陳省身“做好的數(shù)學”思想在高職數(shù)學教學中的應用

[摘 要]“做好的數(shù)學”是著名數(shù)學大師陳省身思考和研究數(shù)學的發(fā)端和終端，主要包含 “數(shù)學好玩”、“易懂難攻”、“定會有應用”和“簡單而美麗”等重要方面。教師在高職數(shù)學教學中運用“做好的數(shù)學”的思想，提高學生學習興趣，創(chuàng)新課堂教學模式，增強應用數(shù)學意識，享受美的數(shù)學，對拓寬高職數(shù)學課程建設思路、提高數(shù)學教學質(zhì)量有著非常重要的指導作用。

[關(guān)鍵詞]陳省身；好的數(shù)學；高職數(shù)學

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2017）10-0088-03

陳省身作為繼黎曼、嘉當之后的數(shù)學大師，對全人類的數(shù)學貢獻有目共睹。先生培養(yǎng)了丘成桐、吳文俊等一大批杰出的數(shù)學人才，其數(shù)學教育思想非常值得我們研究。

對于數(shù)學教育，陳省身最為強調(diào)的是“做好的數(shù)學”?！白龊玫臄?shù)學”是先生數(shù)學教育思想的核心所在。此語出于簡明而歸于深奧，表述有趣而內(nèi)涵豐富，是陳省身研究數(shù)學、開展數(shù)學教育的發(fā)端和終端，貫穿了陳省身70多年數(shù)學人生的全過程。1992年，陳省身在慶祝中國自然科學基金會成立十周年的學術(shù)討論會上說：“一個數(shù)學家應當了解什么是好的數(shù)學，什么是不好的數(shù)學或不太好的數(shù)學。有些數(shù)學是有開創(chuàng)性的，有發(fā)展前途的，這就是好的數(shù)學?！毕壬J為，“好的數(shù)學可以不斷深入，有深遠意義，能夠影響許多學科。比如說，解方程就是好的數(shù)學，搞數(shù)學都要解方程?！@一類的數(shù)學是不斷發(fā)展的，有永恒價值，所以是好的?！毕壬啻沃赋?，中國只有“做好的數(shù)學”，才能在國際數(shù)學界取得“獨立平等”的地位，才會有自己的特色，才能成為“數(shù)學大國”。陳省身“做好的數(shù)學”思想，對拓寬高職數(shù)學課程建設思路、實施數(shù)學教學改革、提高數(shù)學教學質(zhì)量都有著非常重要的指導作用。

一、“做好的數(shù)學”思想內(nèi)涵

（一）“數(shù)學好玩”

先生在晚年的時候，曾給孩子們題字“數(shù)學好玩”。好玩應該是一種特別的熱愛。陳省身先生每天都要做數(shù)學和研究數(shù)學，每天他總是輕松地說“做得很有意思”。他很少有抱頭苦思的時候，對學問有一顆赤子之心。先生特別執(zhí)著于樂在其中的數(shù)學，這是他70年來專注于微分幾何研究的主要動力。陳省身說，如果“把事情看得太嚴重，太有功利性，就不好玩了”，“好玩就是不怎么要緊”。入之愈深，見之愈奇，研究越深入就越是熱愛。因此在教學中，當學生覺得“數(shù)學好玩”時，便會真正地投入，會自覺地選擇數(shù)學、鉆研數(shù)學和熱愛數(shù)學，從而為“做好的數(shù)學”打下基礎(chǔ)?！皵?shù)學好玩”就是把數(shù)學學習恢復到最簡單的狀態(tài)——像玩一樣地學習，對數(shù)學真正有興趣，這為數(shù)學教育指明了方向。

（二）“易懂難攻”

數(shù)學是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的一門學科，所以，數(shù)學探究的抽象程度相對其他學科更高一些。例如，數(shù)學模型就是運用數(shù)理邏輯方法和數(shù)學語言建構(gòu)的科學或工程模型，它是一種符號化和形式化的模型。數(shù)學的抽象性等特點常常讓一些學生感到學習困難。先生曾引用18世紀法國大數(shù)學家拉格朗日（Lagrange，1736-1813）的標準，認為“好的數(shù)學”就是要具有抽象性和思辨性?！昂玫臄?shù)學”應該滿足兩個條件：第一是“易懂”，這類數(shù)學問題能夠向任何人講清楚；第二是“難攻”，這類數(shù)學問題一定是相當困難的，卻又不是無法攻克和研究的?！耙锥钡臄?shù)學問題，說明這個問題具有普遍性，是很基本的；“難攻”的數(shù)學問題，說明比較深入，不是一眼就可以看穿的。比如費爾馬定理要證明“沒有正整數(shù)解”，題目非常容易懂，能著手工作，但很難證明，那么多數(shù)學家三百多年后才得以證出。所以，“好的數(shù)學”易懂難攻，嚇退了許多人，但也有不少人能夠接受挑戰(zhàn)迎難而上，最后成為數(shù)學大家。

（三）“定會有應用”

“應用”是陳省身先生“做好的數(shù)學”的主旨大意。陳省身多次說過：“我們搞數(shù)學的人相信，假使數(shù)學是好的，一定會有應用?！彪m然他在研究微分幾何的過程中從來都不刻意追求應用，但他始終認為“好的數(shù)學”“定會有應用”。他覺得數(shù)學得到的結(jié)論是很有效的，這樣的結(jié)論應用范圍非常大，在自然科學的各個方面都很有應用。人們最初，可能用幾個數(shù)或畫幾個圖就得到了一些結(jié)論，而由此引起的應用和發(fā)展常常超出我們的想象范圍。先生認為，應用在發(fā)展的過程中，不僅在數(shù)學上是最重要，而且在整個人類文化史上也是非常突出的。如先生的整體微分幾何學研究的“纖維叢理論”，就是物理學“規(guī)范場理論”的數(shù)學基礎(chǔ)，這就是一個很好的范例。再如，20世紀90年代，物理學家威騰將陳省身和西蒙斯在1974年提出的幾何不變量用于物理學研究，最終成為理論物理研究的前沿方向，并成為物理學界的一個常用工具。在社會生活的各個領(lǐng)域，“好的數(shù)學”同樣發(fā)揮著關(guān)鍵作用，其應用價值越來越突出。

（四）“簡單而美麗”

數(shù)學的發(fā)展建立于社會的各種需求，數(shù)學是理性的抽象思維和想象的結(jié)合，所以就有了數(shù)學美?！昂玫臄?shù)學”簡單而美麗，是一種至美。只有簡單，才能專一，做學問才會不過多分心。陳省身說：“數(shù)學是一種奇妙有力、不可缺少的科學工具，能把奧妙變?yōu)槌ＷR、復雜變?yōu)楹唵巍：唵渭仁撬枷?，也是目的?！逼鋵嵢松惨粯?，成功者的?nèi)心必定簡單，這也是先生常說的話。數(shù)學的美是一種蘊涵的美，它需要從深處去挖掘和欣賞。如歐拉給出的公式：v-e+f=2，既簡單又美麗，而且由這個公式可以得出很多豐富又深刻的結(jié)論，對近代數(shù)學的拓撲學與圖論的發(fā)展起了很大的作用，成為拓撲學與圖論的基本公式。在上下五千年的數(shù)學史中，數(shù)學的每一次進步都使已有的定理更簡潔，如微分中值定理等。年輕數(shù)學大師劉克峰教授在《我們都屬于陳類》文中曾這樣說：“陳先生的一句話告訴我們，數(shù)學就應該是簡單美麗的，就像陳類一樣樸素地抓住問題的靈魂。”

二、“做好的數(shù)學”思想在高職數(shù)學教學中的應用

怎樣將“做好的數(shù)學”思想應用到高職數(shù)學教學中去？除了需要教師的自身素質(zhì)和教學基本功外，其實更需要先進的數(shù)學教學思想和方法的有機結(jié)合。根據(jù)高職學生的特點，筆者以為可以從以下幾方面進行應用：endprint

（一）“玩好”數(shù)學教學，提高學習興趣

要讓學生覺得“數(shù)學好玩”，教師必須把數(shù)學教學“玩好”。首先教師要熱愛數(shù)學教學，積極鉆研教學內(nèi)容，想方設法讓學生對教學內(nèi)容產(chǎn)生濃厚興趣，讓學生覺得數(shù)學課“好玩”，數(shù)學課堂“有趣和新奇”。

傳統(tǒng)的高職數(shù)學教學，過于強調(diào)傳授微積分知識，再加上許多高職院校大幅壓縮高等數(shù)學課時，內(nèi)容多與課時少的矛盾凸顯。這直接導致數(shù)學教師在有限的課時內(nèi)只能快速地灌輸式地講授高等數(shù)學的基本概念和基本方法，學生要在這有限的課容量內(nèi)掌握微積分知識的難度較大。在一些學生的眼里，數(shù)學是定理、公式的集合，數(shù)學課缺乏人情味，數(shù)學就是做題……這就需要教師引導學生體驗親身探究“好的數(shù)學”的樂趣。教師可通過結(jié)合教學內(nèi)容進行課堂設計，引導學生嘗試探究，體會數(shù)學家們“做好的數(shù)學”的過程。如“極限的概念”學習，可通過莊子“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”和劉徽的“割圓術(shù)”來理解極限的概念，也可通過“阿基里斯追烏龜”的故事讓學生掌握求數(shù)列極限的方法。這樣，不僅加深了學生對數(shù)學概念、方法的理解，更呈現(xiàn)了妙趣橫生的課堂教學效果。

另外，在引導學生數(shù)學探究的過程中，“好”的數(shù)學問題的編擬很重要。教師要把自己置于學生之中，弄清楚他們的期望，從學生的角度、以學生最熟悉的知識點為出發(fā)點，告訴學生為什么要討論這個問題，設計一些啟發(fā)性和趣味性的問題，鼓勵學生努力去解決，讓學生獲得成就感，體驗學習數(shù)學的快樂，從而主動探求知識，產(chǎn)生一個良性循環(huán)。

（二）加強探究實踐，創(chuàng)新課堂模式

好的數(shù)學“易懂難攻”。對高職學生來說，學習基礎(chǔ)相對薄弱，學習缺乏自信心，即使非?！耙锥钡臄?shù)學對他們來說也是“不易懂”，許多學生對數(shù)學有畏難情緒。所以在教學中，更應注重培養(yǎng)學生不怕困難的數(shù)學探究精神，幫助學生堅定克服困難的毅力和勇氣?？梢試L試“任務引領(lǐng)式”的課堂教學模式。

“任務引領(lǐng)式”教學首先要設計好課堂教學中學生操作探究實踐的活動方案，也就是讓學生在課堂學習中參與討論的方案，這是教師備課教案的組成部分。因此活動方案的設計是關(guān)鍵。這要求教師根據(jù)學生的學習特點和掌握知識的實際情況來設計好“任務清單”。教師所設計的任務要能層層遞進地激勵學生自主參加到數(shù)學學習的過程中，讓學生易于思考數(shù)學、掌握數(shù)學知識。高職數(shù)學教學的課堂通常都是大班上課，學生的人數(shù)較多，在人數(shù)較多的情況下分組是不現(xiàn)實的，比較適宜采用“先分后合，分合有度”的任務實施模式?！跋确帧本褪菍τ诓贾玫娜蝿障纫髮W生分別獨立思考和解決，“后合”是指在解決問題的過程中遇到的困難可以同桌或前后桌一起商量，就近討論，相互查漏補缺、取長補短。另外，教師可以采用搶答、書面抽查、補充解答等多種形式，對學生問題的解決方法進行各種交流。對于主動展示、思維有創(chuàng)新、積極補充解答的學生在評分時給予傾斜。

（三）增強應用意識，提高數(shù)學修養(yǎng)

生活處處有數(shù)學，好的數(shù)學是一定會有應用的。高職數(shù)學教學更需要應用。我們要多用數(shù)學的眼光去發(fā)現(xiàn)生活，把課堂上的數(shù)學知識延伸到實際生活中去，在教學中以實際問題為案例，結(jié)合專業(yè)，增強學生的數(shù)學應用意識。

在教材的每章、每節(jié)或每個新內(nèi)容的開頭或結(jié)尾，我們可以利用教材內(nèi)在的應用素材，結(jié)合學生的專業(yè)、生產(chǎn)生活實際設計一些實際問題為案例，為學生創(chuàng)設數(shù)學應用的情境。例如， 學習“無窮小的概念”時教師可以在黑板上隨手畫一只大熊貓，請學生求它的面積；學習“導數(shù)的概念”時可以結(jié)合圖片提問“如何求劉翔110米跨欄某個時間點的瞬時速度”；學習完“曲率”后，可以請學生思考：鐵軌由直道轉(zhuǎn)入圓弧彎道時，若接頭處的曲率突然改變，容易發(fā)生事故，為了行駛平穩(wěn)，往往在直道和彎道之間接入一段緩沖段，使曲率連續(xù)地由零過渡到1 / R（R為圓弧軌道的半徑），通常用三次拋物線y=（1 / 6RL）x3，x？綴[0，x0]作為緩沖段OA，其中L為OA的長度，請驗證“緩沖段OA在始端O的曲率為零，并且當L / R很小時，在終端A的曲率近似為1 / R”。

另外，如交通路徑、彩票抽獎、水電費、貸款、通訊費、人口增長、細胞分裂、利潤最大、用料最省、效率最高等問題，都是日常生活中的數(shù)學問題，要引導學生運用所學的數(shù)學知識解決實際生活中的問題，鼓勵學生注意數(shù)學應用的事例，開闊視野。在解決實際問題中，學生能夠深切地感受數(shù)學與現(xiàn)實世界的緊密聯(lián)系，感受數(shù)學的應用價值，有助于培養(yǎng)學生良好的數(shù)學素養(yǎng)。

（四）融入審美教育，享受美的數(shù)學

開普勒說“數(shù)學是這個世界之美的原型”，維納說“數(shù)學實質(zhì)上是藝術(shù)的一種”。數(shù)學教育離不開美學教育，數(shù)學中的簡單美是激發(fā)學生求知欲和內(nèi)驅(qū)力的重要源泉。好的數(shù)學一定“簡單美麗”。數(shù)學美的追求促進了數(shù)學的應用和發(fā)展。楊振寧教授在1975年讀懂“陳省身-韋伊定理”時，便有了一次難忘的審美經(jīng)歷，他忽然間領(lǐng)悟到，客觀的宇宙奧秘與純粹用優(yōu)美這一價值觀念發(fā)展出來的數(shù)學觀念竟然能完全吻合，令人感到意外。楊振寧當時感到“真的有觸電的感覺”，而且“還有更深的，更觸及心靈深處的地方”。

只有讓學生體會到數(shù)學的美，才能讓學生真正愛上數(shù)學。如果在高職數(shù)學教學中，能讓學生有美妙的數(shù)學審美經(jīng)歷，不僅能激發(fā)出學生學習數(shù)學的熱情，而且對于提高學生類比、聯(lián)想、想象等特殊思維能力和創(chuàng)造力都能起到十分重要的作用。教師在教學中要滲透數(shù)學美的教學。比如微積分中遇到的很多常用曲線，不僅形式美，而且很多都有一段歷史傳奇、神奇應用和奇特背景。再比如，在學習定積分的應用時，由雙曲線y=1 / x在x≥1部分繞x軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面Gabriel喇叭，可以證明這個喇叭所圍成的體積是有限的，但它的表面積卻是無限的。也就是說，這個喇叭可以用有限的涂料把它填滿，但再多的涂料卻無法將它的表面涂滿，因為它的表面積是無限的，這就是數(shù)學的奇異美。

三、結(jié)語

數(shù)學具有嚴密的邏輯性、高度的抽象性和廣泛的應用性，傳統(tǒng)教育又往往使數(shù)學與生活實際相脫離。陳省身“做好的數(shù)學”思想具有導向性、開放性和前瞻性的特征，對數(shù)學教學具有重要的借鑒意義和深遠影響。從“數(shù)學好玩”開始，做好的數(shù)學，高職數(shù)學教學一定會變得“好玩”。先生認為，“一個人一生中的時間是一個常數(shù)，應該集中精力做好一件事”；教師教數(shù)學“不能只教學生簡單地記住一堆事實，或掌握一套技巧，而需要開發(fā)與學科有關(guān)的東西”；“只要有了人，有研究的精神，在哪里都能做事情”。讓我們牢記先生的教誨，“做好的數(shù)學”，把高職數(shù)學教得更好。

[ 參 考 文 獻 ]

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[6] 沈波.高職院校高等數(shù)學教學的現(xiàn)狀及改革初探[J].教育教學論壇，2016（7）.

[責任編輯：劉鳳華]endprint