新課標(biāo)課堂上培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思考

蒙華生

中圖分類號(hào)：G633.6

近幾年高考新課標(biāo)全國卷加大了應(yīng)用題力度，如何將數(shù)學(xué)建模思想有效地融入到日常教學(xué)，如何指導(dǎo)學(xué)生在解決高考隨處可見的應(yīng)用題，比如概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用，“四點(diǎn)共圓”的應(yīng)用，函數(shù)求導(dǎo)的與不等式的綜合應(yīng)用等，成了不少同學(xué)取得高分的“攔路虎”，解答不太理想。我們?cè)诮虒W(xué)上要求學(xué)生“學(xué)高考所考”“練高考所考”的方式的確是提高了學(xué)生應(yīng)試“能力”，卻在課堂上沒能有效地向?qū)W生引入數(shù)學(xué)建模的思想，學(xué)生一旦碰到陌生的題型或者聯(lián)系實(shí)際的問題卻又不會(huì)去解決它，廣西2009年以來連續(xù)考了幾年的壓軸題“四點(diǎn)共圓”，考生接觸雖多，卻不會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的思想去發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，“年年考，年年死！”如何培養(yǎng)學(xué)生自覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去考慮和處理高考應(yīng)用問題，形成良好的思維品質(zhì)是我們需要解決的一個(gè)迫切的課題。

一、何為“數(shù)學(xué)建模”

數(shù)學(xué)建模的思想大致為：

實(shí)際問題→分析抽象→建立模型→數(shù)學(xué)問題

↑ ↓

檢驗(yàn) ← 實(shí)際解 ← 釋譯 ← 數(shù)學(xué)解

大學(xué)時(shí)期我參加 “數(shù)學(xué)建模大賽”時(shí)，指導(dǎo)老師張凱軍曾經(jīng)說過“培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的能力，關(guān)鍵是把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，首先通過觀察分析、提煉出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，然后再把數(shù)學(xué)模型納入某知識(shí)系統(tǒng)去處理，這不但要求學(xué)生有一定的抽象能力，而且要有相當(dāng)?shù)挠^察、分析、綜合、類比能力。”學(xué)生要具備這樣的能力需要一個(gè)積累沉淀，需要我們?cè)谡n堂上把數(shù)學(xué)建模思想貫徹到底，不斷的引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維的觀點(diǎn)去觀察、分析和表示各種事物關(guān)系、空間關(guān)系和數(shù)學(xué)信息，從具體問題中抽象出熟悉的數(shù)學(xué)模型。比如教材上公式、方程式、定理等等。

二、如何在日常的教學(xué)中灌輸“建模”思想

1、首先要從傳統(tǒng)的“應(yīng)試教育”觀念轉(zhuǎn)變過來，不斷地學(xué)習(xí)一些新的數(shù)學(xué)建模理論，利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)或者外出培訓(xùn)的機(jī)會(huì)不斷更新教學(xué)理念，并且努力鉆研如何把中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活；

2、與教材相結(jié)合。教材中哪些章節(jié)可引入哪些模型問題，如講立體幾何時(shí)可引入正方體模型或長方體模型把相關(guān)問題放入到這些模型中來；又如在解幾中講了兩點(diǎn)間的距離公式后，可引入兩點(diǎn)間的距離模型解決一些具體問題，而排列組合問題在實(shí)際應(yīng)用更為廣泛。日常教學(xué)中通過我們的潛移默化，學(xué)生可以從各類大量的建模問題中逐步領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)建模的廣泛應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生去研究數(shù)學(xué)建模的興趣，提高他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行建模的能力；

3、學(xué)科間的聯(lián)系。由于數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)其它自然科學(xué)的工具且與其它學(xué)科的聯(lián)系相當(dāng)密切。我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)注意與其它學(xué)科的呼應(yīng)，這不但可以幫助學(xué)生加深對(duì)其它學(xué)科的理解，也是培養(yǎng)學(xué)生建模意識(shí)的一個(gè)不可忽視的途徑。

三、建模思想例題分析：

1、構(gòu)建建模意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)換能力

數(shù)學(xué)建模就是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題，我們?nèi)裟軌蛟跀?shù)學(xué)教學(xué)中注重轉(zhuǎn)換，利用好這根杠桿，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的靈活性、創(chuàng)造性及開發(fā)智力、培養(yǎng)能力、提高解題速度是十分有益的。以下是本人就教學(xué)過程中排列組合題型的常見兩個(gè)難點(diǎn)：占位子問題、分組問題，通過兩個(gè)特例作進(jìn)一步的說明：

例1：將編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)小球放進(jìn)編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)盒子中，要求只有兩個(gè)小球與其所在的盒子編號(hào)相同，問有多少種不同的方法？

解析過程：

首先，讀懂題目：在轉(zhuǎn)換題目之前先讓學(xué)生仔細(xì)審題，從特殊字眼小球和盒子都已"編號(hào)"著手，清楚這是一個(gè)"排列問題"，然后對(duì)題目進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換。

其次，轉(zhuǎn)換思想：在讀懂題目的基礎(chǔ)上，為了激發(fā)學(xué)生興趣進(jìn)入角色，在講臺(tái)前將印有編號(hào)為1、2、3、4、5的五張凳子擺放好，同事將本道題轉(zhuǎn)換為：讓學(xué)號(hào)為1、2、3、4、5的學(xué)生坐到編號(hào)為1、2、3、4、5的五張凳子上，如果只有兩個(gè)學(xué)生與其所坐的凳子編號(hào)相同，問有多少種不同的坐法？

最后，解決問題：這時(shí)選另一名學(xué)生來安排這5位學(xué)生坐位子，班上其他同學(xué)也都積極思考（充分發(fā)揮了學(xué)生的主體地位和主觀能動(dòng)性），努力地"出謀劃策"，不到兩分鐘的時(shí)間，同學(xué)們有了統(tǒng)一的看法：先選定符合題目特殊條件"兩個(gè)學(xué)生與其所坐的凳子編號(hào)相同"的兩位同學(xué)，有 種方法，讓他們坐到與自己編號(hào)相同的凳子上，然后剩下的三位同學(xué)不坐編號(hào)相同的凳子有2種排法，最后根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果為 =20種不同的方法。

對(duì)于這一類占位子問題，關(guān)鍵是抓住題目中的特殊條件建立模型，從實(shí)際生活轉(zhuǎn)換思想。分析問題，解決問題。再拋出問題：5個(gè)同學(xué)在元旦相互贈(zèng)送卡片，要求：①無人拿到自己的卡片有多少種方法？②恰有1人拿到自己的卡片方法數(shù)？③至少有2個(gè)人拿到自己的卡片有多少種方法？給學(xué)生在課后自己練習(xí)，尋找規(guī)律。

2、發(fā)揮學(xué)生的想象能力，培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維

例2：證明：

分析：此題若作為“三角”問題來處理，當(dāng)然也可以證出來，但從題中的數(shù)量特征來看，發(fā)現(xiàn)這些角都依次相差72°，聯(lián)想到正五邊形的內(nèi)角關(guān)系，由此構(gòu)造一個(gè)正五邊形（如圖）所示：

由于 .

從而它們的各個(gè)向量在Y軸上的分量之和亦為0，故知原式成立。

這里，正五邊形作為建模的對(duì)象恰到好處地體現(xiàn)了題中角度的數(shù)量特征。很好地培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察能力與想象能力。如果沒有一定的建模訓(xùn)練，是很難“創(chuàng)造”出如此簡潔、優(yōu)美的證明的。

3、以“構(gòu)造”為載體，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

例3.一條筆直的大街上，有n座房子，每座房子里有一個(gè)或更多的小孩，問：他們應(yīng)在什么地方會(huì)面，走的路程之和才能盡可能地少？

分析：如何表示房子的位置？構(gòu)造數(shù)軸，用數(shù)軸表示筆直的大街，幾座房子分別位于 ，不妨設(shè) ?，又設(shè)各座房子中分別有 個(gè)小孩，則問題就成為求實(shí)數(shù)x ，使 最小。

例4. 求函數(shù) 的最小值。

分析：學(xué)生首先想到的用均值不等式求得最小值為2，但忽略了均值不等式等號(hào)成立的條件，若把函數(shù)變?yōu)?， 則可構(gòu)造數(shù)學(xué)模型“求過定點(diǎn)A（0，-4）及動(dòng)點(diǎn)B 的直線AB斜率的最小值”，而動(dòng)點(diǎn) 的軌跡是拋物線段： ，結(jié)合圖像可知函數(shù) 的最小值為 。

總之，要真正培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，光憑傳授知識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，教學(xué)中必須堅(jiān)持以學(xué)生為主體，不能脫離學(xué)生搞不切實(shí)際的建模教學(xué)，一切教學(xué)活動(dòng)必須以調(diào)動(dòng)學(xué)生主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生自主活動(dòng)，自覺在學(xué)習(xí)過程中構(gòu)建數(shù)學(xué)建模意識(shí)，這樣才能使學(xué)生分析和解決問題的能力得到進(jìn)步，才能真正提高學(xué)生的創(chuàng)新能力，使學(xué)生能用數(shù)學(xué)邏輯思維去解決高考各種新題型，掃清高考?jí)狠S題上的“攔路虎”！endprint