常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

廖莉

【摘要】常微分方程是在解答各種數(shù)學(xué)問題中的常用方法，一般將整個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行分析總結(jié)，然后對其中的各種關(guān)系進(jìn)行抽象化的理解。最終運(yùn)用一個(gè)抽象的公式將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學(xué)模型。這就是數(shù)學(xué)建模中常微分方程的一般應(yīng)用過程，文章將對這一應(yīng)用進(jìn)行探討。

【關(guān)鍵詞】常微分方程 數(shù)學(xué)建模 應(yīng)用

【中圖分類號】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）38-0139-02

1.前言

數(shù)學(xué)建模中經(jīng)常會應(yīng)用到常微分方程思維，這種方法大大降低了實(shí)際問題的難度，將一種抽象化的思維模式運(yùn)用到實(shí)際問題的解答過程中，會給解題過程帶來很大的方便。而且作為數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中的中心學(xué)科，運(yùn)用常微分方程可以解答實(shí)際生活中遇到的各種問題。本文將圍繞常微分方程中數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用進(jìn)行深入的分析研究。

2.常微分方程與數(shù)學(xué)建模結(jié)合的特點(diǎn)

對不同的運(yùn)算對象我們需要有不同的數(shù)學(xué)模型來與之相對應(yīng)，才能在進(jìn)行更加復(fù)雜的運(yùn)算過程中不會出現(xiàn)數(shù)據(jù)的缺失和混亂。同時(shí)還要完成對研究對象的建模目的的簡化過程。其次，還要在其它類似的模型中尋找解答問題的關(guān)鍵，也就是與其相似的解題規(guī)律或思路。這樣的操作就可以做到對其結(jié)果的有效反饋，從而正確得出實(shí)際問題的答案。[1]當(dāng)然數(shù)學(xué)建模本身就是一個(gè)需要分析問題、解決問題的創(chuàng)造性思維運(yùn)用的過程。所以需要找準(zhǔn)切入點(diǎn)，才能結(jié)合常微分方程很好地解題，從而充分體現(xiàn)建模思維的解題策略。常微分方程的解題思路將給我們的抽象化思維帶來一種新的解題體驗(yàn)，它可以將數(shù)學(xué)模型中的各種復(fù)雜關(guān)系用一種最為凝練的數(shù)學(xué)運(yùn)算來表達(dá)。整個(gè)的推導(dǎo)過程雖很繁瑣，但是這種解題方式、思維方式的運(yùn)用，與數(shù)學(xué)建模方法的結(jié)合使用，將會給數(shù)學(xué)問題的解答帶來很多意想不到的好處?，F(xiàn)在人們常將常微分方程與數(shù)學(xué)建模方法結(jié)合使用。這樣會實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜現(xiàn)實(shí)問題的簡化，常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用也使得數(shù)學(xué)科學(xué)步入快速發(fā)展階段。[2]

3.數(shù)學(xué)建模中的常微分方程應(yīng)用

3.1產(chǎn)品推廣模型的建立

與數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)緊密的經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)中，經(jīng)常要對所研究問題變量的變化、增長等實(shí)際問題進(jìn)行討論。需要把常微分方程與數(shù)學(xué)建模結(jié)合起來，并對其中的變化規(guī)律進(jìn)行公式化的總結(jié)。比如某公司將一種新型的產(chǎn)品推廣到市場當(dāng)中，T時(shí)的銷售數(shù)目為Y（T），而且產(chǎn)品贏得了較好的口碑，銷售良好。那么，這種產(chǎn)品T時(shí)的產(chǎn)品銷售量的增加量dT/dY與Y（T）是成正比的，這種產(chǎn)品的銷售量也會達(dá)到飽和。市場最大消耗量M，根據(jù)公司的調(diào)查結(jié)果dT/Y（T）與此種商品的潛在銷售量之間也成正比關(guān)系。因此可以得出dY/dT=kY（M-Y），這其中的常數(shù)k是大于零的數(shù)，經(jīng)過進(jìn)一步的運(yùn)算簡化可以得到y(tǒng)（t）=m/（1+Ce-kmt）。并由dy/dt=cm2ke-kmt/（1+Ce-kmt）和d2y/dt2=ck2m3e-kmt（Ce-kmt-1）/（1+Ce-kmt）3，那么如果y（t*）處于零到m之間時(shí)，dt/dy大于0，就會出現(xiàn)銷量的遞增，反之就會出現(xiàn)銷量的遞減。

3.2通風(fēng)問題的模型

通風(fēng)問題就是指某些工廠，比如化工廠在進(jìn)行生產(chǎn)過程中會產(chǎn)生很多的有毒有害氣體。如果不能及時(shí)將這些有毒有害氣體排出工廠車間，將會對車間內(nèi)員工產(chǎn)生極大的危害。要保證足量的氧氣注入，就是化工廠面臨的通風(fēng)問題。比如在一個(gè)一萬立方的工廠車間中，空氣中的二氧化碳含量為萬分之十二，新鮮空氣中的含量為萬分之四。如果需要在十分鐘之后要其含量低于萬分之六，那么每分鐘要注入多少新鮮空氣？根據(jù)具體的關(guān)系式：進(jìn)入量（排走量）=進(jìn)入速度*氣體濃度*所用時(shí)間，氣體的實(shí)際增加量=注入量-排走量。[3]根據(jù)實(shí)際情況并結(jié)合常微分方程與數(shù)學(xué)建模方法的思路，可以假設(shè)在某一時(shí)刻s，二氧化碳的總量為wx，另一時(shí)刻s+ds為w（x+dx），所以利用常微分方程可以得到增量為wdx，即wdx=agds-axds，化簡之后就可以得到dx/（x-g）=-ads/w。經(jīng)過運(yùn)算得出a=-1080ln0.25，也就是體積流量a=1500m3/min。也就說每分鐘通入1500立方的新鮮空氣就可以在十分鐘之后使工廠車間內(nèi)的二氧化碳含量低于萬分之六。

4.結(jié)束語

通過以上分析，我們可以看出常微分方程在數(shù)學(xué)建模應(yīng)用中的巨大優(yōu)勢。對于建模思維的充分運(yùn)用以及對于復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的簡化發(fā)揮極大作用。因此，在以后的數(shù)學(xué)發(fā)展研究中，我們要抓住常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，才能拓展在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]郝文斌.常微分方程在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].理工發(fā)展.2014（10）44-47

[2]王保平.數(shù)學(xué)建模的多方面應(yīng)用[J].學(xué)術(shù)論壇.2016（5）102-104

[3]陳華.常微分方程的發(fā)展應(yīng)用[J].2016（1）77-79endprint