圓周率在中國的發(fā)展①

郝秀惠 房元霞

(聊城大學數(shù)學科學學院,山東聊城252059)

圓周率在中國的發(fā)展①

郝秀惠 房元霞

(聊城大學數(shù)學科學學院,山東聊城252059)

圓周率，幾何算法，劉徽，計算機

圓周率π表示圓的周長與直徑的比值，自有文字記載開始，它就成為了經(jīng)久不衰的話題．德國數(shù)學史家康托(Contor Georg,1845-1918年)曾說：“歷史上一個國家所算的圓周率的準確程度，可以作為衡量這個國家當時數(shù)學發(fā)展水平的指標．”在中國歷史上，圓周率作為一個系統(tǒng)的數(shù)學領(lǐng)域是處于時代前沿的，它的計算方法也比較領(lǐng)先．根據(jù)圓周率在中國歷史上的發(fā)展過程，我們可以將它的發(fā)展階段分為：試驗獲取階段、幾何算法階段、計算機時代．

在中國，圓周率的歷史要追溯到最早的古算書《周髀算經(jīng)》，這本書在周公與商高的問答中有所記載．另外，在《周禮考工記》中也有相同的記載．一直到《九章算術(shù)》中的方田、商功、少廣各章中凡是圓或圓的面積、圓柱、圓錐，用到周徑之比，都取π=3．秦漢之前皆取π=3，后人稱之為“古率”．古率的誤差很大，隨著社會的進步，人們開始進一步精確圓周率值．公元9年，西漢的劉歆為王莽造律嘉量斛，成為第一個改正古率的人．

在實驗獲取階段，人們是利用一些常用的刻度尺和其他的測量工具，或自制的圓來探索圓周率的，還處于圓周率探索初期，它的計算方法和測量工具相對來說都不是很科學．但是，他們的探索為以后科學家對圓周率的研究提供了一定的理論依據(jù)．

通過測量和推算所得到的圓周率是粗略的，隨著時間的推移，以及中國數(shù)學家的不懈努力，關(guān)于圓周率的計算過度到幾何算法階段．在中國歷史上，我們可以通過幾位數(shù)學科學家根據(jù)歷史脈絡來研究圓周率的推算過程．從張衡到劉徽，再到祖沖之，他們在歷史上不僅代表了某個歷史時期的數(shù)學發(fā)展狀況，還猶如歷史長河中的一條彩色綢帶，將圓周率的發(fā)展歷程連接起來．

1 張衡與圓周率

關(guān)于張衡對圓周率所做工作，在他之后的劉徽做過相關(guān)介紹，由劉徽的介紹，我們可以了解到張衡做了下列工作：

第三，“衡又言，質(zhì)六十四之面，渾二十五之面，質(zhì)復言渾，謂居質(zhì)八分之五也．”這是說，立方體：內(nèi)接球(質(zhì)：渾)=8∶5(這是錯誤的)．

根據(jù)劉徽對張衡工作的介紹與評價，我們不難看出，張衡除了出發(fā)點丸柱率有誤外，他的整個推導過程都是正確與精彩的．張衡對圓周率的研究，即便是在證明過程中存在錯誤，但他的思路和方法在當時也是先進的，在一定意義上開辟了一個新方向，為后人在圓周率方面的研究提供了依據(jù)和重要思路．

2 劉徽與圓周率

劉徽(225-295)是我國魏晉時期著名數(shù)學家，他把機械方法和極限思想應用于近似計算，在中國第一次提出求圓周率近似值的科學方法，創(chuàng)立了以幾何學求圓周率的方法，開創(chuàng)了中國數(shù)學之新紀元．

圖1 圓內(nèi)接正六邊形割圓

劉徽在求圓周率數(shù)值的過程，可以說是數(shù)學原理加上非理性因素雙重作用的結(jié)果．但對后來祖沖之對圓周率的研究做了進一步的鋪墊和引導．

3 祖沖之與圓周率

祖沖之(429-500年)，我國古代杰出的數(shù)學家、天文學家和機械制造家．他在圓周率上的貢獻是：利用算籌進行開方運算，將圓周率精確到小數(shù)點后7位．

祖沖之曾經(jīng)寫過一本著作《綴術(shù)》，記錄了他對圓周率的研究過程和成果，但當時由于不受官學重視，后來失傳．因此，在2008年出版的《科技導報》上，將“祖沖之究竟是怎樣計算出圓周率 值的？”列為公眾關(guān)注的未解科學難題之一，下面討論的也僅為各位數(shù)學家關(guān)于祖率的合理猜想．

根據(jù)推測，在前人劉徽工作的基礎上，祖沖之意識到可以通過增加割圓次數(shù)，提高圓周率的精度．但是π的精度不會超過邊長的有效數(shù)字，而有效數(shù)字隨著邊長的不斷增加而減小，或許這就是劉徽計算圓周率精度受到的理論限制．雖然史書上沒有他推算圓周率的過程，但根據(jù)《隋書·律歷志》：“古之九數(shù)，圓周率三，圓徑率一，其術(shù)疏舛．自劉歆、張衡、皮延宗之徒，各設新率，未臻折衷．宋末，南徐州從事史祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽；肭數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈肭二限之間．密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五．約率：圓徑七，周二十二．”我們可以得知：祖沖之求得3.141 592 6<π<3.141 592 7，密率：π=355/113(3.141 592 9)，約率：π=22/7(3.142)．據(jù)推測，祖沖之仍是按照劉徽的割圓術(shù)來進行推算的．他采用和劉徽相仿的方法，計算出S12 288=3.14 159 251方丈，S24 576=3.14 159 261方丈．代入劉徽不等式S2n

要得到這一精確度的結(jié)果，需要對9位數(shù)字的數(shù)進行130次以上的各種運算．在祖沖之時代，由于還沒有應用小數(shù)，因而在實際計算中常用分數(shù)來表示圓周率，這在工作量上無疑是一個大工程．因此，用密率355/113表示π的近似值，是一項偉大的貢獻．為此，傳到日本后，日本數(shù)學史家三上一夫1913年建議將祖沖之圓周率的密率數(shù)值命名為“祖率”，得到大家的一直贊同．祖沖之關(guān)于圓周率的探索，超過了世界水平1 000多年，在張景中《數(shù)學家的眼光》一書中指出：祖率與 的精確值誤差不超過0.000 000 267，這無疑是祖率的精妙和偉大之處．

4 圓周率的近代發(fā)展

近代以來，隨著中西方的頻繁交流，關(guān)于圓周率的計算方法和思想得到進一步的融合和發(fā)展．經(jīng)過幾千年的歷史，關(guān)于圓周率的計算仍未停止，尤其是計算機的出現(xiàn)，使得計算圓周率的腳步不斷加快，90年代初，新的計算方法已經(jīng)計算到圓周率的值達到4.8億位．為了紀念我國古代數(shù)學家對圓周率的研究，國際數(shù)學學會于2011年正式宣布，將每年的3月14日設為國際數(shù)學節(jié)，即“國際圓周率日”．

然而，我們都很清楚，圓周率是一個“無限不循環(huán)小數(shù)”，而且還是一個超越數(shù)．數(shù)學家之所以仍然對此繼續(xù)做相關(guān)研究，除了因為他們的好奇心或領(lǐng)先于人的心態(tài)在作怪，更重要的原因是，圓周率在生活中的巨大意義．因此，計算機時代的我們對于圓周率的關(guān)注，更傾向于它在生活中的應用．

如，鍛煉記憶方面：在節(jié)目《走近科學》中，來自海南的七旬老人在腦梗發(fā)作之后，經(jīng)過幾年的自我腦力訓練，將圓周率背誦到6 000多位．對于老人，神經(jīng)元在凋亡，記憶也在衰退，但他記憶圓周率的過程卻成了他鍛煉記憶的過程；檢驗計算機性能：在π計算的公式、時間等完全相同的條件下，如果甲機比乙機能計算出更多位的π值，則甲機性能好；借助計算機檢驗數(shù)學公式的優(yōu)劣：一臺計算機在相同的條件下，先后用不同的公式計算π到相同多的位數(shù)，用時少的那個公式更優(yōu)越；另外，圓周率的計算也為科學計算提供了很多信息，比如誤差的正負、大小，以及算法的加速等．

我們也不要過分夸大它對記憶力的訓練功能．2005年11月20日，西北農(nóng)林科技大學理學院應用化學專業(yè)在讀碩士生呂超成功創(chuàng)造了“背誦圓周率”吉尼斯世界新紀錄．在背誦圓周率的吉尼斯紀錄歷史上，第一次留下了中國人的名字《華商報》．但是，他付出了很大的代價和時間．這種鍥而不舍的精神值得我們稱頌，一個大學生背誦圓周率到9萬位，對他的生活和身心素質(zhì)有什么影響呢？計算機時代的青年人完全可以利用背誦圓周率的時間學到更多的東西．

5 總結(jié)

圓周率是一個神秘的數(shù)，隨著社會和科技的發(fā)展，以及人們對它的進一步研究，這個奇跡般的數(shù)將會出現(xiàn)在更多的領(lǐng)域里，有關(guān)它的計算和計算方法也將會得到進一步發(fā)展，其應用領(lǐng)域也會越來越多．當然，我們也要正確運用圓周率，使其促進當今科學與生活的進步．

[1] 強春晨，劉興祥，岳育英．圓周率計算方法發(fā)展史[J].延安大學學報：自然科學版，2012(2)：42.

[3] 莫紹揆．論張衡的圓周率[J]．西北大學學報：自然科學版，1996(26)：359．

[4] 切洛．劉徽與“割圓術(shù)”[J]．青海師范大學民族師范學院學報，2008(1)：68.

[5] 朱一文．從“以率消息”看劉徽圓周率的產(chǎn)生過程[J]．自然科學史研究，2008(1)：59-70．

[6] 魏徽．隋書．律歷志卷十六[M]．山海：上海古籍出版社，1986．

[7] 張惠民．祖沖之家族的天文歷算研究及其貢獻[J]．陜西師范大學學報：自然科學版，2002(4)：29．

[8] 王振東，姜楠．祖沖之與圓周率[J]．力學與實踐，2015(3)：405．

[9] 楊楠，豆戰(zhàn)鋒，劉興祥．圓周率在社會生活中的應用[J]．延安大學學報：自然科學版，2010(4)：41．

The Development of PI Algorithm in China

HAO Xiu-hui FANG Yuan-xia

(School of Mathematical Sciences,Liaocheng University,Liaocheng 252059,China)

PI algorithm，geometry，Liu Hui，computer

2017-02-19

山東省本科高校教學改革項目(2005M054)資助

房元霞，E-mail:fangyuanxia@lcu.edu.cn.

O632.0

A

1672-6634(2017)02-0020-04