學(xué)生概率認知中的典型錯誤：潛在原因及教學(xué)對策

【摘 要】 學(xué)生的概率認知常常表現(xiàn)出各種錯誤，且這些錯誤常常十分頑固而難以消除。結(jié)合筆者以往的實證研究，以學(xué)生概率認知中4類常見的錯誤（概率不可預(yù)知、代表性啟發(fā)、等可能性偏見、模糊的樣本空間）為例，從知識基礎(chǔ)、思維水平、直覺經(jīng)驗等視角對上述錯誤的潛在原因進行分析，并據(jù)此對教師的教學(xué)改進提出若干建議。

【關(guān)鍵詞】 概率認知；等可能性偏見；樣本空間；代表性啟發(fā)

1 引言

2001年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》首次將概率內(nèi)容納入中小學(xué)數(shù)學(xué)課程[1]，2012年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》則進一步降低了該部分內(nèi)容的難度[2]。這樣的調(diào)整是基本合理的：一線教學(xué)實踐[3][4]和大量實證研究[5][6][7]都一再表明，學(xué)生對概率概念的理解存在諸多誤區(qū)和局限。研究甚至表明[8][9][10]，不同年齡層人群對概率的認知均表現(xiàn)出不同程度的錯誤，且這些錯誤常常十分頑固而難以消除。

對教師而言，概率作為數(shù)學(xué)課程新近引入的內(nèi)容領(lǐng)域，它一方面對教師的知識儲備提出了挑戰(zhàn)：他們在基礎(chǔ)教育階段一般沒有學(xué)習(xí)過概率知識[11]，對概率的理解也常常出現(xiàn)各類錯誤[12]。另一方面，鑒于學(xué)生概率學(xué)習(xí)中的種種困難，它還要求教師在教學(xué)中關(guān)注他們是如何理解該部分內(nèi)容的[13]。

那么，教師應(yīng)該怎樣認識學(xué)生概率認知中的錯誤？

長期以來，“錯誤”常常被認為是消極的：它是一種混淆（confusion）或離題（digression）的表現(xiàn)，因而應(yīng)該被避免[14]。心理學(xué)研究扭轉(zhuǎn)了人們對它的認識：錯誤應(yīng)該被積極看待，因為它是兒童思考的一部分[15]。錯誤是一筆寶貴的教學(xué)資源，它直接反映了學(xué)生在概念理解過程中的局限，為教師了解學(xué)生概念學(xué)習(xí)的過程提供了諸多有價值的信息。國際學(xué)界對學(xué)生概率認知及其錯誤的研究已然取得了巨大進展。我國近年來的實證研究則進一步證實[5][16]：國際學(xué)界報道的概率認知錯誤在我國學(xué)生中也十分常見。但總體而言，以往的此類研究大都關(guān)注于錯誤的具體表現(xiàn)（“是什么”），其次是對錯誤的原因分析（“為什么”），而對于錯誤的教學(xué)干預(yù)（“怎么辦”）則著墨較少。研究者近年來對我國中小學(xué)生的概率認知水平[17][18]、認知偏見[19]及認知策略[20]等展開了系列實證研究，本文結(jié)合上述系列研究的結(jié)果，以學(xué)生概率認知中4類常見的錯誤（概率不可預(yù)知、代表性啟發(fā)、等可能性偏見、模糊的樣本空間）為例，著力從知識基礎(chǔ)、思維水平、直覺經(jīng)驗等視角探討學(xué)生概率認知錯誤的潛在原因，并從教學(xué)層面提出若干建議以供一線教師參考。

2 “概率不可預(yù)知”

義務(wù)教育階段涉及的概率內(nèi)容主要是理論概率與實驗概率。前者的一個例子是古典概率，后者的一個例子是頻率概率。古典概率的基本特點是試驗的樣本空間有限（即，所有可能結(jié)果的個數(shù)是有限個）且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，事件的概率可以通過事前的理論計算而得知，因而它具有先驗性。頻率概率是根據(jù)大量重復(fù)試驗的結(jié)果而歸納得到的，其依據(jù)的原理是大數(shù)定律：在進行大量重復(fù)試驗后，事件發(fā)生的頻率將無限接近于其概率。以教材中常見的“摸球”模型為例，一個盒子里有2個黑球和1個白球（它們除顏色外均相同，下同）。如果我們問“從盒子里摸出1個球，摸出哪種球的概率大”，它屬于古典概率問題；如果我們問“從盒子里摸出1個球，記下顏色后放回。假設(shè)如此重復(fù)摸球1000次，請你估計摸出哪種顏色球的次數(shù)多”，它則屬于頻率概率問題。無論哪種情形，總有些學(xué)生會認為“這些沒有發(fā)生的事情不好預(yù)測，只有摸了才知道”、“我們不可能預(yù)知未來”、“老天爺才知道”、“我們不是球，只有球知道”，等等[20][21][22]。在他們眼里，概率具有一種神秘色彩，它是不可被預(yù)測和量化的。

究其原因，他們對古典概率的理論先驗性和頻率概率的大數(shù)定律缺乏認識。盡管中小學(xué)教材對此沒有明確提及，也不適合正式地以文字形式呈現(xiàn)，但這些思想的滲透似乎顯得必不可少。從更一般的角度而言，古典概率的“先驗推理”是一種演繹的推理方式，頻率概率的“基于數(shù)據(jù)推理”是一種歸納的推理方式。這也在一定程度上反映了學(xué)生概率思維的缺失。

如何幫助學(xué)生擺脫這類錯誤認識？筆者認為：第一，對古典概率而言，加強學(xué)生對概率“可度量性”的認識。生活中有許多的度量單位和工具，例如一本書的大小可以用“長和寬”、“厚和薄”來衡量，室內(nèi)的空氣可以用“熱與冷”、“干與濕”來衡量。概率則是衡量可能性大小（程度）的“單位”，不過與上述“長度”、“寬度”、“厚度”、“熱度”、“濕度”等有所區(qū)別的是，它不是那么容易直接感知，它是看不見、摸不著的。盡管如此，它起碼是可以被度量的。這也正是概率的魅力所在：身處信息紛繁的大數(shù)據(jù)時代，我們在處理生活中隨機事件時可以有據(jù)可循，概率就是我們進行決策的有力工具。在教學(xué)中，教師應(yīng)能幫助學(xué)生認識到，概率并非深不可測或充滿神秘，我們可以從理論上去度量它并為我們所用。究竟最終摸出哪種情況的確不得而知，但至少我們可以事先預(yù)測哪種情況被摸出的可能性更大。“最終摸出哪種情況”和“哪種情況更容易被摸出”是兩碼事，前者“只有摸了才知道”，而后者是“在不摸的情況下進行預(yù)測”。概率知識就是幫助我們對隨機事件結(jié)果進行合理預(yù)測的手段，而至于最終“真正摸出的那種情況”與“理論上更容易被摸出的情況”是否正好一致則無法肯定，因為隨機事件中每個結(jié)果出現(xiàn)的概率都不是100%，小概率的結(jié)果也有可能發(fā)生。第二，對頻率概率而言，加強學(xué)生的“數(shù)據(jù)意識”。在相同條件下的大量重復(fù)試驗中，一次結(jié)果具有隨機性但總體結(jié)果則具有穩(wěn)定性和規(guī)律性，這里的穩(wěn)定性和規(guī)律性是指各類結(jié)果的相對頻率漸趨明朗，它們發(fā)生的概率可以被大概估計。顯然，從“過往經(jīng)驗”估計“將來結(jié)果”的過程是基于數(shù)據(jù)的統(tǒng)計推理過程。只要試驗次數(shù)足夠多，我們對某個結(jié)果發(fā)生概率的估計就越準確。在教學(xué)中，教師應(yīng)能幫助學(xué)生認識到概率和統(tǒng)計的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識，引導(dǎo)其在實際的統(tǒng)計活動中感受概率的相對大小，并發(fā)展其統(tǒng)計推理和歸納思維能力。

3 “代表性啟發(fā)”

如前所述，在古典概率問題中概率是可以通過理論被計算出來的。例如，一個盒子里有2個黑球和2個白球，如果我們問“從盒子里摸出2個球，摸出‘1個黑球和1個白球與摸出‘2個白球兩種情況哪種概率大”。很多學(xué)生能夠斷定摸出“1個黑球和1個白球”的概率大，但是他們給出的理由則完全不是依據(jù)“計算”得來的：他們傾向于認為這種“混合結(jié)果”更具有“代表性”或“一般性”，而“兩個都是白球”這種情況太“極端”或“特殊”[23][24]。例如，有學(xué)生認為“1個黑球和1個白球這種黑白搭配比較容易出現(xiàn)，兩個都是白的太難了”，“不可能那么巧兩個都是白的，1個黑的1個白的比較正?！?，等等。

究其原因，他們一方面對概率的“可度量性”認識不足，更不能找到可靠的辦法（即，基于列舉法求概率）將它計算出來。這里不再贅述。另一方面，這也反映了這部分學(xué)生習(xí)慣從“主觀感知”或“直覺認識”的角度看待概率問題。更具體地說，這在一定程度上反映了他們認識事物時所表現(xiàn)出的“中庸思維”，在決策時常常傾向于“遠離極端結(jié)果，親近一般結(jié)果”。

如何幫助學(xué)生擺脫這類錯誤認識？筆者認為：第一，如前所述，加強學(xué)生對概率“可度量性”的認識，這里不再贅述。第二，正確看待學(xué)生概率認知中的直覺因素。概率內(nèi)容具有情境性和直覺性[25]。學(xué)生在正式接觸概率之前已然積累了大量與之有關(guān)的生活經(jīng)驗，因而他們對概率的理解不可避免地摻雜了直覺的因素[24]。直覺在兒童的概率認知中扮演著重要角色。但直覺有兩面性，不良的直覺會有害無益。教師要引導(dǎo)學(xué)生：概率研究的雖然是“不確定性”，但是我們在概率推理或決策時實則有據(jù)可循，而不能把生活中的經(jīng)驗完全嫁接到概率問題中去。如果盒子里有10個白球和1個黑球，摸出“1個白球和1個黑球”的概率仍然比摸出“2個白球”的大嗎？這時候類似于“兩種不同顏色搭配更加容易，而兩個都是白的太難了”的解釋是否顯得蒼白無力了呢？事件的概率不以我們的意愿而改變，我們要做的是根據(jù)具體情況進行分析，而不能過分地將自己的意識強加在這個過程中，所謂的“更具有代表性的結(jié)果”只不過是我們主觀的意愿，它無法左右事件的概率，也無法有效解釋概率。

4 “等可能性偏見”

Lecoutre發(fā)現(xiàn)[26]，當我們用外形均勻的物體進行隨機試驗時，人們常常不顧各類結(jié)果概率大小的差異，而一味地認為所有結(jié)果的概率相等。仍以上述“摸球”任務(wù)為例，一個盒子里有2個黑球和2個白球，如果我們問“從盒子里摸出2個球，摸出‘1個黑球和1個白球與摸出‘2個白球兩種情況哪種概率大”?？傆腥藭J為“兩者的可能性一樣大”，因為“所有結(jié)果的可能性大小相等”。李俊進一步發(fā)現(xiàn)[16]，學(xué)生的“等可能性偏見”實際上有兩種基本類型：一類認為所有結(jié)果發(fā)生的機會都是“一半一半”的，它們的概率都是50%；一類則是根據(jù)他們能夠想到的可能結(jié)果進行“計算”而來，假如某學(xué)生認為上述試驗共有3種可能的結(jié)果——“2個都是白球，2個都是黑球，1個黑球和1個白球”，他則斷定每個結(jié)果的概率都是1/3。學(xué)生的“等可能性偏見”是十分普遍和難以消除的。研究發(fā)現(xiàn)[19]，前一種“等可能性偏見”隨年級增長有所消除，后一種“等可能性偏見”則隨年級增長不降反升。

兩類“等可能性偏見”的原因有同有異。相同之處在于：第一，它們都是對“等可能性”的曲解。例如，擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，所有可能結(jié)果為{1，2，3，4，5，6}，每個結(jié)果是“等可能”的；擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所有可能結(jié)果為{（1，1），（1，2），…（1，6）；（2，1），（2，2），…（2，6）；（3，1），（3，2），…（3，6）；（4，1），（4，2），…（4，6）；（5，1），（5，2），…（5，6）；（6，1），（6，2），…（6，6）}，每個結(jié)果也是“等可能”的（它們是基本事件），但擲出“1和2”（它不是基本事件）與“兩個1”的概率則是不相等的。再如上述摸球的例子，所有可能的結(jié)果為{白1白2，白1黑2，白2黑2，黑1黑2，黑1白1，黑1白2}，每個結(jié)果是“等可能”的，但是“1個黑球和1個白球”與“2個白球”的概率則是不相等的，因為前者包含了結(jié)果中的4種情況。第二，它們都是“等分思維”惹的禍。等分思維是一種確定性思維，學(xué)生在對概率認識不足的情況下，其潛意識里的等分思維往往在其概率計算中扮演著重要的反面角色。在以往的訪談中常常聽到學(xué)生這樣的觀點：“既然這些結(jié)果都有可能發(fā)生，那么他們的可能性一樣大”。顯然，他們認為“都可能發(fā)生”就是“發(fā)生的機會一樣大”，因為“具體是什么結(jié)果只有發(fā)生了才知道，如果事先要判斷哪個結(jié)果更大，那只能用平等的眼光看待這些結(jié)果”。生活中這樣的例子比比皆是。以NBA球員投籃為例，根據(jù)官方統(tǒng)計，勇士隊控球后衛(wèi)庫里（Stephen Curry）的罰球命中率高達90%以上。在一次正常的罰球前，我們可以很有信心地認為“他進球的概率很大”：如果將庫里該次罰球與之前的1000次罰球連起來看（盡管每次罰球的球場環(huán)境、球員心態(tài)有所差異，但球員的總體罰球水準基本穩(wěn)定），根據(jù)他以往罰球的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以作出比較可靠的估計。而持有“等可能性偏見”的學(xué)生則會認為“球投出去后，要么進，要么不進?！M與‘不進的概率各為50%”。最后，兩類“等可能性偏見”的不同之處在于，前者完全沒有找到計算概率的可靠辦法，而后者則能夠認識到從隨機結(jié)果的樣本空間著手。盡管他們在構(gòu)造樣本空間時沒有窮盡所有可能的結(jié)果，但較前一類“等可能性偏見”而言，他們在思維上還是有所進步的。

如何幫助學(xué)生擺脫這類錯誤認識？筆者認為：第一，教師應(yīng)在“隨機性”與“概率”概念之間的過渡環(huán)節(jié)多下功夫。理解“隨機性”是學(xué)習(xí)概率內(nèi)容的前提，因為概率問題是建立在隨機事件之上的。學(xué)習(xí)隨機事件的重要環(huán)節(jié)是理解“可能”、“一定”、“不可能”等詞語的涵義，“可能”意味著“有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生”，但它無法說明“哪個更可能”。換言之，“可能”僅僅表示“結(jié)果的不確定性和多種可能性”，而尚不能據(jù)此判斷“有多大可能”，而至于“有多大可能”是后續(xù)概率內(nèi)容涉及的知識。而諸多研究表明，很多學(xué)生對這些詞語的理解不到位，進而萌生了各類錯誤認知[16]。例如，有學(xué)生認為“很可能發(fā)生”就是“必然會發(fā)生”，“不太可能發(fā)生”就是“絕對不會發(fā)生，“可能發(fā)生”就是“50%會發(fā)生”。為此，建議教師引導(dǎo)學(xué)生正確理解上述詞語的涵義，并將其與后續(xù)概率內(nèi)容形成聯(lián)系。第二，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將概率推理建立在可靠的依據(jù)之上。計算古典概率的可靠依據(jù)是“樣本空間”，體現(xiàn)的思維是演繹推理；估計頻率概率的可靠依據(jù)是“大數(shù)定律”，體現(xiàn)的思維是統(tǒng)計（歸納）推理。概率計算不僅依賴相應(yīng)知識基礎(chǔ)的發(fā)展，還依賴其數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。教師應(yīng)能在加強不同概率問題計算（估計）方法的基礎(chǔ)上，有意識滲透其潛在的數(shù)學(xué)思想方法。第三，對于如何糾正學(xué)生在上述“NBA球員罰球”例子中的錯誤，史寧中教授給筆者提供了一個十分巧妙的方法：如果某學(xué)生執(zhí)意認為“進”與“不進”的概率都是50%，那么教師可以反問他，“如果庫里與你同時罰球，你相信兩個人的命中率相等都是50%嗎？”

5 “模糊的樣本空間”

學(xué)生在復(fù)合事件概率問題上常常感到困難，原因在于他們?nèi)狈M合推理[27][28]及列舉樣本空間的能力[20][29]。例如，盒子里有2個白球和2個黑球，從中摸出兩個球，所有可能結(jié)果構(gòu)成的樣本空間為{白1白2，黑1黑2，白1黑1，白1黑2，白2黑1，白2黑2}。而有學(xué)生則常常將“白1黑1，白1黑2，白2黑1，白2黑2”這4種情況籠統(tǒng)地合并為一種（即，“1個黑球和1個白球”）或者兩種（即，“1黑1白”和“1白1黑”）。而研究表明[20]，這樣的混淆常常直接導(dǎo)致了他們在計算概率時出現(xiàn)錯誤。

究其原因，他們一方面被重復(fù)的樣本混淆了，一方面在對球進行組合時沒有找到可靠的策略[17]。

如何幫助學(xué)生擺脫這類錯誤認識？由于學(xué)生直到九年級上冊（人教版教材）才正式接觸“列舉法求概率”[30]，因此對這方面能力的培養(yǎng)尚不能操之過急。盡管如此，對教學(xué)有如下建議。第一，通過直觀的呈現(xiàn)方式幫助學(xué)生發(fā)展組合推理能力。事實上，學(xué)生在小學(xué)時就已經(jīng)接觸了簡單的組合知識[31]。例如，用1、2、3三個數(shù)字能組成幾個兩位數(shù)；每兩個人握1次手，3個人握手多少次；用一角、兩角、五角買一本五角的拼音本，有幾種買法？這說明，學(xué)生對于組合知識的學(xué)習(xí)有了一定的知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗。研究也證實[32]，低齡兒童在教師的指導(dǎo)下就能夠解決簡單的組合問題，因此在學(xué)習(xí)概率之前滲透組合推理能力的培養(yǎng)有其可行性與合理性。第二，在組合推理的基礎(chǔ)之上，發(fā)展學(xué)生對樣本空間概念的理解。如前所述，學(xué)生傾向于將表面相似的樣本合并為同一個樣本，這從側(cè)面反映了學(xué)生對樣本空間概念理解的缺失。誠然，這里的重復(fù)樣本給學(xué)生造成了不小的干擾。教學(xué)可從相對簡單的例子著手，例如“小明和小樂是男生，小夢和小貝是女生。現(xiàn)在需要從中選擇兩位同學(xué)為班級出黑板報，問共有幾種可能的選擇？”在此問題情境下，學(xué)生能夠相對容易地列舉所有6種可能的組合方式。老師不妨據(jù)此引導(dǎo)學(xué)生思考：在這6種可能的組合方式中，男男搭配有1種，女女搭配有1種，男女搭配有4種。而這與上述的摸球問題在組合推理層面是相似的，但是同學(xué)們被“表面相同”的搭配混淆了，實際上這些球的所有可能搭配也是6種。

6 結(jié)語

概率內(nèi)容與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有所差異，它研究的是“不確定性的數(shù)學(xué)”。概率內(nèi)容與日常生活的關(guān)系千絲萬縷，因而學(xué)生或多或少地都發(fā)展了一定的“經(jīng)驗性理解”。概率雖然具有直覺性，但它終究是有據(jù)可循的。學(xué)生關(guān)于概率認知的錯誤則大都肇始于不良的經(jīng)驗和直覺。對教師而言，除了了解學(xué)生概率認知中常見的錯誤以外，還應(yīng)該對其潛在的原因進行合理分析，并據(jù)此幫助他們擺脫這些錯誤。

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