一道原創(chuàng)題的評析

河北省順平縣教育局教研室 鄭泉水 (郵編:072250)

一道原創(chuàng)題的評析

河北省順平縣教育局教研室 鄭泉水 (郵編:072250)

1 原題再現(xiàn)

圖1

(1)利用尺規(guī)作線段AD的垂直平分線l(不寫作法,但要保留作圖痕跡);

(2)若P是直線l上一點且滿足條件:位于線段AD的上方,∠PAD＝30°.連結(jié)PB、PC、PD.求證:PB＝PC;

(3)若點P′是點P關(guān)于直線AC的對稱點,連結(jié)P′B、P′C,求的值.

2 試題評析

本題為原創(chuàng)題,它是一道知識與能力并行的幾何綜合題,它將尺規(guī)作圖、幾何畫圖、幾何證明、幾何計算等知識有機地結(jié)合在一起.綜合考查學生的動手操作能力、邏輯推理能力、運算能力.試題起點低,三個小問題的難度依次遞進:第(1)問是學生熟知的尺規(guī)作圖—“作已知線段的垂直平分線”,在此基礎(chǔ)上,第(2)問學生需根據(jù)題意畫出圖形,然后展開幾何推理證明—利用三角形全等證明PB＝PC,這一問的難度也適中,多數(shù)學生不會存在問題;第(3)問的難度要稍大一些,學生除了根據(jù)題意畫出圖形外,還需運用“線段垂直平分線的性質(zhì)”“直角三角形中30°的角所對的邊等于斜邊的一半”“三角函數(shù)”“勾股定理”“用字母表示數(shù)(這里是線段)”等知識與方法展開運算,較好地體現(xiàn)了“考查核心主干知識”“考查通性通法”“能力立意”的命題理念.

3 試題解析

圖2

(1)利用尺規(guī)所作線段AD的垂直平分線l如圖2所示:

(2)因為P是線段AD垂直平分線上的點,

所以PA＝PD.

因為∠PAD＝30°,∠BAC＝120°,所以∠PDA＝30°,∠PDC＝150°,∠PAB＝150°.

所以△PAB≌△PDC(SAS).

所以PB＝PC.

(3)按題意畫出點P關(guān)于直線AC的對稱點P′,連結(jié)P′A.

因為點P′是點P關(guān)于直線AC的對稱點,

所以P′A＝PA,∠P′AD＝∠PAD＝30°.

因為∠BAC＝120°,即∠P′AB＝90°.

2017-05-15)