計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)反推法在復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用

文｜中冶京誠(chéng)工程技術(shù)有限公司 汪明；國(guó)內(nèi)貿(mào)易工程設(shè)計(jì)研究院 崔芳；中國(guó)建筑設(shè)計(jì)院有限公司 伍敏

1.引 言

隨著人類社會(huì)的深入快速發(fā)展，人們?cè)诠δ苌虾蛯徝郎暇巡粷M足于傳統(tǒng)的規(guī)則結(jié)構(gòu)。近幾十年間，大量功能復(fù)雜、形狀不規(guī)則的公共建筑涌現(xiàn)在我們生活里。此類建筑結(jié)構(gòu)形式靈活多變。在異型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)過(guò)程中，可參考的經(jīng)驗(yàn)性通用方法較少，對(duì)結(jié)構(gòu)計(jì)算的準(zhǔn)確度要求較高。

結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計(jì)算是復(fù)雜結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程中的重要部分。以經(jīng)典力學(xué)和穩(wěn)定理論為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)法是工程領(lǐng)域中被廣泛應(yīng)用和接受的一種方法。包括現(xiàn)行《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》在內(nèi)的大量經(jīng)典鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)文獻(xiàn)均推薦了該穩(wěn)定計(jì)算方法。在穩(wěn)定驗(yàn)算中涉及兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)：計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)（μ）和構(gòu)件受壓穩(wěn)定系數(shù)（φ），以考慮結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的自身缺陷和二階效應(yīng)對(duì)構(gòu)件穩(wěn)定承載力的影響?；诖罅肯嚓P(guān)試驗(yàn)和理論的研究，在《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB50017-2003）等文獻(xiàn)中給出了如框架柱（有側(cè)移框架和無(wú)側(cè)移框架）、排架柱等規(guī)則結(jié)構(gòu)豎向構(gòu)件的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)。但由于計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)與構(gòu)件邊界約束條件、相鄰結(jié)構(gòu)剛度等諸多因素有關(guān)，因此對(duì)于大部分異型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，并不能通過(guò)主觀經(jīng)驗(yàn)性判斷或簡(jiǎn)單計(jì)算而準(zhǔn)確地確定構(gòu)件計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)。

本文將概要介紹一種以屈曲分析結(jié)果為基礎(chǔ)反推受壓或壓彎桿件計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的方法。并通過(guò)具體工程實(shí)例，介紹該方法在異型結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用過(guò)程。另外，通過(guò)與直接分析法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性。

2.計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)反推法概述

在不考慮材料塑性情況下，理想受壓桿件的屈曲臨界壓力可通過(guò)對(duì)桿件受力狀態(tài)微分方程求解得到。圖1所示是典型理想受壓桿件受力和變形簡(jiǎn)圖。

圖1 理想受壓桿件簡(jiǎn)圖

在幾何失穩(wěn)狀態(tài)時(shí)（F=Fcr），桿件內(nèi)任一截面處的彎矩滿足以下方程：

桿件翹曲線近似微分方程：

其中，E是彈性模量；I是截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩。

通過(guò)式（1）和式（2）合并可建立微分方程，如下：

求解該微分方程，最終可得到歐拉臨界力：

另外，可確定桿件變形曲線為：

式中，n為桿件變形曲線半波數(shù)；A為桿件側(cè)向變形最大值。

將歐拉臨界力公式（式（4））變形得到下式：

L/n為桿件計(jì)算長(zhǎng)度，即為變形曲線的半波長(zhǎng)度。計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ=1/n，則

對(duì)于邊界約束簡(jiǎn)單的構(gòu)件，可輕易確定變形半波長(zhǎng)度，若兩端鉸接，則半波長(zhǎng)度為L(zhǎng)，即計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)為1.0；若兩端剛接，則半波長(zhǎng)度為0.5L，則計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)為0.5。但對(duì)于實(shí)際結(jié)構(gòu)中的大部分桿件，邊界約束情況復(fù)雜，無(wú)法輕易確定屈曲變形半波長(zhǎng)度，即無(wú)法確定計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)。

圖2 主結(jié)構(gòu)三維軸測(cè)圖

圖3 主結(jié)構(gòu)平面布置圖

圖4 短向剖面圖

然而，借助通用結(jié)構(gòu)計(jì)算軟件可實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的屈曲分析，從而得到主要受力桿件的臨界壓力值，即得到式（7）中的Fcr，從而可間接計(jì)算得到計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ。

圖5 有限元計(jì)算模型

3 工程應(yīng)用

下文將介紹計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)反推法在某異型結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用。本工程為一座大型表演劇場(chǎng)，主體結(jié)構(gòu)為64×80m的橢圓穹頂結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)形式如圖2-圖4所示。

該結(jié)構(gòu)為橢圓穹頂結(jié)構(gòu)，由五道環(huán)向桁架、18榀徑向桁架、4道屋面支撐、18根鋼柱組成。在豎向力作用下，該結(jié)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)水平力自平衡，即柱底產(chǎn)生的水平推力較小。

整個(gè)結(jié)構(gòu)由膜材覆蓋?？嘉菝婧愫奢d為0.3kN/m2；雪荷載為0.5 kN/m2；吊掛荷載為0.3 kN/m2；基本風(fēng)壓為0.45 kN/m2。

18根鋼柱截面為圓管520×18。底部與基礎(chǔ)剛接，頂部雙向分別與環(huán)桁架、徑向桁架連接。若采用《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB50017-2003）進(jìn)行鋼柱穩(wěn)定承載力驗(yàn)算，則首先應(yīng)確定鋼柱的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)，但現(xiàn)有規(guī)范僅給出了如框架柱、排架柱等典型結(jié)構(gòu)形式中柱子的計(jì)算長(zhǎng)度計(jì)算方法。對(duì)于此類結(jié)構(gòu)，并不能通過(guò)簡(jiǎn)單判斷確定柱子計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)。

下文將介紹計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)反推法在本工程中的應(yīng)用過(guò)程。采用有限元通用分析軟件ANSYS建立該結(jié)構(gòu)模型，如圖5。

由于該分析目的為確定鋼柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)，為了避免其它構(gòu)件屈曲模態(tài)對(duì)結(jié)果的影響，在計(jì)算模型中僅在所有鋼柱頂部施加1kN豎向作用力。在該基本荷載條件下，進(jìn)行線性屈曲分析，得到結(jié)構(gòu)屈曲特征荷載如表1。第一屈曲模態(tài)見圖6。

由于舞臺(tái)區(qū)鋼柱間無(wú)法設(shè)置環(huán)梁，因此，此區(qū)域內(nèi)鋼柱剛度較弱。從第一屈曲模態(tài)看，可見舞臺(tái)區(qū)鋼柱先發(fā)生屈曲，所對(duì)應(yīng)屈曲臨界荷載為5839kN。

根據(jù)計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)反推公式：

因此，舞臺(tái)區(qū)鋼柱計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)可取0.713，由于其它區(qū)域鋼柱臨界荷載略高，理論上其計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)應(yīng)略小于0.713。

4 通過(guò)直接分析法驗(yàn)證

根據(jù)《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB50017-2003）中受壓桿件的驗(yàn)算方法，該鋼柱軸心受壓承載力設(shè)計(jì)值為：

按照上文得到的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)為0.713考慮，該柱子長(zhǎng)細(xì)比為：

表1 前3階屈曲特征值

查《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB50017-2003）附錄C（按a類截面，考慮鋼號(hào)折減），得到穩(wěn)定系數(shù)，因此，鋼柱受壓承載力設(shè)計(jì)值為：

為了驗(yàn)算上述方法的準(zhǔn)確性，下文將采用計(jì)算精度更高的直接分析法進(jìn)行驗(yàn)證。與傳統(tǒng)計(jì)算方法不同，采用直接分析法的計(jì)算模型需考慮結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的初始缺陷。

按照柱子高度1/250考慮整體結(jié)構(gòu)初始缺陷，缺陷形態(tài)為第一階屈曲模態(tài)，考慮整體缺陷后的結(jié)構(gòu)模型如圖7。

圖6 第一階屈曲模態(tài)

圖7 考慮結(jié)構(gòu)整體缺陷后的模型（已放大20倍呈現(xiàn)）

圖8 考慮構(gòu)件缺陷后的模型（已放大20倍呈現(xiàn)）

柱子自身缺陷按照高度1/400考慮，缺陷形態(tài)為正弦半波曲線，考慮構(gòu)件初始缺陷后的結(jié)構(gòu)模型如圖8。

綜合考慮上述兩種不同缺陷，重新建立有限元模型，同樣僅在所有鋼柱柱頭施加豎向荷載，采用弧長(zhǎng)法進(jìn)行非線性計(jì)算（同時(shí)考慮材料非線性和幾何非線性），得到柱頭節(jié)點(diǎn)豎向位移和作用力（設(shè)計(jì)值）之間的歷程關(guān)系曲線，如圖9。

圖9 直接分析法荷載位移歷程曲線

圖9曲線表明通過(guò)直接分析法得到鋼柱的最大豎向承載力設(shè)計(jì)值F2為4196kN，略高于計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)反推法得到的柱子承載力設(shè)計(jì)值F1，誤差率γ為：

上述對(duì)比結(jié)果表明：通過(guò)屈曲臨界荷載反推得到計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)，并將該系數(shù)應(yīng)用于傳統(tǒng)一階彈性穩(wěn)定計(jì)算法中得到的柱子受壓承載力設(shè)計(jì)值基本與采用直接分析法計(jì)算得到的受壓承載力設(shè)計(jì)值相符。

5 結(jié)論

本文闡述了一種基于線性屈曲臨界荷載反推受壓桿件計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)的方法。并通過(guò)工程實(shí)際，介紹了該方法在異型復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用。另外，通過(guò)與直接分析法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。此方法對(duì)計(jì)算異型結(jié)構(gòu)中邊界約束情況較復(fù)雜的受壓桿件的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)具有指導(dǎo)意義。