“有心力”及其做功特點(diǎn)的簡(jiǎn)介

馬劍

1有心力

質(zhì)點(diǎn)受力通常與質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和時(shí)間有關(guān)。如果一確定的質(zhì)點(diǎn)所受的力僅與質(zhì)點(diǎn)位置有關(guān)，即：

F=F（r）

則稱作場(chǎng)力，存在場(chǎng)力的空間稱為力場(chǎng)。如圖1所示，一點(diǎn)電荷受到另一固定電荷的靜電力僅取決于該電荷相對(duì)于固定電荷的距離和方位，靜電力為場(chǎng)力；將彈簧一端固定，另一端與質(zhì)點(diǎn)相連，質(zhì)點(diǎn)所受之力僅與彈簧受壓情況相關(guān)，亦為場(chǎng)力。以上兩種情況中，質(zhì)點(diǎn)受力作用線總是通過(guò)某一固定點(diǎn)，則將該場(chǎng)力稱為有心力。

圖1力場(chǎng)圖1（a）為正點(diǎn)電荷周圍引入另一正點(diǎn)電荷受到的場(chǎng)力。圖1（b）為彈簧固定于O點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)A受到彈性場(chǎng)力；黑點(diǎn)處表示彈簧自由伸展，彈性力為零。

高中物理知識(shí)體系中，除靜電力外萬(wàn)有引力也是有心力，其大小是距離的單值函數(shù)。在課堂教學(xué)的過(guò)程中，也會(huì)時(shí)常遇到有心力做功的問(wèn)題。例如：①（只考慮中心天體的萬(wàn)有引力作用）按橢圓軌道運(yùn)行的行星機(jī)械能守恒問(wèn)題；②庫(kù)倫力做功時(shí)的電勢(shì)能改變問(wèn)題。

2有心力做功的理論推導(dǎo)

鑒于教師的長(zhǎng)足發(fā)展，很有必要去弄清楚有心力做功的過(guò)程。不難證明，所有有心力場(chǎng)所做的功都與路徑無(wú)關(guān)。在此作如下證明。

圖2有心力做功如圖2所示，設(shè)想把質(zhì)點(diǎn)沿任意路徑L從點(diǎn)P搬運(yùn)到點(diǎn)Q，計(jì)算有心力F所做的功。由于有心力的大小和方向沿路徑L逐點(diǎn)變化，在此將L分割成許多小線元。考慮其中任一線元dl，在其上的元功為：

dW=F·dl=Fcosθdl

沿著整個(gè)路徑L從P到Q的總功為：

WPQ=∫QPF（r）cosθdl

考慮路徑L上任一線元dl，令其起點(diǎn)和終點(diǎn)分別為K和M。從力心O作直線過(guò)P和K。以O(shè)為圓心過(guò)K、M、Q諸點(diǎn)作圓弧，交OP或其延長(zhǎng)線于K′、M′、Q′，過(guò)M的圓弧交OK或其延線于N。以萬(wàn)有引力為例，在K點(diǎn)萬(wàn)有引力F的方向平行于KO。故上式中θ=∠NKM，cosθdl=KMcosθ=KN=K′M′=dr（由于dl較短可認(rèn)為MN⊥KN），即移動(dòng)線元dl時(shí)半徑r增加。

WPQ=-∫rQrPGmm′r2dr=Gmm′（1rQ-1rP）

此式只與兩端點(diǎn)到力心的距離rP和rQ有關(guān)，與路徑L無(wú)關(guān)。

圖3行星運(yùn)動(dòng)當(dāng)行星按橢圓軌道從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中（只考慮中心天體的萬(wàn)有引力作用），如圖3所示。根據(jù)動(dòng)能定理可得：

12mv2B-12mv2A=WAB=Gmm′（1rB-1rA）

12mv2B+-Gmm′rB=-Gmm′rA+12mv2A

只考慮中心天體的萬(wàn)有引力作用，繞橢圓軌道運(yùn)行的行星機(jī)械能守恒得證。endprint