非標(biāo)準(zhǔn)有限差分的乙肝病毒擴(kuò)散模型的穩(wěn)定性分析與數(shù)值模擬

紀(jì)恩懷+蘇永美

【摘要】本文考慮到乙肝病毒在細(xì)胞之間的擴(kuò)散特性，提出了一個(gè)改進(jìn)的乙肝病毒擴(kuò)散模型，并將模型轉(zhuǎn)換為非標(biāo)準(zhǔn)有限差分的方程，求出了模型的平衡點(diǎn)，分析了該方程的全局穩(wěn)定特性.最后給出了數(shù)值模擬，模擬結(jié)果顯示了擴(kuò)散在病毒傳播中的作用.

【關(guān)鍵詞】乙肝病毒；擴(kuò)散；非標(biāo)準(zhǔn)有限差分法；全局穩(wěn)定性

乙型肝炎（Hepatitis B）是一種肝細(xì)胞遭到病毒感染后導(dǎo)致的肝臟疾病，是目前危害人類健康的重要傳染病之一，呈世界性分布，流行面廣，在處置不恰當(dāng)時(shí)可能會(huì)導(dǎo)致肝癌等多種疾病的發(fā)生[1，2].近年來，關(guān)于病毒感染的數(shù)學(xué)模型的研究越來越得到重視.一方面，關(guān)于病毒動(dòng)力學(xué)的分析可以指導(dǎo)設(shè)計(jì)更有效的治療方案以控制感染[3].另一方面，對(duì)數(shù)學(xué)模型的模擬結(jié)果也可以為病毒感染過程中出現(xiàn)的現(xiàn)象提供合理的解釋.

1996年Nowak等[4]提出了宿主體內(nèi)病毒感染基本模型.它被廣泛用于研究病毒（如，HBV、HCV和HIV等）感染動(dòng)力學(xué).該模型的形式為

基于模型（1）和模型（2），許多動(dòng)力學(xué)模型被建立起來用以描述乙肝病毒在人體中的感染過程.但這些模型大多將肝臟作為一個(gè)整體，只考慮到感染細(xì)胞、未感染細(xì)胞與病毒數(shù)的變化，未考慮到肝臟的空間特性，其實(shí)肝細(xì)胞之間也會(huì)相互擴(kuò)散感染從而造成病毒感染情況的變化.

Hattaf在此之上建立了考慮發(fā)病率、免疫延遲的擴(kuò)散綜合模型：

但模型中只考慮了病毒的擴(kuò)散，沒有考慮到未感染細(xì)胞和感染細(xì)胞的擴(kuò)散.

這些數(shù)據(jù)的變化也不是連續(xù)的，所以要更準(zhǔn)確地描述HBV病毒的發(fā)病機(jī)理和免疫學(xué)原理，基于臨床治療數(shù)據(jù)，建立描述感染后HBV病毒、CD4+T細(xì)胞、免疫應(yīng)答和藥物治療相互作用的動(dòng)力學(xué)模型，離散的模型應(yīng)該更符合實(shí)際.將已有的連續(xù)模型采用歐拉向前或向后差分的方法離散化也是一種建立離散模型的方法.

一、穩(wěn)定性分析

二、結(jié) 論

本文引進(jìn)了乙肝病毒感染過程中病毒與感染細(xì)胞擴(kuò)散的模型，未病平衡點(diǎn)與已病平衡點(diǎn)在存在擴(kuò)散的狀態(tài)下依然可以保持全局漸進(jìn)穩(wěn)定的特性，通過非標(biāo)準(zhǔn)差分法可以數(shù)值模擬其擴(kuò)散變化.通過觀察擴(kuò)散狀況數(shù)值模擬，可以看到已病平衡點(diǎn)終將在感染細(xì)胞、未感染細(xì)胞與自由病毒的擴(kuò)散與相互作用下達(dá)到感染范圍內(nèi)的平衡狀態(tài).

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