發(fā)展幾何直觀 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

雷梅玲

【摘要】發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力能讓學(xué)生從具體對(duì)象背后發(fā)現(xiàn)抽象的數(shù)學(xué)本質(zhì)，對(duì)學(xué)生思考數(shù)學(xué)問(wèn)題、發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想起到關(guān)鍵的作用，是學(xué)生必備的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)生在親歷操作活動(dòng)之后，獲得的經(jīng)驗(yàn)將更加真實(shí)豐富，有助于增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)，積累數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】幾何直觀；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；意識(shí)；表象；能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果?！?可見(jiàn)，幾何直觀能力是空間觀念形成的基礎(chǔ)。在小學(xué)階段，學(xué)生的思維特點(diǎn)以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維能力發(fā)展，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力恰好能讓學(xué)生從具體對(duì)象背后發(fā)現(xiàn)抽象的數(shù)學(xué)本質(zhì)，對(duì)學(xué)生思考數(shù)學(xué)問(wèn)題、發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想起到關(guān)鍵的作用，是學(xué)生必備的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。那么如何發(fā)展幾何直觀，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)呢？

一、親歷操作探索的過(guò)程，增強(qiáng)幾何直觀意識(shí)

史寧中教授說(shuō)：“從某種意義上說(shuō)，幾何直觀就是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)和思維經(jīng)驗(yàn)）不斷積累所形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！倍鴶?shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得需要親手觸摸，直觀感知，切身體驗(yàn)。因此，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力必須加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐操作活動(dòng)，提高學(xué)生的動(dòng)手能力。在小學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域的教學(xué)中，往往需要學(xué)生借助實(shí)物、模型等進(jìn)行動(dòng)手操作活動(dòng)，親身經(jīng)歷摸一摸、看一看、拼一拼、比一比、做一做等活動(dòng)來(lái)獲得感知，調(diào)動(dòng)多種感官的參與，在頭腦中逐步建立事物的表象，在直觀的操作活動(dòng)中慢慢凸顯幾何圖形的特征，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

例如，在教學(xué)“毫米的認(rèn)識(shí)”中，先讓學(xué)生用直尺測(cè)量書(shū)本的長(zhǎng)和寬，發(fā)現(xiàn)寬是18厘米多一些，引發(fā)學(xué)生要想知道具體是多少應(yīng)該用到新的度量單位——毫米。為了幫助學(xué)生建構(gòu)1毫米的模型，讓學(xué)生量一量、比一比1分硬幣的厚度，初步感知1毫米。在對(duì)物體進(jìn)行分類活動(dòng)中，讓學(xué)生找出哪些物品的厚度是1毫米，哪些物品的厚度大于1毫米，哪些物品的厚度小于1毫米，分類后要求學(xué)生用合適的方法進(jìn)行驗(yàn)證，學(xué)生就能通過(guò)剛才活動(dòng)獲得的經(jīng)驗(yàn)用1分硬幣作為參照物或用直尺測(cè)量來(lái)驗(yàn)證，進(jìn)一步建立和鞏固1毫米的概念。又如教學(xué)“角的初步認(rèn)識(shí)”中，創(chuàng)設(shè)扇子打開(kāi)、剪刀打開(kāi)、時(shí)鐘轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)情境，引導(dǎo)學(xué)生從這些實(shí)物中抽象出數(shù)學(xué)的角，發(fā)現(xiàn)角的產(chǎn)生過(guò)程。在對(duì)角有了初步感知后，讓學(xué)生從三角板上找靜態(tài)的角，幫助學(xué)生建構(gòu)角的特征和概念，最后通對(duì)魔術(shù)棒的操作，感受到角的大小。

學(xué)生在親歷操作活動(dòng)之后，獲得的經(jīng)驗(yàn)將更加真實(shí)豐富，有助于增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)，積累數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、親歷知識(shí)獲得的過(guò)程，積累幾何直觀表象

表象是幾何直觀思維的基礎(chǔ)元素。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生對(duì)幾何圖形知識(shí)的獲得是需要一定過(guò)程的。這就要求教師充分了解學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”，利用學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)結(jié)合具體的內(nèi)容設(shè)計(jì)相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，可以是靜態(tài)的觀察思考過(guò)程，也可以是動(dòng)態(tài)的動(dòng)手操作過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷幾何知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，幫助學(xué)生豐富幾何表象。學(xué)生在大量的觀察、思考、比較、分類等活動(dòng)過(guò)程中積累的幾何直觀表象越豐富，越容易把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直觀的表象。這樣有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提升幾何直觀素養(yǎng)。

例如在教學(xué)“長(zhǎng)方形的面積”時(shí)先出示圖①，引導(dǎo)學(xué)生可以用1平方厘米的小正方形進(jìn)行測(cè)量，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用全部擺滿（如圖②）和不擺滿（如圖③）可以算出長(zhǎng)方形的面積。學(xué)生經(jīng)歷直觀操作已經(jīng)把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化。然后再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用圖②與圖③之間的聯(lián)系也可以用每行的面積個(gè)數(shù)乘每列的面積個(gè)數(shù)得到長(zhǎng)方形的面積，又為后面公式與擺面積單位溝通了內(nèi)在聯(lián)系。在計(jì)算圖④和圖⑤兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積時(shí)，學(xué)生就能運(yùn)用不擺滿的方法進(jìn)行測(cè)量，再次豐富了思維經(jīng)驗(yàn)。

學(xué)生在動(dòng)手操作中掌握用1平方厘米的面積單位來(lái)測(cè)量，經(jīng)歷用面積單位測(cè)量長(zhǎng)方形的面積，建立和深化面積意識(shí)。這時(shí)出示表格（如表1），通過(guò)表格的數(shù)據(jù)，學(xué)生聯(lián)系數(shù)面積單位個(gè)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)很快就發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，然后借助1平方厘米小正方形測(cè)量三個(gè)長(zhǎng)方形面積的過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度與擺的面積單位之間的聯(lián)系。以圖⑤為例，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)每個(gè)1平方厘米的小正方形的邊長(zhǎng)是1厘米，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)擺了4個(gè)1平方厘米的小正方形，長(zhǎng)就是4厘米，寬擺了3個(gè)1平方厘米的小正方形，寬就是3厘米，（出示圖⑥）。通過(guò)前面長(zhǎng)方形方面積等于每行擺的面積單位的個(gè)數(shù)乘每列擺的面積單位的個(gè)數(shù)可以得出長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬。

通過(guò)一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，學(xué)生發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度與面積單位個(gè)數(shù)的關(guān)系，再找到面積與長(zhǎng)、寬之間的關(guān)系，親歷知識(shí)的形成過(guò)程，突破由面積單位到長(zhǎng)度單位的轉(zhuǎn)化這一理解難點(diǎn)，推進(jìn)思維發(fā)展，深化理解面積計(jì)算方法，積累長(zhǎng)方形面積的表象，發(fā)展幾何直觀，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、親歷遷移運(yùn)用的過(guò)程，發(fā)展幾何直觀能力

遷移與聯(lián)想、想象有一定的聯(lián)系。聯(lián)想與想象是拓展學(xué)生幾何直觀思維空間的主渠道，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)遷移運(yùn)用的過(guò)程是發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的重要手段。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅是讓學(xué)生獲得知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生以已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，經(jīng)歷操作、思考，得出新的數(shù)學(xué)知識(shí)，建構(gòu)新的數(shù)學(xué)模型。教學(xué)中，教師應(yīng)該善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，通過(guò)聯(lián)想與想象自主獲得新的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而在活動(dòng)中獲得基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，提高幾何直觀能力。

例如教學(xué)“長(zhǎng)方形的面積”探索正方形面積時(shí)（出示圖⑦），要求學(xué)生利用探索長(zhǎng)方形面積公式的方法自主探索正方形的面積公式。因?yàn)橹R(shí)的遷移運(yùn)用，學(xué)生很容易把探索長(zhǎng)方形面積的方法運(yùn)用在正方形面積公式的推導(dǎo)上。具體會(huì)出現(xiàn)以下三種探究的過(guò)程：一是用擺一擺的方法，每行可以擺3個(gè)1平方厘米的小正方形，每列也可以擺3個(gè)1平方厘米的小正方形；二是根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)是3厘米，可以擺3個(gè)邊長(zhǎng)1厘米的小正方形，每個(gè)擺3個(gè)，可以擺3行，一共是9個(gè)邊長(zhǎng)1厘米的小正方形；三是利用正方形是特殊的長(zhǎng)方形，把這個(gè)正方形看成長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬都是3厘米，根據(jù)剛才長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，推導(dǎo)出正方形的面積就等于邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng)。

又如，教學(xué)“有趣的測(cè)量”時(shí)，先呈現(xiàn)長(zhǎng)方體、正方體、石塊、橡皮泥、土豆等物品，學(xué)生利用已有知識(shí)就能判斷長(zhǎng)方體和正方體可以用公式來(lái)解決，石塊、橡皮泥、土豆是不規(guī)則物體，不能用公式解決。接著讓學(xué)生動(dòng)手捏一捏，體會(huì)到橡皮泥可以通過(guò)捏成長(zhǎng)方體或正方體的轉(zhuǎn)化過(guò)程算出體積，石頭不能捏，需要通過(guò)其他方法來(lái)進(jìn)行測(cè)量，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，意識(shí)到必須思考新的解決問(wèn)題策略。為了解決新的問(wèn)題，教師繼續(xù)組織學(xué)生根據(jù)自己的思考與經(jīng)驗(yàn)來(lái)總結(jié)出實(shí)驗(yàn)所需要的材料、步驟、注意事項(xiàng)等，然后再進(jìn)行分組實(shí)驗(yàn)。學(xué)生在分組實(shí)驗(yàn)中探尋不同解決問(wèn)題的方法，在活動(dòng)中感悟到雖然實(shí)驗(yàn)的過(guò)程不一樣，但所運(yùn)用的方法都是經(jīng)歷將不規(guī)則物體體積轉(zhuǎn)化成規(guī)則物體體積進(jìn)行測(cè)量計(jì)算的方法。

總之，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成是一個(gè)長(zhǎng)期的、不斷體驗(yàn)的、慢慢積淀的過(guò)程。在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)更多關(guān)注如何挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)本身的內(nèi)涵，建立具體形象的事物與數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)之間的聯(lián)系，學(xué)會(huì)用幾何直觀解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。當(dāng)學(xué)生的體驗(yàn)豐富了，經(jīng)驗(yàn)的積累也就相應(yīng)地增加了，就能生動(dòng)形象地描述幾何圖形的問(wèn)題，積累表象，展開(kāi)豐富的聯(lián)想與想象，經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”和“思考數(shù)學(xué)”的過(guò)程，從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗(yàn)”，將數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成真正落實(shí)到課堂教學(xué)并有效地融入學(xué)習(xí)過(guò)程中，持之以恒，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就能真正得到培養(yǎng)和提升。

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