“比的定義”的解讀、思考與啟示

呂強

【摘要】本文從審慎研讀、多向?qū)Ρ龋鞔_外延、精準釋疑和拓展概念、消除歧義三方面論述“比”的概念，指出了生活中常用的“比”只歸屬第一種外延，即同量數(shù)求比的情況。

【關(guān)鍵詞】比的定義 解讀與思考 生活經(jīng)驗 對比 反思

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）07A-0070-01

在生活體驗中，“比是同一種數(shù)集的算術(shù)劃分”的觀念深入人心，這與數(shù)學(xué)上對“比”的定義有出入。在感知經(jīng)驗和認知觀念相悖的情形下，教師對教材的解讀以及針對教材內(nèi)容拓展的教學(xué)實踐普遍感到困惑。筆者也發(fā)現(xiàn)部分老師對“比的定義”有些偏頗：路程和時間的比不是同類量求比，那么算數(shù)學(xué)范疇內(nèi)的一個“比”嗎？若是，比的定義里并沒有“單位”這個定義項，路程/時間的單位是km/h或者m/s。比值的大小是唯一的，但是卻可以因為采用的單位不同而用不同的數(shù)值表示（如1km/h=m/s，1m/s=3.6km/h）；競技對抗比賽的比分是一個數(shù)學(xué)比嗎？若是，那么比的后項可以為0，顯然違背了除數(shù)不能是0的公理；不同類量求比，能否賦予數(shù)學(xué)意義和價值？這些圍繞“比的定義”產(chǎn)生的疑慮，值得教師鉆研和反思。

一、審慎研讀，多向?qū)Ρ?/p>

1.教材對比——不同版本教材對比定義的異同對比。人教版是“兩數(shù)相除又叫做兩數(shù)的比”；蘇教版是“兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除”；而北師大版定義為“兩數(shù)相除，又叫做兩個數(shù)的比”。比較這三種版本的教材，我們不難發(fā)現(xiàn)，“兩數(shù)相除”是內(nèi)涵精義。其外延囊括了同類量求比和不同類量求比兩種情況。

2.論述對比——數(shù)學(xué)論述上，到底怎樣定義“比”呢？一些數(shù)學(xué)權(quán)威專著對比的定義大同小異，除了個別語詞有細微差別，結(jié)構(gòu)含義基本相同。追根溯源，“比”早期只有狹義定義即是同量數(shù)之比，表示若干個同量數(shù)之間的相除關(guān)系。隨著歷史演進和比的語義的不斷豐富，慢慢出現(xiàn)了不同類量的比的情況。綜合兩種情況，比才有了相對廣義的定義：“兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。”由此可見，非同類量的兩個數(shù)相除，也能構(gòu)成比。有的文獻明確指出：“比是兩個數(shù)量的對應(yīng)關(guān)系的聯(lián)合直觀反映，根據(jù)情境的不同，對應(yīng)關(guān)系主要有四類：一是組合關(guān)系，兩個量按一定倍數(shù)關(guān)系組合成有機整體，如1個茶壺和3個茶杯組成一套茶具；二是從屬關(guān)系，一個量屬于另一個量，如30個患者中有5個患的是禽流感；三是兌換關(guān)系，兩個量按一定價值比進行等價兌換，比如匯率；四是濃度關(guān)系，根據(jù)概念定義項的認知度要高于被定義項的規(guī)則，用兩個已熟知的不同類的具體量的倍數(shù)關(guān)系來反映和描述同一種物體的另一個抽象量?！?/p>

3.跨域?qū)Ρ取谧匀粚W(xué)科中，還有類似于密度、壓強等概念。把物質(zhì)的質(zhì)量和其體積的比值定義為密度，用力與面積的比值定義為壓強，這些都是不同類量相除的形式。

二、明確外延，精準釋疑

綜上所述，可以明確數(shù)學(xué)中“比的定義”的外延應(yīng)包括兩個子集，即同類量和不同類量的兩數(shù)相除的形式。也就是說，路程和時間的比確鑿無疑是一個“比”，那么如何解釋單位名稱和值不唯一呢？我們可以這樣理解：路程除以時間的商有單位，這個單位是由前兩個量的單位共同作用決定產(chǎn)生的，這與“比值”沒有關(guān)系；路程單位的多樣化與時間單位的多樣化直接導(dǎo)致速度單位的多樣化。如：1km∶1h=1km/h=m/s，1m∶1s=1m/s=3.6km/h。如果考究其意義，那么嚴格來說速度是一個數(shù)值比與單位比的組合體，即1∶1=1；km∶h=km/h，組合起來為1km/h。這種組合體與另一種組合體兌換時，也有一定的“比例”，即1km/h=m/s，1m/s=3.6km/h。數(shù)學(xué)和生活密切相關(guān)，但是數(shù)學(xué)的嚴謹與生活的形象并非一一照應(yīng)，數(shù)學(xué)概念的表述必須符合嚴肅性、學(xué)術(shù)性，生活經(jīng)驗的表述更多趨向于感性形象，應(yīng)該嚴格加以區(qū)分。把球賽比分4∶0看成數(shù)學(xué)比，是將生活表達和學(xué)術(shù)表達混為一談，但從“兩數(shù)相除叫做兩個數(shù)的比”這個概念出發(fā)，4÷0毫無意義。因此，4∶0不是數(shù)學(xué)比，僅僅是比分書寫的一種形式，它的意義更多地在于表現(xiàn)“差值”而不是“商值”。

三、拓展概念，消除歧義

數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的許多概念與生活表述不完全一致，教師該如何正確看待這個特殊現(xiàn)象呢？數(shù)學(xué)概念的定義是以多種生活經(jīng)驗為感性材料，抽象概括而成的，具有普遍意義。

例如，“角”的數(shù)學(xué)定義是：“有共同端點的兩條射線組成的圖形叫角?！苯堑亩葦?shù)可以大于360°，也可以小于0°。這與人們“角的度數(shù)不大于180°也不能是負數(shù)”的經(jīng)驗感知不一致。這時教師不能否定和推翻教材中角的定義，而是要豐富和完善角的定義方式，在一個平面坐標軸中重新拓展角的概念外延。

總之，當生活感知和數(shù)學(xué)感知悖逆時，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加深對數(shù)學(xué)概念的理解，理性區(qū)別生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)概念。

（責(zé)編 林 劍）endprint