=1,故S/K滿足條件(P). 如果K=S,因為S是弱右reversible序幺半群,所以根據(jù)文獻[3]的定理1,S/K?ΘS滿足條件(P),故結(jié)論成立. 證畢.

    類似地,可以證明下面2個定理.

    定理4對任意序幺半群S,以下條件等價:

    (1)所有滿足條件(PWPE)的Rees商序S-系S/K是強平坦的;

    (2)S是左collapsible序幺半群,且S中沒有真的強左穩(wěn)定和強E-左零化凸右理想K使得|K|>1.

    定理5對任意序幺半群S,以下條件等價:

    (1)所有滿足條件(PWPE)的Rees商序S-系S/K是投射的;

    (2)S有左零元,且S中沒有真的強左穩(wěn)定和強E-左零化凸右理想K使得|K|>1.

    最后給出Rees商序S-系的條件(PWPE)與自由性一致的序幺半群的結(jié)構(gòu)特征.

    定理6對任意序幺半群S,以下條件等價:

    (1)所有滿足條件(PWPE)的Rees商序S-系S/K是自由的;

    (2)|S|=1.

    證明(1)?(2). 因為ΘS滿足條件(PWPE),所以由假設(shè)知ΘS是自由的. 根據(jù)文獻[3]的定理1,|S|=1.

    (2)?(1)顯然. 證畢.

    在定理1~定理6中,若將序S-系和序幺半群中的偏序均取作平凡序時,就可以直接得到S-系理論的相應(yīng)經(jīng)典結(jié)果[13].

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    Characterization of Pomonoids by Condition (PWPE)

    WANG Tian1, LIANG Xingliang2,3*

    (1. Science Department, Gansu University of Chinese Medicine (Dingxi Campus), Dingxi 743000, China;2. School of Mathematics and Statistics, Lanzhou University, Lanzhou 730000, China;3. College of Arts and Science, Shaanxi University of Science and Technology, Xi’an 710021, China)

    By usingS-act theory and ordered semigroup theory, condition(PWPE) in the category ofS-posets is introduced, and pomonoids over which cyclic (Rees factor)S-posets satisfy this new condition are characterized. Moreover, a classification of pomonoids is given for which Rees factorS-posets satisfying condition(PWPE) have some other flatness properties and vice versa. As applications, some important results on condition(PWPE) are extended.

    2016-05-16 《華南師范大學學報(自然科學版)》網(wǎng)址:http://journal.scnu.edu.cn/n

    國家自然科學基金項目(11501451);陜西省自然科學基礎(chǔ)研究計劃項目(2017JQ1026)

    *通訊作者:梁星亮,講師,Email:lxl_119@126.com.

    O152.7

    A

    1000-5463(2017)05-0104-04

    【中文責編:莊曉瓊 英文審校:肖菁】

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