例談數(shù)學(xué)解題中的知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)與智慧點(diǎn)

●陳朝陽 (余杭區(qū)教育局教研室，浙江 杭州 311100)

例談數(shù)學(xué)解題中的知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)與智慧點(diǎn)

●陳朝陽
(余杭區(qū)教育局教研室，浙江 杭州 311100)

文章以數(shù)學(xué)問題求解的障礙點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，解讀數(shù)學(xué)解題中的三大關(guān)鍵點(diǎn)：充分挖掘題設(shè)信息的知識(shí)點(diǎn)、培育數(shù)學(xué)解題思維鏈中的能力點(diǎn)、積累數(shù)學(xué)思維過程中的智慧點(diǎn)．以豐富的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐案例和2016年高考數(shù)學(xué)試題求解思維鏈帶給我們更多的聯(lián)想與思考，為深化解題教學(xué)提供一種新的思路，為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供一個(gè)新的藍(lán)圖．

知識(shí)點(diǎn);能力點(diǎn);智慧點(diǎn);信息挖掘;思維鏈

數(shù)學(xué)解題過程中常常遇到的障礙點(diǎn)是來自于學(xué)生對(duì)題設(shè)條件的知識(shí)點(diǎn)挖掘不夠，解題思維鏈中的能力點(diǎn)不到位，多條求解思路時(shí)積累的智慧點(diǎn)不鏈接．為此我們通過編制數(shù)學(xué)解題思維鏈的方式來解讀這一現(xiàn)象，以期破解教學(xué)難點(diǎn)．

1 挖掘題設(shè)信息的知識(shí)點(diǎn)

任何一道數(shù)學(xué)問題，必有題設(shè)前提條件，對(duì)題設(shè)條件挖掘是否達(dá)到充分(至少不遺漏)，是否會(huì)運(yùn)用多種手段來挖掘，以及是否具備挖掘的“物質(zhì)基礎(chǔ)”成為首要問題．

1．1 充分性

題設(shè)條件中，給定的信息量較少時(shí)，特別要對(duì)其進(jìn)行充分挖掘，通過觀察結(jié)構(gòu)、知識(shí)聯(lián)想、多角度思考使隱藏的信息呈現(xiàn)出來．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題第1)小題)

1)有絕對(duì)值結(jié)構(gòu)，對(duì)它的挖掘就是絕對(duì)值三角不等式“|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|”；

圖1

此題的其他知識(shí)點(diǎn)都是學(xué)生比較熟悉的，題設(shè)條件中信息量非常少，只要對(duì)其結(jié)構(gòu)深入挖掘，把相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)都挖掘出來(如圖1)，題目的結(jié)構(gòu)與方法就出來了，障礙也可突破了.

1．2 多樣性

任何一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，信息挖掘方式要呈現(xiàn)多樣化，既可用代數(shù)方法，也可用幾何方法，甚至用實(shí)驗(yàn)方法等．

例2 已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+2)x+a2，g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8，設(shè)H1(x)=max{f(x)，g(x)}，H2(x)=min{f(x)，g(x)}(其中max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值)，設(shè)H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，求A-B．

分析 ①經(jīng)配方或公式法得對(duì)稱軸方程，獲得二次函數(shù)f(x)的幾何特征；

②經(jīng)配方或公式法得對(duì)稱軸方程，獲得二次函數(shù)g(x)的幾何特征；

④在同一個(gè)直角坐標(biāo)系上繪制兩個(gè)函數(shù)圖像；

⑤觀察兩個(gè)函數(shù)圖像，發(fā)現(xiàn)“兩個(gè)二次函數(shù)圖像的交點(diǎn)恰好是頂點(diǎn)”的重要特征；

⑥根據(jù)最大值、最小值函數(shù)的概念，分解確定H1(x)，H2(x)；

⑦計(jì)算H1(x)的最小值;

⑧計(jì)算H2(x)的最大值;

⑨計(jì)算A-B．

此例最顯著的特征是“圖”(如圖2)，對(duì)給定二次函數(shù)圖像的深入挖掘，所有的信息都可以在圖形中展示，所有的代數(shù)表達(dá)都在解釋圖中的信息，雖然這是含參的二次函數(shù)，一旦發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)的交匯點(diǎn)正是兩函數(shù)的頂點(diǎn)時(shí)，你必定會(huì)激動(dòng)與興奮，以最快的方式觸及到問題的本質(zhì)！

圖2

1．3 基礎(chǔ)性

信息挖掘必須有“物質(zhì)基礎(chǔ)”——數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)(概念、定義、圖像等)、基本方法(各基礎(chǔ)知識(shí)模塊中的基本方法，如數(shù)列中的遞推法)、基本思想(數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等)以及信息挖掘的如何，可以通過羅列知識(shí)卡(圖)的形式進(jìn)行．

( )

A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1

C．m1 D．m

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

圖3

分析 將解題中遇到的數(shù)學(xué)概念、公式羅列在一張圖上，即將思維過程、解題過程中的數(shù)學(xué)內(nèi)容展示在一張圖上(如圖3).

這是一個(gè)選擇題，題中知識(shí)點(diǎn)也有如此之多，如果不能一一想到(或遇到知識(shí)點(diǎn)障礙)，就不可能把問題的知識(shí)點(diǎn)鏈接起來，難以找到問題的答案．

2 培育思維鏈中的能力點(diǎn)

2．1 判斷力

2．2 聯(lián)想力

2．3 運(yùn)算力

正確把握運(yùn)算方向、運(yùn)算規(guī)則的能力，特別是代數(shù)式變形與方程求解能力．高考數(shù)學(xué)在運(yùn)算速度、準(zhǔn)確率、精細(xì)度方面的要求是必須的，進(jìn)一步學(xué)習(xí)離不開它．

1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a,k表示)；

2)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題理科第19題)

此例最大的障礙點(diǎn)在于運(yùn)算(如圖4)，即⑦中代數(shù)式的變形，許多考生在此被“卡”住，高考數(shù)學(xué)命題專家就要在此檢驗(yàn)?zāi)愕倪\(yùn)算能力，此處正是目前高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的軟肋.事實(shí)上，只要按照數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本常規(guī)“有公因子，先約分，簡(jiǎn)化后續(xù)運(yùn)算；遇到無理式，平方化無理為有理；遇到分式，化為整式；面對(duì)繁雜整式，先觀察有無同類項(xiàng)，有哪些同類項(xiàng)可合并”等進(jìn)行，都是可以越過障礙，達(dá)到成功的彼岸！

圖4

3 積累思維過程的智慧點(diǎn)

3．1 敏銳性

在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與運(yùn)算過程中，在信息挖掘過程中，每一信息可能引伸出多個(gè)不同的新思路或新結(jié)果，能在較短時(shí)間內(nèi)抓住問題本質(zhì)，顯示數(shù)學(xué)素養(yǎng)，如數(shù)感，結(jié)構(gòu)感等．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第12題)

快解思路 如圖5所示.

圖5慢解思路1 如圖6所示.

慢解思路2 如圖7所示.

圖7

此例為高考數(shù)學(xué)的小題，小題不能大做，但是許多學(xué)生缺乏數(shù)感，只會(huì)“死做”——解答題求解法．下面給出數(shù)的敏感性的測(cè)試：

變式1 已知a>1，b>1，若loga2b+logb2a=4,a2b=b2a，則a=______，b=______.

變式2A={(x，y)|y=x2，x≥0}，B={(x，y)|y=2x}，A∩B=______.

變式1學(xué)生用解答題的方法未必能做下去.變式2在數(shù)學(xué)水平測(cè)試中，許多學(xué)生至多寫出“{(2，4)}”.

3．2 整體性

任何一個(gè)綜合性問題，都是一個(gè)復(fù)雜的符號(hào)系統(tǒng)，視復(fù)雜結(jié)構(gòu)中某一部分為一個(gè)整體，簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)與運(yùn)算，也是數(shù)學(xué)解題的智慧點(diǎn)之一．

圖8

3．3 簡(jiǎn)捷性

圖9

例7 如圖9，設(shè)拋物線y2=2px(其中p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|-1.

1)求p的值；

2)若直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B與x軸平行的直線和過點(diǎn)F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N，AN與x軸交于點(diǎn)M，求M的橫坐標(biāo)的取值范圍．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第19題)

圖10

此案例中點(diǎn)A的設(shè)計(jì)(如圖10)，隨后直線AF的設(shè)計(jì)，為后面的計(jì)算帶來了極大的方便，這不僅是命題專家的精心設(shè)計(jì)，也是檢驗(yàn)應(yīng)試者數(shù)學(xué)智慧的試金石．

在某一個(gè)綜合問題求解過程中，由題設(shè)信息引發(fā)的知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)與智慧點(diǎn)之間是相互依存的，借助于思維導(dǎo)圖可以檢測(cè)或識(shí)別或訓(xùn)練思維者，更加清晰地了解問題的本質(zhì)，把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方向．

2017-06-18

陳朝陽(1958-)男，漢族，浙江余杭人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)09-09-04