淺談數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)的幾種能力

張全喜

中圖分類號(hào)：G633.6

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)的解題能力是數(shù)學(xué)的最終目的，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)。應(yīng)當(dāng)貫穿于教學(xué)的始終。只有領(lǐng)悟和掌握以數(shù)學(xué)為載體的數(shù)學(xué)方法，思維水平才能得以提高，才能擁有浩瀚的數(shù)學(xué)世界。如何提高學(xué)生的解題能力，具體方法上可從以下幾個(gè)方面入手：

一、培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力

數(shù)形結(jié)合的思想是指將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀形象的圖形結(jié)合起來，其實(shí)質(zhì)就是將抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形，通過對(duì)幾何圖形的處理，實(shí)現(xiàn)抽象代數(shù)與具體直觀的幾何圖形的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到化難為易、化抽象為直觀的目的，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化。

代數(shù)是研究“數(shù)”的，幾何是研究“形”的。研究“數(shù)”需要借助“形”， 研究“形”需要借助“數(shù)”，數(shù)形結(jié)合可使問題明朗化，比較容易地找到問題的關(guān)鍵所在，從而解決問題。如利用數(shù)軸的直觀性幫助同學(xué)理解相反數(shù)、絕對(duì)值等概念，掌握有理數(shù)大小的比較方法，都十分容易。

例 已知：a<0，b>0，且a+b<0，比較a，-a，b，-b的大小。

分析：直接比較顯然是麻煩的，但利用數(shù)形結(jié)合就十分方便。

因?yàn)閍<0，b>0， 且a+b<0，所以a的絕對(duì)值大于b的絕對(duì)值。在數(shù)軸上可表示為

根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，很容易確定a<-b

因此，今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，任何一道題，只要與“形”能結(jié)合起來，就要根據(jù)題意圖示分析。這樣做可以將抽象的問題直觀化、復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，容易找出問題的突破口。一旦嘗到了甜頭就會(huì)有一種成功的喜悅。如果能重視數(shù)形結(jié)合的思維訓(xùn)練，將會(huì)極大地提高解題的能力。

二、培養(yǎng)類比的能力

類比就是在思維中確定研究對(duì)象的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，進(jìn)行比較，從中重新認(rèn)識(shí)舊知識(shí)，接受新知識(shí)，達(dá)到溫故知新的目的。

如初中有理數(shù)的運(yùn)算同小學(xué)中的運(yùn)算相比較就會(huì)發(fā)現(xiàn)：有理數(shù)的運(yùn)算包括小學(xué)中的運(yùn)算，主要區(qū)別在于處理好符號(hào)的的問題，也就是說有理數(shù)運(yùn)算先確定數(shù)值的符號(hào)，再按小學(xué)中所學(xué)的方法進(jìn)行，得出最后的結(jié)果。再如學(xué)習(xí)了一元一次方程的概念就可類比得出二元一次方程、三元一次方程的概念等等。

通過對(duì)舊知識(shí)和新知識(shí)的比較，就會(huì)搞清新舊知識(shí)之間的內(nèi)在的聯(lián)系與區(qū)別以及解決的方法，從而推陳出新，有利于對(duì)新知識(shí)的理解、記憶、運(yùn)用。只要掌握了類比的思想方法，對(duì)學(xué)生的自學(xué)能力的促進(jìn)、興趣的提高、思維的激發(fā)都有很大的幫助。

三、培養(yǎng)方程的能力

數(shù)學(xué)是研究事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的，最重要的關(guān)系是等量關(guān)系，最常見的等量關(guān)系就是方程。方程就是從問題出發(fā)，找出已知量和未知量之間的相等關(guān)系列出方程。從而通過已知量求出未知量。

例 現(xiàn)在時(shí)刻4時(shí)整，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)針和分針第一次重合？

分析：（1）鐘面上共分12個(gè)大格，每個(gè)大格表示1小時(shí)；每個(gè)大格又分5個(gè)小格，共有60個(gè)小格，每個(gè)小格為1分鐘。4時(shí)整，時(shí)針和分針相差4個(gè)大格共20個(gè)小格。（2）分針轉(zhuǎn)一圈時(shí)針僅轉(zhuǎn)一個(gè)大格，如果把分針轉(zhuǎn)一周看作“1”，那么時(shí)針在同樣的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過分針的十二分之一。（3）兩針想要重合須使分針追上相差的20個(gè)小格，于是這個(gè)問題就變成了我們熟悉的“追及問題”了。（4）設(shè)經(jīng)過X分鐘時(shí)針和分針第一次重合，列方程為：

（1- ）x=20 解得X=21 所以經(jīng)過21 分鐘時(shí)針和分針第一次重合。

將時(shí)間時(shí)間問題轉(zhuǎn)化為行程問題后，便于尋找等量關(guān)系列出方程，表面上看是一個(gè)與角度有關(guān)的問題，當(dāng)介入未知數(shù)利用方程進(jìn)行解決時(shí)，問題就迎刃而解了。這不失為一種好的思維方式。

四、培養(yǎng)化歸的能力

化歸即轉(zhuǎn)化之意。就是將所學(xué)的知識(shí)或要解決的的問題，依賴一定的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法技巧采取適當(dāng)策略和手段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之與已有的知識(shí)相聯(lián)系，將要解決的問題或復(fù)雜的問題歸到已經(jīng)解決或容易解決的問題中去。比如，計(jì)算組合圖形的面積，需要把這個(gè)圖形進(jìn)行分割，分割成已學(xué)過的長(zhǎng)方形、三角形、梯形等，計(jì)算出它們各部分的面積的和就得到了組合圖形的面積，而解決了問題。再如各種多元方程、高次方程，通過“消元”“降次”等方法，最終轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程來解決。“轉(zhuǎn)化”的思想是解題的重要思維習(xí)慣。面對(duì)難題或沒有見過的題就要想到轉(zhuǎn)化，也總是能夠轉(zhuǎn)化的。切實(shí)理解“化難為易、化繁為簡(jiǎn)，化未知為已知”的真正含義，掌握轉(zhuǎn)化的思想和技巧是重要的解題方法之一。

五、培養(yǎng)分類討論的能力

分類討論是指對(duì)于要學(xué)習(xí)的知識(shí)或研究的問題，為了研究需要按照同一分類標(biāo)準(zhǔn)將研究對(duì)象分成不同種類，對(duì)每一類分別作出分析，進(jìn)而達(dá)到獲得知識(shí)或解決問題的目的。

例如：線段AB的長(zhǎng)是12cm，BC的長(zhǎng)是4cm，點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，求AP的長(zhǎng)。

分析：仔細(xì)分析題意發(fā)現(xiàn)，C點(diǎn)可能有三種情況：

（1）C點(diǎn)在線段AB之間（如圖1）（2）C點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線上（如圖2）（3）C點(diǎn)在線段BA的延長(zhǎng)線上（如圖3）

根據(jù)圖示可從這三種情況進(jìn)行考慮：（1）∵AC=AB-BC=12-4=8（cm）∴AP= AC= ×8=4（cm）（2）∵AC=AB+BC=12+-4=12（cm）∴AP= AC= ×12=6（cm）（3）∵BC>AB，∴不合題意。

所以AP的長(zhǎng)是4cm或6cm。

對(duì)于有些數(shù)學(xué)問題的思考，要注意多種情況的可能性，從各種情況入手，細(xì)心地分析，利用數(shù)形結(jié)合、方程等把不同情況分類討論解答，確保問題的全面、準(zhǔn)確。

六、增強(qiáng)自信心是解題的關(guān)鍵

在數(shù)學(xué)解題中，自信心是相當(dāng)重要的，要相信自己，只要是自己學(xué)過的，總是能用所學(xué)的知識(shí)解決問題，關(guān)鍵是敢于去做而且善于去做。具體解題時(shí)，一定要認(rèn)真審題，不厭其煩地讀題，領(lǐng)會(huì)題中的意義，緊緊抓住條件不放手，以此作為突破口，找出條件和問題之間關(guān)系的紐帶，得出正確的結(jié)論。關(guān)鍵是要掌握必要的解題思路和方法就能順利地對(duì)付無限的題目。解題需要豐富的知識(shí)，更要充滿自信。沒有自信心就會(huì)產(chǎn)生畏懼心理以至于“望題生畏”，就會(huì)放棄；只有自信才能勇往直前，才不輕易放棄，才會(huì)加倍努力地學(xué)習(xí)，才有希望迎接自己的明天。