例析中考平面幾何中常見的最值問(wèn)題

陳杏

【摘要】本文結(jié)合實(shí)例對(duì)近幾年全國(guó)中考題中平面幾何常見的最值問(wèn)題進(jìn)行分析，概括幾種常見的最值問(wèn)題類型并歸納出各類最值問(wèn)題的解題策略。

【關(guān)鍵詞】最值問(wèn)題 線段 軸對(duì)稱變換 直徑 二次函數(shù)

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）08A-0119-03

平面幾何的最值問(wèn)題是指在一定條件下，求平面幾何中某個(gè)確定的量（如線段長(zhǎng)短、角度大小、圖形面積等）的最大值和最小值問(wèn)題。這類常見的題型以平面幾何為背景，將各方面的知識(shí)融入其中，所涉及的知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng)，在近幾年的中考中更加趨于綜合性及多樣性，它以更貼近生活、貼近社會(huì)為出發(fā)點(diǎn)，有利于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和社會(huì)價(jià)值，充分體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀的要求，培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象、實(shí)踐分類、建模、數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化與化歸等各方面的能力。

一、與線段有關(guān)的最值問(wèn)題

中考試題來(lái)源于教材，一般是從提取模型、類比模型或變式模型的角度來(lái)命題，其中運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”等知識(shí)來(lái)解決的最值問(wèn)題，通常被稱為“與線段有關(guān)的最值為題”。這類問(wèn)題也是平面幾何最值問(wèn)題中較為常見的一類問(wèn)題。筆者在中考復(fù)習(xí)的備考教學(xué)時(shí)首先從最基本的點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離問(wèn)題入手，引導(dǎo)學(xué)生利用“兩點(diǎn)之間線段最短”的基本公理解決最值問(wèn)題。

（一）兩點(diǎn)之間線段最短

例1（2015 新疆）如圖1所示，某同學(xué)的家在A處，星期日他到書店去買書，想盡快趕到書店B，請(qǐng)你幫助他選擇一條最近的路線（ ）

A. A→C→D→B

B. A→C→F→B

C. A→C→E→F→B

D. A→C→M→B

因?yàn)閮牲c(diǎn)的所有連線中，有無(wú)數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，學(xué)生在第一眼看到這道題時(shí)，很容易想到兩點(diǎn)之間的所有連線中線段最短，從點(diǎn)C到B之間的最短距離即為線段CB的長(zhǎng)度，故應(yīng)選擇的路線是A→C→F→B。

筆者趁熱打鐵，給學(xué)生展示點(diǎn)到線的距離問(wèn)題，讓學(xué)生由“點(diǎn)到點(diǎn)的問(wèn)題”自然地過(guò)渡到“點(diǎn)到線的最值問(wèn)題”，即“垂線段最短”的公理的運(yùn)用。

（二）垂線段最短

例2（2016 成都）如圖2，面積為6的平行四邊形紙片ABCD中，AB=3，∠DAB=45°，按下列步驟進(jìn)行裁剪和拼圖。

第一步：如圖2.1，將平行四邊形紙片沿對(duì)角線BD剪開，得到△ABD和△BCD紙片，再將△ABD紙片沿BD上的任意一點(diǎn)E與A的連線AE剪開，得到△ABE和△ADE紙片。

第二步：如圖2.2，將△ABE紙片平移至△DCF處，將△ADE紙片平移至△BCG處。

第三步：如圖2.3，將△DCF紙片翻轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)使其背面朝上置于△PQM處（邊PQ與DC重合，△PQM與△DCF在CD同側(cè)），將△BCG紙片翻轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)使其背面朝上置于△處（邊PR與BC重合，△PRN與△BCG在BC的同側(cè)）。則由紙片拼成的五邊形PMQRN中，對(duì)角線MN長(zhǎng)度的最小值為 。

這道題的閱讀量比較大，筆者引導(dǎo)學(xué)生用紅筆在圖上畫出AE，于是圖2.3中PM=PN=AE，再證明∠MPN=90°，得出△MPN是等腰直角三角形；根據(jù)等腰直角三角形的邊的關(guān)系可知MN=[2]PM=[2PN]=[2AE]。這時(shí)學(xué)生豁然開朗，原來(lái)這是點(diǎn)到線的距離問(wèn)題，當(dāng)AE的長(zhǎng)度最小時(shí)，對(duì)角線MN的長(zhǎng)度最小，根據(jù)“垂線段最短”，所以當(dāng)AE⊥BD時(shí)，AE取最小值，此時(shí)MN有最小值。

以上兩種最值問(wèn)題，在以往的中考題中較為常見，學(xué)生做題時(shí)也比較輕松。當(dāng)兩點(diǎn)之間的線段的最值問(wèn)題變?yōu)槿c(diǎn)之間的線段的最值問(wèn)題時(shí)，教師就要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造三角形、根據(jù)三角形的三邊關(guān)系來(lái)考慮這一類最值問(wèn)題。為此，筆者選取了以下例題。

（三）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

例3（2016 河南）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖3.1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b。填空：當(dāng)點(diǎn)A位于 時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為 ；（用含a，b的式子表示）

（2）應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=3，AB=1。如圖3.2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形△ABD和等邊三角形△ACE，連接CD，BE.

①請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段，并說(shuō)明理由；

②直接寫出線段BE長(zhǎng)的最大值；

（3）拓展：如圖3.3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°。請(qǐng)直接寫出線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

對(duì)于三角形的三邊問(wèn)題，在中考中以解答題的形式出現(xiàn)的不多，學(xué)生做題時(shí)也不容易想到。于是，筆者在為學(xué)生講解例3時(shí)先復(fù)習(xí)了構(gòu)成三角形的條件等相關(guān)知識(shí)，并引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析。有學(xué)生馬上想到了：當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，三角形兩邊之和大于第三邊，即AC

既然有三角形的兩邊之和的最值問(wèn)題，一定也應(yīng)該有兩邊之差的最值問(wèn)題。趁著學(xué)生做題的熱情，筆者選取了例4。

例4（2016 黃崗）如圖4，已知點(diǎn)A（1，a）是反比例函數(shù)y=[3x]的圖象上一點(diǎn)，直線y=-[12]x+[12]與反比例函數(shù)y=-[3x]的圖象在第四象限的交點(diǎn)為點(diǎn)B。

（1）求直線AB的解析式；

（2）動(dòng)點(diǎn)P（x，0）在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段PA與線段PB之差達(dá)到最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

第（1）問(wèn)較簡(jiǎn)單，學(xué)生很快就可以求出直線AB的解析式為y=x-4；第（2）問(wèn)的難點(diǎn)在于題目改變了以往考查線段之和最短的最值問(wèn)題，變成求線段之差的最大值的最值問(wèn)題。學(xué)生很難判斷點(diǎn)P的位置，筆者舉例引導(dǎo)學(xué)生：當(dāng)P不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，在△PAB中，根據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊得|PA-PB|

這一類最值問(wèn)題的本質(zhì)就是“兩點(diǎn)之間線段最短”“直線外一點(diǎn)到直線的垂線段最短”的運(yùn)用，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生首先明確所求問(wèn)題是點(diǎn)到點(diǎn)的距離問(wèn)題還是點(diǎn)到線的距離問(wèn)題，再利用線段的有關(guān)定理和公理進(jìn)行解答。

二、與軸對(duì)稱變換有關(guān)的最值問(wèn)題

在初中數(shù)學(xué)中，對(duì)稱性主要用于解答圖形的變換、折疊以及求最短路徑等問(wèn)題，它能全面地考查學(xué)生的空間想象能力、幾何變換思想、探究能力和解決問(wèn)題的能力，其中利用“軸對(duì)稱”來(lái)解決“將軍飲馬”類問(wèn)題也成為中考命題的一大閃光點(diǎn)并呈現(xiàn)多種變式問(wèn)題，筆者認(rèn)為教師在開展教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注以下三個(gè)問(wèn)題：①適用的條件，即要有定直線和同側(cè)兩定點(diǎn)；②轉(zhuǎn)化的問(wèn)題，即直線上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和最短；③使用的方法，即作兩定點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)關(guān)于定直線的對(duì)稱點(diǎn)。為此，筆者在幫助學(xué)生備考時(shí)選取了最典型的一點(diǎn)關(guān)于一直線對(duì)稱的“將軍飲馬”問(wèn)題，旨在讓學(xué)生回顧知識(shí)，為后續(xù)教學(xué)進(jìn)行鋪墊。

例5（2016 梧州，有改動(dòng)）如圖5，拋物線y=ax2+bx-4（a≠0）與x軸交于A（4，0）、B（-1，0）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線y=-x+4交拋物線于點(diǎn)C.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）在直線AC上有一動(dòng)點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E在某個(gè)位置時(shí)，使△BDE的周長(zhǎng)最小，求此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)。

學(xué)生將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可很容易求得拋物線的解析式為y=x2-3x-4。教師帶領(lǐng)學(xué)生共同分析第（2）問(wèn)，因?yàn)檫匓D的長(zhǎng)度固定不變，所以第（2）問(wèn)要使△BDE的周長(zhǎng)最小，只要求BE+DE最小即可。于是，學(xué)生可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為八年級(jí)學(xué)過(guò)的“將軍飲馬”問(wèn)題：在直線AC上找一點(diǎn)E，使其到點(diǎn)B、D的距離之和最短。如圖5.1，作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接BF與直線AC交點(diǎn)即為所求。

軸對(duì)稱的最值問(wèn)題是幾何最值問(wèn)題中最為活躍的一類題型，是中考的熱點(diǎn)題型并呈現(xiàn)出較多的變式，如一點(diǎn)關(guān)于一直線對(duì)稱、一點(diǎn)關(guān)于兩直線對(duì)稱、兩點(diǎn)關(guān)于兩直線對(duì)稱、平移對(duì)稱等，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是在軸對(duì)稱背景中提取模型條件，通過(guò)找到定直線的對(duì)稱點(diǎn)把同側(cè)線段轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段，實(shí)現(xiàn)“折”到“直”的轉(zhuǎn)變，最終解決問(wèn)題。

三、與直徑有關(guān)的最值問(wèn)題

在以上幾個(gè)例題，都是在直線平面圖形中討論最值問(wèn)題，而在曲線平面圖形中同樣存在最值問(wèn)題。圓是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容、最值問(wèn)題的求解是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)所在，圓的知識(shí)與最值問(wèn)題結(jié)合產(chǎn)生的與圓相關(guān)的最值問(wèn)題具有抽象程度高、求解靈活性大的特點(diǎn)。圓中的最值問(wèn)題常與直徑有關(guān)，中考中通常借助以下知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題：（1）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦；（2）過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的弦中，與過(guò)該點(diǎn)的直徑垂直的弦最短；（3）弓形弧上的點(diǎn)到弦的距離中，最大距離是該弧的中點(diǎn)到弦的距離……

筆者選用2015年陜西的一道中考題來(lái)帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步討論這一類最值問(wèn)題：

例6（2015 陜西）如圖6，AB是⊙O的弦，AB=6，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=45°.若點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，則MN長(zhǎng)的最大值是 .

學(xué)生看到M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)后很容易想到MN為△ABC的中位線，所以MN=[12]AC，所以MN最大時(shí)，AC的長(zhǎng)也為最大，根據(jù)圓的性質(zhì)：圓中最大的弦為直徑，故AC經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)MN的長(zhǎng)度最大。

四、與二次函數(shù)有關(guān)的最值問(wèn)題

新一輪數(shù)學(xué)課程改革加強(qiáng)了數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用性，注意理論與實(shí)踐問(wèn)題的結(jié)合，把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，因此函數(shù)最值與實(shí)際生活的聯(lián)系就更緊密了。近幾年中考試題中有不少壓軸題是利用二次函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型，并利用頂點(diǎn)或是自變量的取值范圍等相關(guān)知識(shí)確定最值，實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何的結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

筆者將2015年福州的一道中考題作為例題，引導(dǎo)學(xué)生探究這一類問(wèn)題的最值問(wèn)題：

例7（2015 福州）如圖7，拋物線y=x2-4x與x軸交于O、A兩點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線y=x+m與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q.

（1）這條拋物線的對(duì)稱軸是 ，直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)是 ；

（2）若兩個(gè)三角形面積滿足S△POQ=[13]S△PAQ，求m的值；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C（2，2）的直線AC與直線PQ交于點(diǎn)D，求：①PD+DQ的最大值；②PD·DQ的最大值。

學(xué)生很容易求出對(duì)稱軸是x=2，PQ與x軸所夾銳角為45°；大部分學(xué)生能夠求出m=-1。筆者鼓勵(lì)學(xué)生思考并解決第（3）問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生畫圖，通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題：①過(guò)點(diǎn)C作CH∥x軸交直線PQ于點(diǎn)H，如圖7.1，可得△CHQ是等腰三角形，∵∠CDQ=∠DQA+∠DAQ=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD+DQ=PH，過(guò)P點(diǎn)作PM⊥CH于點(diǎn)M，則△PMH為等腰直角三角形，∴PH=[2]PM，∴當(dāng)PM最大時(shí)，PH最大，∴當(dāng)點(diǎn)P在拋物線頂點(diǎn)處時(shí)，PM最大，此時(shí)PM=6，∴PH的最大值為6[2]，即PD+DQ的最大值為6[2].②由①可知：PD+DQ≤6[2]，設(shè)PD=a，則DQ≤6[2]-a，∴PD·DQ≤a（6[2]-a）=-a2+6[2]a=-（a-3[2]）2+18，∵當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，a=3[2]，∴PD·DQ≤18.∴PD·DQ的最大值為18.

通過(guò)對(duì)上述幾個(gè)中考例題的剖析，筆者發(fā)現(xiàn)在幾何中的最值問(wèn)題形式多樣，大致可以分為兩類：一類是直接應(yīng)用幾何知識(shí)來(lái)解決，一類是利用代數(shù)知識(shí)間接解決，無(wú)論是哪一類，在解題時(shí)都需要運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法，有時(shí)也需要突破對(duì)固有問(wèn)題的思維模式，對(duì)模型疊加綜合，重組創(chuàng)新，這樣才能得心應(yīng)手地解決各種平面圖形的最值問(wèn)題。

（責(zé)編 劉小瑗）