數(shù)學(xué)整體性教學(xué)設(shè)計(jì)舉隅

汪洪潮

【摘 要】 數(shù)學(xué)知識(shí)有著內(nèi)在的邏輯關(guān)系，課堂教學(xué)要抓住知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，整體把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)學(xué)生思維的整體性訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的整體觀念.掌握研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路和基本方法，提高系統(tǒng)思維水平.

【關(guān)鍵詞】 整體性；基本套路；基本方法

近年來，“數(shù)學(xué)教學(xué)的整體性”越來越受到重視.人民教育出版社章建躍博士在《注重?cái)?shù)學(xué)的整體性，提高系統(tǒng)思維水平》一文中指出，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要“注重?cái)?shù)學(xué)的整體性”，“強(qiáng)調(diào)知識(shí)的邏輯連貫性”，加強(qiáng)對(duì)“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論和思考方法”的指導(dǎo).但在實(shí)際教學(xué)中，這種知識(shí)和方法的“整體性”要求與具體的課堂教學(xué)往往存在著矛盾.實(shí)現(xiàn)二者的統(tǒng)一是廣大教師努力追求的目標(biāo).如何在一堂課、一節(jié)內(nèi)容中實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)的整體性”要求呢？現(xiàn)以教學(xué)中的幾個(gè)案例進(jìn)行說明.

1 抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，立足對(duì)知識(shí)的整體把握

數(shù)學(xué)知識(shí)有著內(nèi)在的邏輯關(guān)系，課堂教學(xué)要抓住知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生整體構(gòu)建知識(shí)框架，培養(yǎng)學(xué)生的整體觀念.以下是滬科版八年級(jí)下冊(cè)《一元二次方程解法復(fù)習(xí)課》的教學(xué)片斷：

老師：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的概念及其解法，在此之前我們學(xué)習(xí)了哪些和方程有關(guān)的知識(shí)？

學(xué)生：我們學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組、分式方程的概念及其解法.

老師：解這些方程的基本思路是什么？理論依據(jù)是什么？

學(xué)生：將二元轉(zhuǎn)化為一元、將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，并最終將方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式.主要依據(jù)是等式的性質(zhì)、運(yùn)算律和合并同類項(xiàng)法則.

老師：解一元二次方程的基本思路是什么？

學(xué)生：將“二次”降為“一次”，即將一元二次方程ax2+bx+c=0轉(zhuǎn)化為x=a的形式.

老師：最初是如何實(shí)現(xiàn)的？能舉個(gè)例子嗎？

學(xué)生：根據(jù)平方根的定義，用“直接開平方法”求解，如x2=9，則x=±3.

老師：用這種方法能否解更一般的方程呢？如x2=p.

學(xué)生：可以，但要分p>0，p=0，p<0三種情況討論.

老師：“配方法”又是怎么得到呢？

學(xué)生：用“直接開平方法”可以解方程（x+1）2=3，將此方程展開、整理后就得到方程x2+2x-2=0，因此可以逆向思考，設(shè)法將方程x2+2x-2=0轉(zhuǎn)化為（x+1）2=3的形式，并求解，這就是“配方法”.

老師：“公式法”又是怎樣得到的？

老師：“配方法”和“公式法”有什么聯(lián)系？

學(xué)生：“配方法”是“公式法”的基礎(chǔ)，“公式法”其實(shí)就是省略了配方的過程.

老師：解一元二次方程和解二元一次方程組、解分式方程一樣，本質(zhì)上都是將不會(huì)解的“新方程”轉(zhuǎn)化為會(huì)解的“舊方程”，這里采用的方法是“降次”.各種不同解法之間是有密切聯(lián)系的，其中“直接開平方法”是基礎(chǔ)，配方法、公式法等是在它的基礎(chǔ)上變式應(yīng)用.

本片斷，教師引導(dǎo)回顧不同方程（組）的解法，揭示解方程的基本策略是“化歸”，即將不會(huì)解的“新方程”轉(zhuǎn)化為會(huì)解的“舊方程”.通過對(duì)“直接開平方法”、“配方法”、“公式法”推導(dǎo)過程的回顧，揭示各種解法之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生建立合理的邏輯過程，避免不同解法之間的割裂，在認(rèn)知上整體把握知識(shí)結(jié)構(gòu).通過回顧，再次感受特殊到一般、具體到抽象、分類討論等思想方法在解一元二次方程中的作用，而這些知識(shí)和方法與后續(xù)學(xué)習(xí)“根的判別式”、“二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)問題”等有密切聯(lián)系，為后期知識(shí)框架的重新構(gòu)建做了良好的鋪墊.

2 抓住數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本套路，類比學(xué)習(xí)新的知識(shí)系統(tǒng)

在數(shù)學(xué)中，每一個(gè)研究對(duì)象都是一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)部往往有某種穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，抓住這種結(jié)構(gòu)進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，可以簡(jiǎn)化新系統(tǒng)的學(xué)習(xí)過程，有效提高學(xué)習(xí)效率.在學(xué)習(xí)滬科版九年級(jí)下冊(cè)《圓的基本性質(zhì)》第一課時(shí)，按如下方式復(fù)習(xí)引入：

老師：從本章開始，我們學(xué)習(xí)圓的有關(guān)知識(shí)，學(xué)習(xí)什么？怎么學(xué)習(xí)？我們可以回顧三角形的學(xué)習(xí)歷程.

學(xué)生：三角形的定義——三角形的表示——三角形的相關(guān)要素及其關(guān)系（兩邊之和大于第三邊；三個(gè)內(nèi)角之和等于180°）——確定三角形的條件（三角形全等的判定方法）——三角形的性質(zhì)（等腰三角形的對(duì)稱性、直角三角形及勾股定理）——兩個(gè)三角形之間的關(guān)系（三角形相似）——三角形與四邊形的關(guān)系……

學(xué)生：研究三角形的常用方法有：觀察、操作、分析、比較、推理等.

老師：圓的有關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)也可以按照這樣的內(nèi)容和方法進(jìn)行.

學(xué)生在前面的幾何學(xué)習(xí)中已經(jīng)積累了三角形和四邊形的數(shù)學(xué)知識(shí)研究套路.圓作為初中幾何研究的基本對(duì)象，雖然它和三角形、四邊形是不同的圖形，但它的研究?jī)?nèi)容和方法與三角形、四邊形有許多相似之處.對(duì)于這種新圖形的學(xué)習(xí)，借鑒已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是非常必要的，回顧三角形相關(guān)內(nèi)容的研究歷程和方法，可以想象圓的研究?jī)?nèi)容和基本方法.通過回顧三角形的知識(shí)系統(tǒng)，想象圓的知識(shí)系統(tǒng)，可以有效引導(dǎo)學(xué)生用系統(tǒng)思維方法發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題.可以使學(xué)生在掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)的同時(shí)，發(fā)展“四能”及系統(tǒng)思維能力，有效積累方法遷移的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

同時(shí)，圓的學(xué)習(xí)內(nèi)容和研究方法也要納入到學(xué)生已有的知識(shí)體系中，通過橫向和縱向地聯(lián)系和類比，將三角形、四邊形與圓建立新的聯(lián)系，形成更加完整的知識(shí)體系.

3 提煉數(shù)學(xué)研究的基本方法，提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力

我們對(duì)世界的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)往往有一定的規(guī)律和方法.通過某一知識(shí)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)和掌握這種規(guī)律和方法比掌握知識(shí)本身更重要.因此，課堂教學(xué)中，不僅要關(guān)注知識(shí)層面，更要對(duì)學(xué)習(xí)的過程和方法給予重視，幫助學(xué)生養(yǎng)成“方法論”的意識(shí).在教學(xué)滬科版九年級(jí)下冊(cè)《圓的確定》一課時(shí)，進(jìn)行如下小結(jié)（PPT依次呈現(xiàn)）：

師生結(jié)合PPT，共同回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)和探究的歷程：

（1）由生活情境“一塊殘片復(fù)原”問題引出課題；

（2）把生活情境抽象成數(shù)學(xué)問題：已知一段弧，如何確定該弧所在的圓；

（3）提出問題：如何確定一個(gè)圓；

（4）思考問題：一個(gè)點(diǎn)能否確定一個(gè)圓；

（5）動(dòng)手操作得到反例，說明：一個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)圓；

（6）增加限制條件，提出問題：兩個(gè)點(diǎn)能否確定一個(gè)圓；

（7）繼續(xù)操作得到反例，說明：兩個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)圓；

（8）再增加限制條件，提出問題：三個(gè)點(diǎn)能不能確定一個(gè)圓；

（9）通過操作得到猜想：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓；

（10）進(jìn)行數(shù)學(xué)證明，得到結(jié)論：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓；

（11）應(yīng)用結(jié)論.

本課小結(jié)改變了“談一談本節(jié)課的收獲和體會(huì)”、“說一說本節(jié)課的疑惑”的空洞模式.引導(dǎo)學(xué)生回顧課堂學(xué)習(xí)的一般過程，感悟“發(fā)現(xiàn)問題”、“提出問題”、“分析問題”和“解決問題”的基本思路和方法.這樣的小結(jié)，還可以讓學(xué)生感受到“條件由少到多，對(duì)象由模糊到清晰”的基本規(guī)律，以及“一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，如果不成立，可以舉反例；如果成立，則必須進(jìn)行證明”的基本方法.這種規(guī)律和方法是今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基本方法，掌握它們有助于培養(yǎng)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)問題”、“提出問題”、“分析問題”和“解決問題”的能力.

數(shù)學(xué)知識(shí)是普遍聯(lián)系的，相同或相近的知識(shí)都構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)的研究方法往往是相同的，而不同系統(tǒng)間在方法和思路上也可以互相借鑒和補(bǔ)充.不同的數(shù)學(xué)對(duì)象往往具有各自穩(wěn)定的研究套路，但解決問題的基本思想和方法卻是相通的.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待問題，既要關(guān)注知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，又要及時(shí)總結(jié)研究問題的基本方法和套路，注重?cái)?shù)學(xué)的整體設(shè)計(jì)，著力培養(yǎng)學(xué)生的整體觀念，努力把學(xué)生培養(yǎng)成“既見樹木，又見森林”合格人才.

參考文獻(xiàn)：

[1] 章建躍.注重?cái)?shù)學(xué)的整體性，提高系統(tǒng)思維水平[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2015（3）：4-6.

[2] 章建躍，任黨華，郭建明.理解數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，提升思維教學(xué)水平[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2015（6）：14-19.