圓錐曲線的有關(guān)問題

趙興婷

摘要：圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容，本文簡單講述了圓錐曲線的定義，并對常在圓錐曲線中出現(xiàn)的問題進(jìn)行了歸納和總結(jié)，他們分別是：在圓錐曲線中求動點(diǎn)的軌跡方程的常用方法：直接法、定義轉(zhuǎn)化法、特征幾何等式轉(zhuǎn)化法和參數(shù)法；直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，根據(jù)聯(lián)立方程組解的狀況來確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系和利用韋達(dá)定理求解直線被圓錐曲線所截得的弦長和弦的中點(diǎn)坐標(biāo)；在圓錐曲線的最值與定值問題中常常利用參數(shù)法、配方法、判別式法、不等式的性質(zhì)以及三角函數(shù)的最值法求出最大值和最小值。通過本文的歸納總結(jié)使同學(xué)們對圓錐曲線的知識有個(gè)總體的、清晰的認(rèn)識，在遇到有關(guān)圓錐曲線的問題時(shí)能夠思路清晰，解題時(shí)方法明確。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；定義；軌跡方程；位置關(guān)系；最值與定值

我們知道，如果用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，得到的截面是一個(gè)圓。而如果改變平面與圓錐軸線的夾角，則可以得到幾種不同類型的圖形，他們分別是橢圓、雙曲線和拋物線等。通常把橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線。1

圓錐曲線的統(tǒng)一定義為：若平面內(nèi)一動點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離之比等于一個(gè)常數(shù)e（e>0），則動點(diǎn)的軌跡為圓錐曲線（Fl），其中定點(diǎn)F為焦點(diǎn)，定直線l為準(zhǔn)線，e為離心率，

當(dāng)0 當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線；

當(dāng)e>1時(shí)，軌跡為雙曲線。2

在求解圓錐曲線問題的過程中，常會遇到一些求解動點(diǎn)的軌跡方程的問題，討論直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問題以及在圓錐曲線中求解最值與定值問題。下面就分別對這些問題進(jìn)行討論與總結(jié)。

一、在圓錐曲線中有關(guān)動點(diǎn)的軌跡方程的求解方法

某動點(diǎn)按照所給的條件運(yùn)動就會形成某種軌跡，由于給定條件的種類不同，從而求軌跡方程的方法也不盡相同。

1.直接法 在有些求軌跡方程的問題中，動點(diǎn)所滿足的關(guān)系從題目條件中可以直接寫出。我們只要把這些關(guān)系直接用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化成含有x，y的等式即可以得到動點(diǎn)的軌跡方程。由于該方法是根據(jù)題設(shè)條件直接求解出動點(diǎn)的軌跡方程的，所以稱它為直接法。

例1如果一個(gè)動點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A（-1，0），B（1，0）恰好組成一個(gè)三角形，在該三角形中∠AMB=π4，求動點(diǎn)M的軌跡方程是什么。

分析：由于∠AMB也是三角形的兩條邊MA與MB所在直線的夾角，所以可直接設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入夾角公式tanπ4=kMA-kMB1+kMA·kMB，并化簡即可。

解：設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則kMA=yx+1，kMB=yx-1，

由tanπ4=kMA-kMB1+kMA·kMB有yx+1-yx-11+yx+1·yx-1=1，即x2+y2-1=±2y，所以點(diǎn)M的軌跡方程為：x2+（y-1）2=2或x2+（y+1）2=2

即M的軌跡是以（0，1）或（0，-1）為圓心，半徑為2的圓。

2.定義轉(zhuǎn)化法 如果根據(jù)題設(shè)條件可以直接獲知?jiǎng)狱c(diǎn)的運(yùn)動軌跡正好滿足某個(gè)曲線的基本軌跡的定義，這時(shí)就可以直接依據(jù)此基本軌跡的相關(guān)定義求出該動點(diǎn)的軌跡。

例25（2005年山東省卷）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)（p2，0），且與直線x=-p2相切，其中p>0，求動圓圓心C的軌跡方程。

分析：令定點(diǎn)（p2，0）用F表示，則由動圓經(jīng)過F點(diǎn)，又與直線x=-p2相切，可知?jiǎng)訄A圓心C到定點(diǎn)F和到定直線x=-p2的距離相等。由拋物線的定義可知，動圓圓心C的軌跡是以F為焦點(diǎn)的拋物線，因此直接利用拋物線的知識即可求得。

解：過動圓圓心C作直線x=-p2的垂線，垂足為N.由題意有：CF=CN，即動點(diǎn)C到定點(diǎn)F與到定直線x=-p2的距離相等。由拋物線的定義知，點(diǎn)C的軌跡是以F為焦點(diǎn)，x=-p2為準(zhǔn)線的拋物線，所以動圓圓心C的軌跡方程為y2=2px（p>0）。

簡評：直接利用圓錐曲線的定義列出所要求的軌跡方程的幾何條件。從幾何條件判斷軌跡方程的類型，然后直接代入即可。

3.特征等式轉(zhuǎn)化法 如果所求的動點(diǎn)可根據(jù)題設(shè)條件直接列出幾何等式，則設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入幾何等式中，再化簡，便可求出動點(diǎn)的軌跡方程。

例35（2007年北京卷）矩形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)M（2，0），AB邊所在的直線方程為x-3y-6=0，點(diǎn)T（-1，1）在AD邊所在的直線上，求：1）AD邊所在直線的方程；2）矩形ABCD外接圓的方程；3）若一個(gè)動圓過點(diǎn)N（-2，0），且與矩形ABCD的外接圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程。

分析：1）在矩形ABCD中，AD與AB垂直，所以由AB的直線方程即可求出AD所在直線的斜率，又過T（-1，1）點(diǎn)，因此由直線方程的點(diǎn)斜式便可求出直線方程。

2）M為矩形ABCD對角線的交點(diǎn)，即M為矩形的中心，從而M也為矩形ABCD外接圓的圓心，又M到頂點(diǎn)A的距離即為外接圓的半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可。

3）根據(jù)題意可得等式PM-22=PN，設(shè)出圓心P的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式，代入該等式即可求解。

解：1）因?yàn)锳B邊所在的直線方程為x-3y-6=0，且AD與AB垂直，所以直線AD的斜率為-3，又因?yàn)辄c(diǎn)T（-1，1）在直線AD上，所以AD邊所在的直線方程為y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0；

2）由方程組x-3y-6=0

3x+y+2=0解得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），

∵矩形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn)為M（2，0），亦為矩形ABCD外接圓的圓心，

又AM=（2-0）2+（0+2）2=22，即外接圓的半徑為22，

∴矩形ABCD外接圓的方程為

（x-2）2+y2=8；

3）根據(jù)題意有等式

PM-22=PN，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則：endprint

（x-2）2+y2-22=（x+2）2+y2，

化簡后得：x22-y22=1（x≤-2），

所以該動圓的圓心P的軌跡為雙曲線的左支。

簡評：此例利用兩圓外切及過定點(diǎn)的等量關(guān)系得出軌跡的幾何關(guān)系，設(shè)出坐標(biāo)，直接代入幾何公式即可。

4.參數(shù)法 在某些時(shí)候動點(diǎn)的運(yùn)動會因?yàn)榱硪粋€(gè)變量的運(yùn)動變化而受到約束，也就是說動點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）中的x，y的大小分別隨著另一變量的變化而發(fā)生變化，這樣的一個(gè)變量我們把它叫做參數(shù)。建立軌跡的參數(shù)方程，最終只要消去其中的參數(shù)即可得到所要求的動點(diǎn)的軌跡方程，這種方法就叫做參數(shù)法。

例4已知某線段AB的長度為2，P點(diǎn)把線段AB分為AP：PB=3：1的兩部分。如果點(diǎn)A在y軸上運(yùn)動，點(diǎn)B在x軸上運(yùn)動，則動點(diǎn)P的軌跡方程是什么？

分析：由于AB的長度確定，A、B分別在兩坐標(biāo)軸上運(yùn)動，P點(diǎn)的位置隨著AB與x軸夾角的變化而變化，因此可以選擇這個(gè)角為參數(shù)建立軌跡的參數(shù)方程。

解：設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，y），線段AB和x軸的夾角為θ，其中θ≤π2，令點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，則θ即為線段AB與x軸負(fù)向組成的角。作PM⊥x軸，垂足為M，PN⊥y軸，垂足為N，

∵AB=2，APPB=31

∴AP=34×2=32，PB=14×2=12

∴動點(diǎn)P的參數(shù)方程為x=32cosθ

y=12sinθ（其中θ為參數(shù)），

由三角等式cos2θ+sin2=1，消去參數(shù)θ，有 （2x3）2+（2y）2=1，

即：x294+y214=1，為所求的軌跡方程，該軌跡為以（2，0）（-2，0）為焦點(diǎn)的橢圓。

二、直線和圓錐曲線兩者的位置關(guān)系

在同一個(gè)平面上，直線與圓錐曲線或者相交、或者相切或者相離。如何能夠準(zhǔn)確地確定直線和圓錐曲線是相交、相切、還是相離以及如果直線與圓錐曲線相交，那么直線被圓錐曲線所截得的弦長和弦的中點(diǎn)坐標(biāo)又分別是多少，這是解析幾何中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

1.能夠利用直線和圓錐曲線的聯(lián)立方程組解的狀況來準(zhǔn)確的判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 解決這樣的問題通常都是先將直線方程和圓錐曲線的方程結(jié)合起來，形成一個(gè)二元二次方程組，消去y（或x）后，得到一個(gè)一元二次方程。然后判斷此一元二次方程的根的情況，即判斷判別式Δ的值。當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與圓錐曲線相交；當(dāng)Δ=0時(shí)，直線與圓錐曲線相切；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與圓錐曲線相互遠(yuǎn)離。當(dāng)然在消去y（或x）后，有時(shí)會得到一元一次方程，這時(shí)根據(jù)具體的情況進(jìn)行判斷直線和圓錐曲線的位置關(guān)系。

例52試確定實(shí)數(shù)k的不同取值，討論直線y=k（x+1）與雙曲線x2-4y2=4的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

解：由方程組y=k（x+1）

x2-4y2=4消去y，得

（1-4k2）x2-8k2x-4k2-4=0，

當(dāng)1-4k2=0，即k=±12時(shí)，直線方程為y=±12（x+1），

而對于雙曲線x24-y2=1，其漸近線的方程為y=±12x，

可見直線y=±12（x+1）分別于雙曲線的漸近線平行，

所以，此時(shí)直線和雙曲線分別只有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)1-4k2≠0時(shí)，

Δ=（-8k2）2-4（1-4k2）（-4k2-4）=16（1-3k2），

若1-4k2≠0

1-3k2=0，即k=±33時(shí)，直線y=±33（x+1）分別與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；

若1-4k2≠0

1-3k2>0，即k∈（-33，33）且k≠±12時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；

若1-4k2≠0

1-3k2<0，即k>33或k<-33時(shí)，直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)。

2.求圓錐曲線截直線所得到的弦的長度以及其中點(diǎn)坐標(biāo) 當(dāng)直線和圓錐曲線相交時(shí)，直線會被圓錐曲線截去部分線段，這部分線段就叫做圓錐曲線的弦，弦的長度和中點(diǎn)坐標(biāo)的求解在圓錐曲線的題目中也是比較常見的。在解決這類問題時(shí)，韋達(dá)定理使問題簡化了不少。如當(dāng)直線的方程為y=kx+b時(shí)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）為

x=x1+x22，y=y1+y22=kx1+b+kx2+b2=k（x1+x2）+2b2

即為（x，y）=（x1+x22，k（x1+x2）+2b2）；

弦長為：

（x1-x2）2+（y1-y2）2=（1+k2）（x1+x2）2-4x1x2

（其中x1，x2分別為直線和圓錐曲線的聯(lián)立方程組消去y后所得的方程的根，y1，y2分別x1，x2代入直線方程后的值）。

例6一條斜率為3的直線經(jīng)過橢圓x25+y24=1的左焦點(diǎn)F1，與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長。

解：由已知條件有a2=5，b2=4，則c=5-4=1，即左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（-1，0），

根據(jù)題意，可以設(shè)AB所在的直線方程為：y=3x+m，又直線經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），所以有0=-3+m，即m=3所以直線方程為y=3x+3

因此，由方程組y=3x+3

x25+y24=1，有49x2+90x+25=0，即

x1+x2=-9049，x1x2=2549，

代入弦長公式得，

AB=（1+32）（-9049）2-4×2549=40249

三、在圓錐曲線中，求最大值、最小值與定值的有關(guān)問題

在一些有關(guān)圓錐曲線的問題中，有的量和參數(shù)的大小沒有關(guān)系，這就構(gòu)成了定值問題，解決這類問題常常通過取特殊值來確定“定值”是多少，或者將在該問題中涉及到的幾何式子轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或者三角式，再證明此式是恒定的。endprint

在圓錐曲線中還常出現(xiàn)另一類問題，即最值問題，解決此類問題的一般步驟是先根據(jù)已知條件列出所要求的目標(biāo)函數(shù)的代數(shù)關(guān)系式，然后再根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄅ浞椒?、判別式法、不等式的性質(zhì)等）求出它的最值。

例72F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，M是與F1，F(xiàn)2非共線的橢圓上的點(diǎn)，設(shè)I為ΔABC的內(nèi)心，延長MI與F1F2交與N，求證MINI為定值。

解：先取點(diǎn)M在y軸上，易得：MINI=ac；

當(dāng)M為橢圓上任意一點(diǎn)時(shí)，連接F1、I交MF2于Q，設(shè)

MF2=x，MF1=2

∵F1NNF2=MF1MF2=2a-xx

F1NNF1+NF2=F1MMF1+MF2=2a-xx

∴F1N=ca（2a-x）

∴在ΔMF1N中， MINI=MF1NF1=2a-xca（2a-x）=ac為定值。

例8已知某曲線C：x2-y2=a（x>0），其中a>0且為常數(shù)，如果A、B是C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求OA·OB的最小值。

解：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），

當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，則：x1=x2，y1=-y2，所以：OA·OB=x1x2+y1y2=x21-y21=a為定值；

設(shè)當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)AB的方程為y=kx+m，

則由直線AB與曲線C相交有y=kx+m

x2-y2=a，即

（1-k2）x2-2kmx-m2-a=0（1-k2≠0）

故：x1+x2=2km1-k2，x1x2=m2+ak2-1，

OA·OB=x1x2+y1y2

=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）

=（1+k2）（m2+a）k2-1+2k2m21-k2+m2

=a+2ak2-1

∵x1x2>0，∴k2-1>0 ∴OA·OB>a.

綜上所述，可知OA·OB≥a，

因此，OA·OB的最小值為a.

四、結(jié)語

圓錐曲線一直以來都是高中知識中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在高考中常常受到出題者的親睞，常考的知識點(diǎn)大致也就是本文中闡述的幾類問題，即求解軌跡方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系以及求證定值和求解最值問題。由于圓錐曲線的知識繁多復(fù)雜，在解決這些問題時(shí)要注意合適方法的選擇，注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性及分類討論思想的運(yùn)用。

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（作者單位：安徽省阜陽師范學(xué)院附屬中學(xué) 236000）endprint