全局性N元-強混沌系統(tǒng)的一個判據(jù)

符和滿

(肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 肇慶 526061)

符和滿*

(肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 肇慶 526061)

設(shè)(X,f)是一個動力系統(tǒng),其中X是一個含至少2個點的完備度量空間,f是X上的一個連續(xù)自映射. 對給定的Furstenberg族與整數(shù)N≥2,將-混沌推廣到N元-混沌. 為此,對于X的2個非空子集A、B,借助集對(A,B)的-往復(fù)點來引入-攀援串的概念,進而定義N元-混沌以及討論N元-混沌的一些性質(zhì). 最后以Furstenberg族理論為主要工具,給出一個動力系統(tǒng)是全局性N元-強混沌的一個判據(jù),并通過例子來闡述它在動力系統(tǒng)中的應(yīng)用.

Furstenberg族; 全局性N元-強混沌;N元-攀援集

Keywords： Furstenberg family; generical strong-N-chaos;-N-scrambled set

設(shè)(X,f)是一個動力系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng)),即X是一個含至少2個點的完備度量空間,f:X→X是一個連續(xù)映射；d表示度量空間X的度量.

2007年,XIONG等[1]對任意給定的Furstenberg族定義了-混沌,使得Li-Yorke混沌成為-混沌，分布混沌成為(1)-混沌,其中是正整數(shù)集的所有無限子集構(gòu)成的Furstenberg族,(1)是所有上密度為1的正整數(shù)集構(gòu)成的Furstenberg族；并且給出了全局性-強混沌系統(tǒng)的一個判據(jù). 有關(guān)分布混沌更多內(nèi)容可參閱文獻[2-5].

為了更全面理解混沌本質(zhì),學(xué)者們進一步研究多元混沌. 例如,研究了Li-Yorke意義下的攀援N-串[6],進一步引入了N元分布混沌并得到它的初步性質(zhì)[7],其中N≥2. 本文將文獻[1]的-混沌推廣到N元-混沌,類似地給出動力系統(tǒng)是全局性N元-強混沌的一個判據(jù),并通過相應(yīng)的例子來闡述此判據(jù)的應(yīng)用,從而掌握到一些全局性N元-強混沌系統(tǒng).

1 主要結(jié)果

首先簡單介紹 Furstenberg 族, 所使用的概念和記號主要源于文獻[8].

1.1 N 元-攀援集

設(shè)(X,f)為動力系統(tǒng),是一個Furstenberg族. 下面所用的術(shù)語源于文獻[1].

設(shè)A?X. 點xX稱為集合A的一個-貼附點,如果點x在集合A中的回復(fù)時間集屬于,即Nf(x,A). 集合A的所有-貼附點構(gòu)成的集合稱為集合A的-貼附集,記作(A,f). 明顯地,有(A,f)=∪F∩nFf-n(A).

稱點xX是集合A?X的一個-趨附點,如果對于任意實數(shù)δ>0,點x是集合[A]δ的-貼附點,即x([A]δ,f).

對于給定的實數(shù)δ>0,稱點xX是集合A?X的一個-δ-逃匿點,如果x是集合X-的一個-貼附點. 稱點xX是集合A?X的一個-逃匿點,如果存在某一個實數(shù)δ>0使得x是A的-δ-逃匿點.

設(shè)A、B是X的非空子集. 稱點xX是集對(A,B)的一個-往復(fù)點(或-δ-往復(fù)點),如果它既是A的-趨附點,又是B的-逃匿點(相應(yīng)地,-δ-逃匿點).

集合A的全體-趨附點(或-逃匿點,-δ-逃匿點)構(gòu)成的集合α(A,f)(相應(yīng)地,ε(A,f),ε(A,δ,f))稱為集合A的-趨附集(相應(yīng)地,-逃匿集,-δ-逃匿集). 集對(A,B)的全體-往復(fù)點(-δ-往復(fù)點)構(gòu)成的集合θ(A,B,f)(θ(A,B,δ,f))稱為集對(A,B)的-往復(fù)集(相應(yīng)地,-δ-往復(fù)集). 則有

α

ε(A,δ,f)=(X-,f),ε(A,f)=ε(A,δ,f),

θ(A,B,δ,f)=α(A,f)∩ε(B,δ,f),

θ(A,B,f)=α(A,f)∩ε(B,f).

借助集對(A,B)的-往復(fù)點,下面給出-攀援串以及N元-攀援集的定義.

稱X的子集C為系統(tǒng)(X,f)的一個N元-攀援集,如果對任意N個兩兩互異的點x1,…,xNC,(x1,…,xN)是一個-攀援串. 設(shè)實數(shù)δ>0,稱X的子集C為系統(tǒng)(X,f)的一個N元-δ-攀援集,如果對任意N個兩兩互異的點x1,…,xNC,(x1,…,xN)是一個-δ-攀援串.

下面2個引理分析了集對(A,B)的-δ-往復(fù)集的性質(zhì),這些性質(zhì)將用于定理1的證明.

引理1設(shè)是與系統(tǒng)(X,f)兼容的Furstenberg族,A、B是X的非空子集，則A的-趨附集α(A,f) 是X中的Gδ集,并且對于任意實數(shù)δ>0,集對(A,B)的-δ-往復(fù)集也是X中的Gδ集.

證明由于Furstenberg族是與系統(tǒng)(X,f)兼容的,任意開集的-貼附集是Gδ集,所以集合A的-趨附集作為可數(shù)個Gδ集之交是Gδ集. 由于集合B的-δ-逃匿集是一個Gδ集,集對(A,B)的-δ-往復(fù)集作為2個Gδ集之交仍是Gδ集. 證畢.

稱兩集合A、B?X(或者點xX和集合B?X)是正分離的,如果d(A,B)>0(相應(yīng)地,d(x,B)>0).

引理2設(shè)A,B,C?X都是非空的且B、C是正分離的，則存在實數(shù)δ>0使得集合C的-趨附集α(C,f)包含在B的-δ-逃匿集ε(B,δ,f)中. 因此集對(A,B)的-δ-往復(fù)集θ(A,B,δ,f)包含A的-趨附集α(A,f)和C的-趨附集α(C,f)之交.

ε??

因此θ(A,B,δ,f)=α(A,f)∩ε(B,δ,f)?α(A,f)∩α(C,f). 證畢.

定理1設(shè)是一個與系統(tǒng)(X,f)兼容的Furs-tenberg族,集合A,B?X是非空的. 存在與集合B正分離的非空集合C?X,使得A和C的-趨附集α(A,f)和α(C,f)都是稠密的當(dāng)且僅當(dāng)存在實數(shù)δ>0使得集對(A,B)的-δ-往復(fù)集θ(A,B,δ,f)是X中的稠密的Gδ集.

證明設(shè)存在非空集合C?X與B正分離,且α(A,f)和α(C,f)都是稠密的. 由引理1,α(A,f)和α(C,f)都是稠密的Gδ集. 由引理2,存在實數(shù)δ>0使得集對(A,B)的-δ-往復(fù)集θ(A,B,δ,f)包含稠密的Gδ集α(A,f)與α(C,f)之交,則θ(A,B,δ,f)是稠密的. 由引理1,θ(A,B,δ,f)是稠密的Gδ集.

反之,設(shè)存在實數(shù)δ>0使得集合θ(A,B,δ,f)是X中的稠密的Gδ集. 由于α(A,f)包含θ(A,B,δ,f),所以是稠密的. 令C=X-[B]δ,與B是正分離的. 由于

α(C,f)?(C,f)?(X-,f)=ε(B,δ,f)?

θ(A,B,δ,f),

所以C是非空的,并且α(C,f)是稠密的. 證畢.

1.2 全局性N元-強混沌系統(tǒng)的判據(jù)

設(shè)整數(shù)N≥2，下面定義全局性N元族-(強)混沌.

如果系統(tǒng)(X,f)中由-攀援串構(gòu)成的集合是XN中的一個稠密的Gδ集,則稱系統(tǒng)(X,f)是全局性N元-混沌的. 如果存在實數(shù)δ>0使得系統(tǒng)(X,f)中由-δ-攀援串構(gòu)成的集合是XN中一個稠密的Gδ集,則稱系統(tǒng)(X,f)是全局性N元-強混沌的.

由于系統(tǒng)(X,f)中由-攀援串(或者-δ-攀援串)構(gòu)成的集合按定義是系統(tǒng)(XN,f(N))中集對的-往復(fù)集θ相應(yīng)地,-δ-往復(fù)集θ所以將定理1應(yīng)用于乘積系統(tǒng)(XN,f(N)),立即得到:

定理2設(shè)是一個與系統(tǒng)(X,f)的乘積系統(tǒng)(XN,f(N))兼容的Furstenberg族,其中整數(shù)N≥2. 系統(tǒng)(X,f)是全局性N元-強混沌的當(dāng)且僅當(dāng)Δ的-趨附集α(Δ,f(N))在XN中稠密,并且存在與正分離的非空子集A?XN,其-趨附集α(A,f(N))在XN中稠密.

引理3如果Ai(1≤i≤N)是X的N個子集,其中整數(shù)N≥2,i(1≤i≤N+1)是N+1個Furstenberg族,且1·2·…·N?N+1,則

證明由積空間XN的性質(zhì),對任意的δ>0,存在δi>0 (i=1,2,…,N),使得

下面給出全局性N元-強混沌系統(tǒng)的一個判據(jù).

定理3設(shè)是一個與系統(tǒng)(X,f)的乘積系統(tǒng)(XN,f(N))兼容的滿的Furstenberg族,其中整數(shù)N≥2. 如果X中存在N個兩兩正分離的非空子集Ai(1≤i≤N),使得A1是一個單點集;Ai(i=1,2,…,N-1)的κ-趨附集ακ(Ai,f)稠密;AN的-趨附集α(AN,f)稠密,則系統(tǒng)(X,f)是全局性N元-強混沌的.

W?X稱為f的不變子集,如果f(W)?W. 下面的推論是定理3的一種特殊情形,改進了文獻[9]的結(jié)論：

2 應(yīng)用

最近,XIONG等[10]引入如下一類新的 Furstenberg 族. 對任意(0,1],定義

其中Fc=+-F. 并且定義0=∩. 易見,對任意[0,1],均是Furstenberg族;且對任意的0≤1≤2≤1,有?. 實際上,1=(1).

設(shè)整數(shù)N≥2,首先將推論1應(yīng)用于符號空間的轉(zhuǎn)移系統(tǒng)(ΣN,σ),其中ΣN是N個符號的(單邊)符號空間,σ是ΣN上的轉(zhuǎn)移自映射.

例1說明了符號空間的轉(zhuǎn)移系統(tǒng)是全局性N元-強混沌的,這一點在意料之中. 下面不在符號空間構(gòu)造出一個看起來“不平凡”的動力系統(tǒng)(例2),它也是全局性N元-強混沌的,[0,1]. 為此,先回顧構(gòu)造動力系統(tǒng)的一種方法[11-12].

設(shè)(X,f)、(Y,g)是2個動力系統(tǒng),其中X、Y都是緊致度量空間. 設(shè)x0X是f的一個不動點. 把X×Y的子集{x0}×Y捏為一點,可得一個緊致度量空間,記作Xx0Y. 此時,f×g自然地誘導(dǎo)了Xx0Y上的一個連續(xù)自映射,設(shè)為h. 易知(Xx0Y,h)也是一個緊致的動力系統(tǒng).

對xX,記Qx=π({x}×Y),其中π是(X×Y,f×g)到(Xx0Y,h)的因子映射，Qx0是一個單點集.

例2定義I=[0,1]上的一個逐段線性的連續(xù)自映射f：

顯然,f有N個不動點,記作xi(i=1,2,…,N),其中x1=0. 令g是單位圓周S1上的一個無理旋轉(zhuǎn). 考慮動力系統(tǒng)(I0S1,h),則Qxi(i=1,2,…,N)是h的兩兩正分離的不變子集,且每一個在I0S1中稠密. 注意到Qx1=Q0是一個單點集,故對于與系統(tǒng)(I0S1,h)的N重乘積系統(tǒng)兼容的滿的Furstenberg族,由推論1知系統(tǒng)(I0S1,h)是全局性N元-強混沌的.

注1例1與例2都是全局性N元0-強混沌系統(tǒng),當(dāng)然更是全局性N元強分布混沌系統(tǒng). 由此看來,這類系統(tǒng)的混沌性質(zhì)是非常強的.

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A Criterion for Generically Strong-N-chaotic Systems

FU Heman*

(School of Mathematics and Statistics, Zhaoqing University, Zhaoqing 526061, China)

Let(X,f) be a dynamical system, whereXis a complete metric space containing at least two points andfis a continuous self-map onX.-chaos is generalized to-N-chaos for a given Furstenberg familyand an integerN≥2. For this purpose,-scrambled tuples are defined by means of-reciprocating points with respect to a pair(A,B) of non-empty sets inX. Hence,-N-chaos is defined and some properties of-N-chaos are considered. Finally, a criterion for generically strong-N-chaotic systems is obtained by heavy use of the theory of Furstenberg families, and its applications in dynamical systems are given with two examples.

2016-01-25 《華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

廣東省自然科學(xué)基金項目(S2013040013857)

*通訊作者:符和滿,副教授,Email:dbfhm@163.com.

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1000-5463(2017)05-0092-04

【中文責(zé)編：莊曉瓊 英文審校：肖菁】