《烙餅問題》教學(xué)設(shè)計(jì)

趙世龍

[教學(xué)目標(biāo)]

（1）結(jié)合“烙餅”這一事例，在探索多種“烙餅”方案的過程中，經(jīng)歷創(chuàng)造多樣化解決問題方案的統(tǒng)籌過程和選擇最優(yōu)方案的優(yōu)化過程，掌握統(tǒng)籌與優(yōu)化的基本步驟和方法，理解統(tǒng)籌與優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想。

（2）在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，經(jīng)歷觀察、比較、分析、猜想、推理、實(shí)驗(yàn)、操作等探究思維過程，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，發(fā)展抽象思維能力，積累推理活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（3）能夠運(yùn)用統(tǒng)籌與優(yōu)化的思想方法解決實(shí)際問題，體會(huì)優(yōu)化思想應(yīng)用的廣泛性，感受數(shù)學(xué)的魅力，提高解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

[學(xué)情分析]

在學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)中，潛在著將幾件事情同時(shí)做可以節(jié)約時(shí)間基本觀念，這為類推出兩張餅同時(shí)烙（鍋里的餅位充分利用，不出現(xiàn)空余餅位）可以節(jié)省時(shí)間提供了最有效的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)。但在具體的教學(xué)活動(dòng)中，還應(yīng)注意讓學(xué)生在充分經(jīng)歷優(yōu)化烙餅方法的實(shí)踐活動(dòng)的基礎(chǔ)上，及時(shí)點(diǎn)撥指導(dǎo)，幫助學(xué)生抽象出統(tǒng)籌與優(yōu)化的基本思想。另外搭配的知識(shí)是探索三張餅省時(shí)烙法（搭配法）的基礎(chǔ)，但是這方面的知識(shí)由于學(xué)習(xí)時(shí)間過長(zhǎng)，學(xué)生早已生疏，這給探索三張餅的省時(shí)烙法制造了障礙。特別是由三張餅的常規(guī)搭配（兩張餅搭配烙兩次，第三張餅沒有搭配對(duì)象單獨(dú)烙兩次）烙法，轉(zhuǎn)換為每?jī)蓮堬炏嗷ゴ钆淅右淮危?個(gè)面，每?jī)蓚€(gè)面搭配一次共烙3次）的非常規(guī)烙法，學(xué)生需要克服很大的思維定勢(shì)，因此三張餅的搭配烙法是這節(jié)課的難點(diǎn)。為了打破這一思維定勢(shì)，可以依據(jù)中年級(jí)學(xué)生抽象思維還處在具體形象階段的特點(diǎn)，借助動(dòng)手實(shí)踐、聯(lián)系生活、多媒體展示等直觀手段幫學(xué)生建立清晰的搭配表象，繼而組織學(xué)生進(jìn)行歸納推理、類比猜想等推理，探索并理解三張餅的搭配烙法，從而進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力。中年級(jí)學(xué)生具有很強(qiáng)的好勝心理，對(duì)科學(xué)家心懷向往，這為調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神提供了難得的契機(jī)，因此設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性問題、展示科學(xué)家的畫像和工作場(chǎng)景，開展創(chuàng)新實(shí)踐使該目標(biāo)得到落實(shí)。

[重點(diǎn)難點(diǎn)]

教學(xué)重點(diǎn)：探索烙餅的最短時(shí)間與餅的總面數(shù)、每次烙的面數(shù)、烙一次用的時(shí)間四者之間的關(guān)系，能夠利用這一規(guī)律解決與烙餅有關(guān)的實(shí)際問題，從中學(xué)會(huì)具體問題具體分析。體驗(yàn)統(tǒng)籌與優(yōu)化的思想，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生努力做到學(xué)以致用，大膽探索，勇于創(chuàng)新。

教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用搭配的知識(shí)探索和發(fā)現(xiàn)烙三張餅的省時(shí)烙法，并體會(huì)解決問題過程中提出假設(shè)和驗(yàn)證假設(shè)的數(shù)學(xué)過程，積累推理經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的挑戰(zhàn)性，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

[教學(xué)過程]

一、談話導(dǎo)入，激發(fā)興趣

同學(xué)們喜歡吃烙餅嗎？見過媽媽烙餅嗎？誰愿意到前面模仿一下媽媽是怎樣烙餅的？

烙餅得有鍋，沒鍋呀！老師畫一個(gè)“鍋”。沒有餅呀！老師把準(zhǔn)備好的圓片展示給學(xué)生，就用這個(gè)當(dāng)作餅！

學(xué)生模仿。

教師鼓勵(lì)學(xué)生說：“模仿的真像，看來你是一個(gè)細(xì)心的孩子”。為了便于描述，我們把先烙的那面叫作餅的正面，后烙的那面叫作餅的反面，好不好？（好）

同學(xué)們可能想不到，烙餅問題中還包含著重要的數(shù)學(xué)學(xué)問？這節(jié)課我們就來研究《烙餅問題》。打開幻燈片出示課題，并板書課題——《烙餅問題》。這是數(shù)學(xué)廣角的學(xué)習(xí)內(nèi)容，大家都知道數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容有趣味，但也有一定的難度，你們敢于挑戰(zhàn)嗎？（敢于挑戰(zhàn)）為了上好這節(jié)課，老師提出四個(gè)要求：“認(rèn)真傾聽、敢于發(fā)言、善于思考、與眾不同。”能做到嗎？（能做到）

二、解讀信息，明確烙餅原則

1.出示問題

用課件出示主題圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察和思考“每次只能烙兩張餅，兩面都要烙，每面要烙3分鐘”這三條關(guān)鍵信息。

2.教師追問，深入解讀信息

要求是“每次只能烙兩張”，每次烙一張行不行，每次烙三張呢？（幫助學(xué)生明確每次可以烙一張，至多烙兩張，因?yàn)殄仜]有那么大）

要求“兩面都要烙”，烙一面行不行？（幫助學(xué)生明確，只有兩面都烙好餅才能熟）

要求“每面要烙3分鐘”，烙1分鐘或者4分鐘行不行？（幫助學(xué)生明確烙3分鐘剛剛熟好，營(yíng)養(yǎng)又可口。時(shí)間短了烙不熟，時(shí)間長(zhǎng)了烙硬了或者烙糊了）

3.歸納強(qiáng)調(diào)信息加深印象

看來烙餅是有條件的，這三條是我們烙餅時(shí)必須遵循的原則。一起讀一下：“每次只能烙兩張，兩面都要烙，每面要烙3分鐘?！?/p>

三、觀察操作，探索三張餅的最優(yōu)烙法

1.出示問題，初步探究

（1）教師點(diǎn)擊屏幕出示問題：爸爸、媽媽和我每人一張餅，怎樣烙才能吃上餅？

（2）談話：看來要烙幾張餅？（3張）盡快吃上餅是什么意思？（烙餅所用的時(shí)間越少越好）

（3）提問：可以怎樣烙？

（4）學(xué)生醞釀并思考烙法。

2.操作匯報(bào)，剖析方法

（1）發(fā)放學(xué)具，用圓片代替餅親自嘗試?yán)右焕印?/p>

（2）請(qǐng)學(xué)生匯報(bào)烙法：先把兩張一起烙，兩張餅的正面烙一次，用時(shí)3分鐘；反面烙一次，用時(shí)3分鐘；再烙第三張餅的正面，烙一次，用時(shí)3分鐘；反面烙一次，用時(shí)3分鐘?？偣怖恿?次，總計(jì)用時(shí)12分鐘。請(qǐng)學(xué)生到前面用圓片代替餅擺一擺，教師將關(guān)鍵數(shù)據(jù)寫在黑板上。

（3）板書講述，呈現(xiàn)數(shù)據(jù)。我們所介紹的烙法中包含著重要的數(shù)學(xué)信息，我們一起歸納并寫在黑板上。一共要烙幾張餅？板書“3張”，我們把它叫作餅數(shù)，在3張的上面板書“餅數(shù)”。烙的方法概括寫成：“2張同時(shí)烙+1張單獨(dú)烙”，我們把它叫作烙法，板書“烙法”。烙了幾次？板書“次數(shù)”，在次數(shù)的下面寫上“4”?？偣灿昧硕嚅L(zhǎng)時(shí)間？板書“所用時(shí)間（分鐘）”，列式“3×4=12”。

提問：烙3張餅時(shí)包含幾種烙法？老師把烙2張餅的數(shù)據(jù)和烙1張餅的數(shù)據(jù)寫在3張餅的上面好不好。（說明：2張餅的烙法和1張餅的烙法是所有烙法的基礎(chǔ)，將其寫在上面，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步明確其烙法，有利于學(xué)生在后面的環(huán)節(jié)中運(yùn)用這些方法進(jìn)行推理。）仿照板書烙3張餅的方法，板書一張餅烙法：“餅數(shù)1、單獨(dú)烙、烙2次、用時(shí)2×3=6”。同樣板書2張餅的烙法：“餅數(shù)2、2張同時(shí)烙、烙4次、用時(shí)2×3=6”。

3.引導(dǎo)觀察，啟發(fā)質(zhì)疑

（1）提問：觀察板書中烙1張餅的數(shù)據(jù)和烙2張餅的數(shù)據(jù)你發(fā)現(xiàn)了什么？（時(shí)間都是6分鐘）追問：你有什么疑問？

（2）交流后歸納：烙一張餅時(shí)鍋里留下了空位，所以烙一張餅的用時(shí)和烙兩張餅的用時(shí)一樣，原因是兩張餅同時(shí)烙充分利用鍋中的餅位，可以節(jié)省烙餅的時(shí)間。提問：我們烙3張餅會(huì)不會(huì)選擇一張一張地烙？明確不同的烙法所用時(shí)間有所不同。教師講述：我們把鍋所能提供給我們的餅位叫作鍋所能提供的資源，這里的“2”叫作“資源數(shù)2”。提問：如果能提供3個(gè)餅位，它的資源數(shù)是幾？（資源數(shù)是3）（說明：通過探討使學(xué)生明確烙1張餅時(shí)，鍋里面空著一個(gè)餅位，所以浪費(fèi)了時(shí)間。歸納出充分利用鍋里面的餅位可以節(jié)省時(shí)間，提高烙餅的效率。）

4.引導(dǎo)推理，創(chuàng)設(shè)沖突

（1）談話并提問：我們仔細(xì)研究一下烙兩張餅所用的時(shí)間，兩張同時(shí)烙，烙了2次，用時(shí)6分鐘，用數(shù)學(xué)的方法推算一下烙一張餅需要多長(zhǎng)時(shí)間？（烙一張餅用時(shí)3分鐘）

（2）質(zhì)疑：“3分鐘真的能烙好一張餅嗎？”使學(xué)生明確3分鐘兩張餅都烙好了一個(gè)面，不是烙好了一張餅，而是相當(dāng)于一張餅。也就是說，烙一次，烙兩個(gè)面，用時(shí)3分鐘，相當(dāng)于烙好了一張餅；烙兩次，烙了4個(gè)面，就是烙好兩張餅，用時(shí)6分鐘。

（3）追問：3分鐘烙1張餅，6分鐘烙2張餅，那么烙3張餅需要多長(zhǎng)時(shí)間？（9分鐘）

（4）再次追問：為什么9分鐘能烙好3張餅，說說你的理由？（烙3次能烙好6個(gè)面，也就是烙好3張餅，總計(jì)用時(shí)9分鐘。）

（5）鼓勵(lì)：和上面的12分鐘烙3張餅的方法比較，9分鐘更節(jié)省時(shí)間，能夠讓全家人盡快吃上餅，這是我們推理后產(chǎn)生的與眾不同的想法，這種嚴(yán)密思考，大膽猜想的精神值得表揚(yáng)。

5.動(dòng)手操作，驗(yàn)證猜想

（1）提問激勵(lì)。那么我們能不能實(shí)際烙一烙，看9分鐘能不能烙好3張餅，把我們這個(gè)與眾不同的猜想變成現(xiàn)實(shí)呢？這就是我們這節(jié)課要面對(duì)的重大挑戰(zhàn)。操作無果后，教師引導(dǎo)：我們把任何兩張餅搭配一起烙，第三張餅都會(huì)單獨(dú)烙，第三張餅沒有自己的伙伴了。1號(hào)餅和2號(hào)餅搭配烙了幾次，能不能從這里進(jìn)行一下改進(jìn)，看能不能研究出一個(gè)辦法？

（2）學(xué)生二次操作，探索3張餅的省時(shí)烙法。

（3）嘗試無果，剖析原因。無論哪兩張餅一起烙，剩下的一張餅都要單獨(dú)烙，在烙一張餅時(shí)鍋里出現(xiàn)空余餅位，造成時(shí)間浪費(fèi)，看來9分鐘是烙不成了。

（3）再次激勵(lì)，二次啟發(fā)。這么好的想法我們就放棄了嗎？不能，我們?cè)僮屑?xì)想一想：兩張餅在一起烙了幾次？（2次），我們能不能改良一下這個(gè)方法？你有什么新的猜想嗎？（改成搭配一次行不行，把搭配機(jī)會(huì)分給別的餅行嗎）

（4）三次探究烙法。（視學(xué)生探究的情況確定繼續(xù)引導(dǎo)的辦法）

6.組織游戲，啟發(fā)類比

（1）組織游戲：請(qǐng)三名同學(xué)到臺(tái)前來，并把三名同學(xué)編成1、2、3號(hào)。1號(hào)同學(xué)可以和2號(hào)同學(xué)做朋友嗎？你們拉上一只手。1號(hào)同學(xué)可不可以和3號(hào)同學(xué)做朋友呢？可以也拉上一只手。大家看他們的手是怎樣拉在一起的？（1號(hào)的右手拉住了2號(hào)的左手，1號(hào)的左手拉住了3號(hào)的右手）追問：我們還能繼續(xù)做嗎？怎樣做？（學(xué)生說：3號(hào)的左手拉住2號(hào)的右手，3號(hào)和2號(hào)做了朋友）

（2）追問啟思：這個(gè)游戲?qū)?分鐘烙好3張餅是否有所啟發(fā)呢？

7.再次探究，實(shí)現(xiàn)猜想

（1）學(xué)生操作，教師巡視。

（2）匯報(bào)烙法，說明理由：你是如何從游戲中獲得啟發(fā)的？（1號(hào)同學(xué)的右手和2號(hào)同學(xué)的左手拉在一起；1號(hào)餅和2號(hào)餅的正面在一起烙一次；1號(hào)同學(xué)左手和3號(hào)同學(xué)的右手拉在一起，1號(hào)餅的反面和3號(hào)餅的正面在一起烙一次；2號(hào)同學(xué)的右手和3號(hào)同學(xué)的左手拉在一起；2號(hào)餅的反面和3號(hào)餅的反面在一起烙一次。這樣烙了3次；用時(shí)9分鐘就將3張餅烙好。）

（3）對(duì)比剖析，切中本質(zhì)。1號(hào)餅和2號(hào)餅搭配了兩次，就沒有餅和3號(hào)搭配了，所以烙了4次，用時(shí)12分鐘，這種搭配是整張餅的搭配?，F(xiàn)在改為1號(hào)餅和2號(hào)餅、3號(hào)餅各搭配一次，2號(hào)餅和3號(hào)餅搭配一次，共搭配烙了三次，用時(shí)9分鐘，這種搭配是對(duì)餅的面進(jìn)行搭配，3張餅，六個(gè)面當(dāng)然可以搭配成三組，烙三次，9分鐘。

8.媒體演示，深化理解

教師用多媒體課件演示三張餅烙法、三個(gè)小朋友拉手游戲，研究它們的關(guān)系，深化學(xué)生對(duì)搭配烙法的理解。

9.命名烙法，概括提升

我們能為這種烙法起個(gè)恰當(dāng)?shù)拿謫?？探討后確定命名為“搭配烙”。我們找到了烙3張餅的省時(shí)烙法，為我們自己點(diǎn)贊！

四、類推比較，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.啟發(fā)談話

一張餅單獨(dú)烙，烙2次，用時(shí)6分鐘；2張餅同時(shí)烙，烙2次，用時(shí)6分鐘；3張餅搭配烙，烙3次，用時(shí)9分鐘。那么4張餅、5張餅、6張餅怎樣烙？學(xué)生說，教師完成板書。板書見表格：

2.引導(dǎo)觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

觀察表格，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（如果學(xué)生的發(fā)現(xiàn)不夠全面，教師可以啟發(fā)學(xué)生觀察：觀察表格的后兩列，烙餅所用時(shí)間和烙次有什么關(guān)系？觀察表格第一列和第三列，看看最節(jié)省時(shí)間的烙法中烙次與餅數(shù)有什么關(guān)系？觀察第二列與第一列看烙法有什么特點(diǎn)？比較6張餅的兩種烙法，你選擇哪一種？）

3.總結(jié)歸納規(guī)律

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，烙餅所用時(shí)間等于烙次乘以烙一次所用時(shí)間；節(jié)時(shí)烙法的烙次等于餅數(shù)；除了1張餅單獨(dú)烙外，單數(shù)餅都要用到搭配烙；雙數(shù)餅都是兩張兩張同時(shí)烙；6張餅選擇同時(shí)烙比搭配烙更方便。

4.補(bǔ)充板書，追問完善規(guī)律

請(qǐng)同學(xué)們快速說出烙9張、99張餅的烙次和所用時(shí)間，補(bǔ)充完善板書。追問，是不是烙餅的次數(shù)一定等于餅數(shù)？假如鍋再大一點(diǎn)，每次至多烙3張餅，那么烙3張餅還需要搭配烙3次嗎？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)烙次和餅數(shù)有關(guān)，還和每次至多烙的餅數(shù)有關(guān)，要學(xué)會(huì)具體問題具體分析。

五、歸納總結(jié)，提煉思想

1.引導(dǎo)談話，抽出統(tǒng)籌與優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想

在烙餅的方案設(shè)計(jì)上，我們尋找到了多種烙法，比如3張餅，可以一張一張烙，烙6次，用時(shí)18分鐘；可以兩張同時(shí)烙，一張單獨(dú)烙，烙4次，用時(shí)12分鐘；可以搭配烙，烙3次，用時(shí)9分鐘。當(dāng)然我們最后選擇用時(shí)最少最節(jié)約資源的搭配烙法。

2.講述思想，學(xué)以致用

這種尋找解決問題的多種方案，從中選擇最佳方案的過程和方法，在數(shù)學(xué)上叫作“統(tǒng)籌與優(yōu)化”，教師板書“統(tǒng)籌與優(yōu)化”，統(tǒng)籌與優(yōu)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想。介紹我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚，展示他的統(tǒng)籌與優(yōu)化的基本步驟：1.從整體考慮創(chuàng)造多種解決問題的方案；2.選擇最佳方案，節(jié)約資源和時(shí)間。講述華羅庚到工廠和田間地頭推廣他的統(tǒng)籌與優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想，大大提高了生產(chǎn)效率，為經(jīng)濟(jì)建設(shè)作出重大貢獻(xiàn)，人們把這個(gè)思想應(yīng)用于生活中，同樣提高了生活的效率和質(zhì)量。華爺爺?shù)氖论E啟發(fā)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要學(xué)以致用。

3.大膽追問，鼓勵(lì)創(chuàng)新

還是烙3張餅，如果不采用搭配烙法，能不能烙一次，用三分鐘就將餅烙好？當(dāng)學(xué)生說把3張餅夾在兩口鍋的中間烙時(shí)，教師鼓勵(lì)，這是一個(gè)大膽的猜想。請(qǐng)全體同學(xué)為他鼓掌，又一個(gè)“華羅庚”的粉絲誕生了，你是華羅庚統(tǒng)籌與優(yōu)化思想的踐行者。多媒體出示電餅鐺，并贊揚(yáng)說，這名同學(xué)的猜想已經(jīng)變成現(xiàn)實(shí)，指出技術(shù)革新可以提高工作效率，技術(shù)革新也是一種優(yōu)化。

六、及時(shí)測(cè)試，促進(jìn)應(yīng)用

1.出示問題，獨(dú)立解決

解決問題（選做一題）

第一題：一種電腦小游戲，玩1局要5分鐘，可以單人玩，也可以雙人玩。小東和爸爸、媽媽一起玩，每人玩兩局，至少需要多少分鐘？

第二題：三個(gè)人將一張辦公桌抬到7樓，怎樣分工合作更合理？

2.講評(píng)問題，進(jìn)行指導(dǎo)

七、課堂寄語，指導(dǎo)學(xué)法

用多媒體出示課堂寄語，學(xué)生誦讀：疑問永無止境！創(chuàng)造永無止境！讓我們開動(dòng)腦筋，去探索數(shù)學(xué)的奧秘吧！

八、課外拓展，實(shí)踐創(chuàng)新

[課后作業(yè)]

設(shè)疑：假如媽媽烙餅所用的鍋再大一點(diǎn)兒，每次最多能烙3張餅，情況還跟2張餅的一樣嗎？

附：用一個(gè)平底鍋烙餅，每次可以烙3張餅，兩面都要烙，每面要烙3分鐘。如果烙5張餅，至少需要多少分鐘？6張、7張呢？先獨(dú)立研究，再通過微信群進(jìn)行探討和交流。

（責(zé)任編輯∶李雪虹）