圓薄膜在均布荷載下大撓度變形的精確解

郭建軍 黃 薇

(重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系， 重慶 402160)

圓薄膜在均布荷載下大撓度變形的精確解

郭建軍 黃 薇

(重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系， 重慶 402160)

研究固定邊界條件下的圓薄膜在橫向均勻分布荷載作用下的大撓度變形。根據(jù)大撓度理論，建立了固定邊界條件下圓薄膜在橫向受到滿布均布荷載作用下大撓度變形的控制方程組，利用無量綱參數(shù)法對其進行簡化，結(jié)合合適的邊界條件求出其精確解析解。通過算例分析，與已有冪級數(shù)解比較，結(jié)果驗證了精確解的正確性。

圓薄膜； 大撓度； 均勻分布荷載； 精確理論解析解

建筑薄膜結(jié)構(gòu)是一種新型的建筑結(jié)構(gòu)形式，廣泛應(yīng)用于運動場、展覽中心、停車場等公共場所。近年來，隨著材料科學(xué)和建筑技術(shù)的不斷進步，建筑薄膜結(jié)構(gòu)的發(fā)展異常迅速。研究薄膜結(jié)構(gòu)力學(xué)理論有助于推進和完善建筑薄膜結(jié)構(gòu)的理論體系，使其成為一種大眾化的建筑結(jié)構(gòu)形式。然而薄膜方程組是非線性微分方程組，其求解過程比較困難[1-7]。目前，國內(nèi)外已有一些相關(guān)研究成果。馮卡門大撓度理論是求解薄膜大撓度變形的常用方法，該理論以大撓度和小轉(zhuǎn)角為基本的假設(shè)條件,同時忽略馮卡門方程中抗彎剛度的影響，將薄板大撓度問題轉(zhuǎn)化為薄膜問題。尋找以初等函數(shù)表示的精確解析解成為專家和學(xué)者的關(guān)注焦點。目前研究主要集中于固定邊界條件下的薄膜在膜面上受到不同種類分布荷載作用下的大撓度變形問題。本次研究給出將周邊固定的圓薄膜在橫向受到全膜均布荷載作用下大撓度變形問題的精確理論解析解。

1 研究進展

固定邊界條件下的圓薄膜在橫向均勻分布荷載作用下的大撓度變形解析解，就是著名的Hencky解。力學(xué)模型如圖1所示。Hencky使用冪級數(shù)的解法，首先將應(yīng)力和撓度以冪級數(shù)形式表示，并將其代入非線性控制方程組，然后根據(jù)固定邊界條件幾何表達式求出相關(guān)系數(shù)，最后推導(dǎo)出圓薄膜在橫向均布荷載作用下大撓度變形方程的冪級數(shù)解表達式[8]。然而，Hencky在求解過程中出現(xiàn)了計算性的錯誤，由錢偉長[1]和Alekseev[9]分別給予了糾正。錢偉長與Hencky給出的圓膜問題解答主要區(qū)別在于，求解非線性微分方程組的方法不同。

Hencky和錢偉長求解圓薄膜問題的方法被后來的學(xué)者稱為“Hencky變換法”[10]。何曉婷利用“Hencky變換方法”，給出了均布荷載作用下受有預(yù)加張力彈性圓薄膜軸對稱大變形的一般解，以及以冪級數(shù)形式表達的圓薄膜中心撓度、徑向和環(huán)向薄膜內(nèi)力的計算公式[11]。計算表明，當(dāng)水平預(yù)張力相對于膜面垂直荷載很較小時，解答結(jié)果與Hencky理論結(jié)果接近；當(dāng)水平預(yù)加張力相對于荷載較大時，解答結(jié)果接近于線性理論結(jié)果。Sun根據(jù)Hencky的冪級數(shù)解，推導(dǎo)了求解薄膜泊松比和楊氏彈性模量的計算公式[12]。

雖然Hencky解是一種誤差很小的理論解，得到了大家的一致認(rèn)可，但是也存在一些問題。例如，如果存在邊界層效應(yīng)時，Hencky的冪級數(shù)解就不一定存在；如果采用有限差分法求解時，如果所在邊界應(yīng)力和法向壓力較小，會出現(xiàn)難以收斂的情況。Dickey繞過Hencky問題的上述弊端，分析了當(dāng)邊界應(yīng)力或者位移為已知條件的情況下，在橫向均布荷載作用下彈性圓薄膜的應(yīng)力和應(yīng)變的具體分布形式，并且將Hencky的微分方程轉(zhuǎn)化為等價的非線性積分方程來進行求解，同時證明了該解的存在性[13]。榮陽根據(jù)二階微分方程冪級數(shù)解法的形式對Hencky問題的薄膜方程進行了重新推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)“Hencky變換方法”只適用于具有特殊形式的二階微分方程，而不能作為求解任意形式的二階微分方程的有效數(shù)學(xué)方法[14]。

圖1 圓薄膜在橫向荷載作用下示意圖

目前關(guān)于固定邊界條件下的圓薄膜在橫向均布荷載作用下大撓度變形問題的解，主要是以冪級數(shù)為主的近似解析解以及數(shù)值解。在此，根據(jù)合適的邊界條件表示，給出了固定邊界條件下圓薄膜在橫向均布荷載作用下大撓度變形問題的精確理論解。

2 控制方程組的建立

假定在固定邊界條件下的圓薄膜中心區(qū)域取一半徑為r的一塊圓薄膜，研究這塊圓薄膜在均布荷載q作用下的力學(xué)平衡問題(見圖2)。

圖2 圓薄膜豎向受力平衡圖

豎直方向的平衡方程為：

2πrσrhsinθ=πr2q

(1)

式中：r—— 薄膜的半徑，mm；

q—— 薄膜受到的橫向均布荷載集度，Nmm2；

h—— 薄膜的厚度，mm；

σr—— 薄膜的徑向應(yīng)力，Nmm2；

θ—— 薄膜的轉(zhuǎn)動角，(°)。

設(shè)w(r)表示薄膜在r處的豎向撓度值，則有：

(2)

將式(1)帶入式(2)，得到：

(3)

在水平方向，圓薄膜平面內(nèi)有徑向的薄膜力和環(huán)向的薄膜力作用(見圖3)，其平衡條件為：

圖3 圓薄膜平面力平衡圖

(4)

式中：σr—— 薄膜的徑向應(yīng)力，Nmm2；

σt—— 薄膜的環(huán)向應(yīng)力，Nmm2。

化簡式(4)得：

(5)

式中：εr—— 薄膜的徑向應(yīng)變，無量綱；

εt—— 薄膜的環(huán)向應(yīng)變，無量綱；

u(r) —— 薄膜的徑向位移，mm。

則可以用薄膜的徑向位移和豎向撓度值表示應(yīng)變關(guān)系：

(6)

用應(yīng)變表示應(yīng)力關(guān)系為：

(7)

式中：E—— 薄膜材料的彈性模量，MPa：

v—— 薄膜材料的泊松系數(shù)，無量綱。

變換式(7)可以得到用應(yīng)力表示應(yīng)變關(guān)系：

(8)

(9)

再由式(4)得到薄膜徑向力和環(huán)向力：

(10)

式中：Nr—— 薄膜徑向力，N；

Nt—— 薄膜環(huán)向力，N。

將式(6)代入式(7)得：

(11)

由式(9)、(10)、(11)，得到：

(12)

所以圓薄膜在均布荷載作用下大撓度基本方程：

(13)

3 控制方程組的簡化

引入無量綱系數(shù)x，y，G，Sr，Q，其表達式如下：

將圓薄膜在均布載荷下大撓度的基本方程組(13)無量綱簡化為：

(14)

4 邊界條件

在薄膜邊界處，中面的徑向位移u=0，所以

2xz′-(1+v)z=0

(15)

當(dāng)x=0時，Nr取得最大且為有限值，即Sr為有限值，所以函數(shù)z當(dāng)x→0時，應(yīng)滿足以下條件：

(16)

5 控制方程組的精確解析解

將邊界條件式(15)和(16)代入式(14)，求得：

(17)

根據(jù)前面的無量綱系數(shù)和相關(guān)假設(shè)，可以求得圓薄膜在均布荷載作用下的撓度表達式：

(18)

(19)

圓薄膜在均布荷載作用下的環(huán)向力表達式：

(20)

6 算例分析

某均質(zhì)ETFE薄膜材料，其彈性模量為E=4 212 MPa，其泊松比為ν=0.41，薄膜厚度h=0.02 mm，薄膜半徑R=97 mm，均勻分布荷載的集度q=0.001 452 MPa。運用本次給出的精確解析解表達式和文獻[14]給出的近似解析解(冪級數(shù)解法)，分別求解了薄膜整個膜面的撓度值。變形后的撓度圖見圖4。

圖4 ETFE薄膜撓度圖

由圖4可以得出，2種解法得出的撓度曲線形態(tài)上非常接近，吻合度良好，證明了本次給出的精確解析解表達式的正確性。由本次的精確解析解而求得的撓度值比已有的近似解析解所得撓度值更安全，撓度曲線更加符合柔性薄膜的凹曲變形狀態(tài)。

7 結(jié) 語

根據(jù)薄膜大撓度理論，建立了固定邊界條件下圓薄膜在滿布均布荷載作用下大撓度的控制方程組，選取合適的無量綱系數(shù)對其進行簡化，結(jié)合正確的邊界條件，推導(dǎo)出了圓薄膜在滿布均布荷載作用下大撓度變形的精確解析解。與其冪級數(shù)解比較，誤差更小，計算更加方便，該工作有助于求解圓薄膜在其他橫向荷載作用下大撓度變形的精確解析解。

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Exact Theoretical Solution for Large-Deformation of Circle Membrane under Uniformly Distributed Loads

GUOJianjunHUANGWei

(Department of Architectural Engineering, Chongqing Water Resources and Electric Engineering College, Chongqing 402160, China)

This paper studies the large deformation of circle membrane with the fixed boundary condition, under the lateral uniformly distributed loads. Based on the deflection theory of membrane, basic governing equations of large-deflection for circular isotropic membrane under uniformly distributed loads, are derived. And the appropriate dimensionless variables are selected to simplify the basic governing equation. With a set of proper boundary conditions, the exact theoretical analytical solution for large-deflection of circular membranes is obtained. Based on the numerical analysis, compared with the existing power series solution, the correctness of the exact solution proposed in this paper is verified.

circular membranes; large-deflection; uniformly distributed load; exact theoretical analytical solution

2017-06-02

重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項目“平面建筑膜結(jié)構(gòu)在積水和積雪荷載作用下的大撓度變形研究”(KJ1603602)；重慶水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院校級科研項目“建筑薄膜結(jié)構(gòu)在橫向荷載作用下的大撓度變形研究”(K201509)

郭建軍(1986 — )，男，四川南充人，博士，講師，研究方向為固體力學(xué)。

TB115

A

1673-1980(2017)04-0108-04