以代數(shù)思想為主線—線性代數(shù)和高等代數(shù)課程教學(xué)的相通與兼容

王秀麗

摘要： 本文主要從線性代數(shù)和高等代數(shù)的一些知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系入手，在實(shí)際教學(xué)中進(jìn)行相通與兼容的處理手法，從而更好的增進(jìn)學(xué)生對(duì)這兩門課程的認(rèn)識(shí)與理解，進(jìn)而更好的學(xué)習(xí)它們。

關(guān)鍵詞： 線性代數(shù)；高等代數(shù)；對(duì)角矩陣；二次型；標(biāo)準(zhǔn)型

【中圖分類號(hào)】 O153

Algebra Ideal as Main Line- Dealing with them by the Comparable and Compatible Way in the Process of Teaching of Linear Algebra and Advanced Algebra

（Science college， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， P. R. China）

Abstract： In this paper， we principally discuss the relation of knowledge about Linear Algebra and Advanced Algebra. Dealing with them by the comparable and compatible way in the process of teaching of Linear Algebra and Advanced Algebra， and make student realize and comprehend them better， furthermore learn them better.

Key words： Linear Algebra； Advanced Algebra； Diagonal matrix； Quadratic form； Standard form

資助項(xiàng)目：2014中國(guó)民航大學(xué)教育教學(xué)改革研究課題（項(xiàng)目編號(hào)：CAUC-ETRN-2014-54）資助。

1.引言

理工科學(xué)生從大一下學(xué)期開始一學(xué)期的線性代數(shù)的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)專業(yè)（包括信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)）的學(xué)生從大一上或下學(xué)期開始為期一年的高等代數(shù)的學(xué)習(xí)。線性代數(shù)內(nèi)容相對(duì)高等代數(shù)來說簡(jiǎn)單一些，但一些結(jié)論通常不給出證明，而在高等代數(shù)中往往會(huì)找到相關(guān)結(jié)論的定理的證明，如果在線性代數(shù)課堂適當(dāng)引入這些證明，學(xué)生會(huì)有新鮮感和深度感，從而更加認(rèn)可老師的知識(shí)儲(chǔ)備，進(jìn)而更喜歡聽老師所講的內(nèi)容；高等代數(shù)比線性代數(shù)多了不少內(nèi)容，除了多項(xiàng)式之外，還多了 矩陣，歐幾里得空間等章節(jié)，內(nèi)容相對(duì)線性代數(shù)來說要復(fù)雜一些，學(xué)生會(huì)覺得抽象而且無從下手，如果能從線性代數(shù)的角度，抓住主要的脈絡(luò)及代數(shù)思想，給學(xué)生理清頭緒，會(huì)讓學(xué)生覺得輕松很多，從而增加學(xué)習(xí)高等代數(shù)的興趣。在線性代數(shù)和高等代數(shù)課程實(shí)際教學(xué)中，抓住代數(shù)思想這根主線，進(jìn)行二者相通、兼容方面的探索與實(shí)踐是非常必要和有意義的。

2. 以代數(shù)思想為主線-線性代數(shù)和高等代數(shù)課程教學(xué)的相通與兼容

線性代數(shù)與高等代數(shù)有非常密切的聯(lián)系，只是線性代數(shù)是理工科的公共基礎(chǔ)課，而高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)課。本文接下來主要從二次型化標(biāo)準(zhǔn)型方面討論線性代數(shù)和高等代數(shù)在教學(xué)中相通兼容之處。

2.1二次型化標(biāo)準(zhǔn)型

二次型化標(biāo)準(zhǔn)型，線性代數(shù)和高等代數(shù)相通的地方就是都涉及了對(duì)稱陣的對(duì)角化問題。在高等代數(shù)中，二次型化標(biāo)準(zhǔn)型主要有如下三種方法，設(shè)所研究的二次型有如下形式：

（1） 配方法：用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的關(guān)鍵是消去交叉項(xiàng)，分如下兩種情形處理：

情形1：如果 ，則集中二次型中含 的所有交叉項(xiàng)，然后與 配方，并作非退化線性替換

對(duì) 重復(fù)上述方法直到化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)型為止。

情形2：如果二次型 不含平方項(xiàng)，即 ，但含某一個(gè) ，則可先作非退化線性替換

把 化為一個(gè)含平方項(xiàng) 的二次型，再用情形1的方法化為標(biāo)準(zhǔn)型。

（2）初等變換法：

用非退化線性替換 化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)型，相當(dāng)于對(duì)對(duì)稱陣 找一個(gè)可逆矩陣 ，使 為對(duì)角陣。由于可逆矩陣 可以寫成若干初等矩陣 的乘積，即 ，從而有 ，

。根據(jù)初等變換的有關(guān)性質(zhì)（用初等矩陣左（右）乘矩陣 相當(dāng)于對(duì) 作一次初等行（列）變換），由上式可得到用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的步驟如下：

第一步 寫出二次型 的矩陣 ，并構(gòu)造 矩陣 ；

第二步 對(duì)矩陣 進(jìn)行初等行變換和同樣的初等列變換，把 化為對(duì)角陣 ，并對(duì) 施行與 同樣的初等列變換化為矩陣 ，此時(shí) ；

第三步 寫出非退化線性替換 ，化二次型 。這個(gè)方法的示意圖如下

（3）正交變換法：

寫出二次型 的矩陣 ，求矩陣 的特征值 及相應(yīng)的特征矢量 ，把特征矢量正交化單位化得 ，把正交化單位化后的特征矢量作為列矢量組成正交矩陣 ，做正交變換 ，則有二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型

。

在線性代數(shù)中提及了配方法和正交變換法，著重考察正交變換法，對(duì)于初等變換法沒有涉及，因此在線性代數(shù)實(shí)際的教學(xué)中，可適當(dāng)引進(jìn)初等變換法，比起正交變換法，學(xué)生更熟悉，簡(jiǎn)單且易于把握。最后還要從幾何的角度告訴學(xué)生，正交變換的好處是保持矢量的長(zhǎng)度不變，更直觀的是，在三維幾何空間中，當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的是坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換，進(jìn)而可把二次曲面的方程化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)型，從標(biāo)準(zhǔn)型我們就能判別它是何種曲面了。像這樣，在線性代數(shù)教學(xué)中滲透高等代數(shù)和幾何的知識(shí)，使之相互影響，能更好的激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣和探索代數(shù)系統(tǒng)奧秘的動(dòng)力。

3. 總結(jié)

總之，線性代數(shù)和高等代數(shù)這兩門課程在內(nèi)容上有諸多的相通之處，如果在實(shí)際教學(xué)中能抓住“代數(shù)思想”這根“線”，很好地把二者相結(jié)合，相輔相成，必定會(huì)對(duì)這兩門課的教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量起到積極的促進(jìn)作用。

參考文獻(xiàn)

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