在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的策略

黃麗敏

【摘 要】本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，論述在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的三種策略：在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維、逆用公式提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力、加強(qiáng)反證法的運(yùn)用等，以優(yōu)化教師高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 逆向思維 數(shù)學(xué)能力

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）06B-0128-02

逆向思維是一種創(chuàng)造性的思維方式，它對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著非常重要的意義，它也是數(shù)學(xué)思維中非常關(guān)鍵的部分。逆向思維指的是對那些司空見慣的、似乎已成定論的事物或觀點(diǎn)進(jìn)行反向思考的一種思維方式。如果高中生能夠在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中充分運(yùn)用逆向思維解決數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)能力將得到顯著提高。因此，教師十分有必要培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

一、培養(yǎng)高中生逆向思維的意義

人的思維過程通常包括兩大方向，其一為正向思維，其二為逆向思維。每一種思維模式都具有一定的邏輯性。其中正向思維通常是按照人們的想法習(xí)慣、慣性思路等去分析并解決問題，然而，習(xí)慣于運(yùn)用正向思維去思考問題也容易使人的思維產(chǎn)生局限性，特別是在解決數(shù)學(xué)問題時，常常會有正向思維解決不了的，又或者是解題過程繁瑣讓人感到力不從心，由此可見，學(xué)生僅僅依靠正向思維來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)具有一定的局限性，不但降低了解題效率，而且也不利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。逆向思維是將一些看似常規(guī)化的理論、結(jié)論等用非常規(guī)的思路去分析與解決問題，這種思維方式運(yùn)用在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上，不僅能突破思維慣性，還能拓展學(xué)生的思維空間。

在傳統(tǒng)的教學(xué)課堂，教師更傾向于采用正向思維教學(xué)法，讓學(xué)生通過正向思維來深入理解并分析問題，最終得出問題答案，然而，數(shù)學(xué)作為一項(xiàng)通用性科學(xué)，無論是理論學(xué)習(xí)還是生活實(shí)踐，都不能單純依靠正向思維，逆向思維也是必不可少的解題技能之一，學(xué)生只有具備了良好的逆向思維能力，并采用逆向思維方式來思考并解決問題，才能從根本上提高數(shù)學(xué)解題能力，提高自身的數(shù)學(xué)能力，也才能更好地適應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)，體會到數(shù)學(xué)的樂趣。

以最基本的關(guān)于“1”的變形為例，當(dāng)教師問學(xué)生，3-2 等于幾，學(xué)生會覺得這太簡單了，小學(xué)生都能回答，但是如果教師反過來問學(xué)生，1 等于什么，是不是只有 3-2 才能得到 1？讓學(xué)生聯(lián)系現(xiàn)階段所學(xué)過的知識來思考，還有什么可以等于 1，答案會有很多種，如，1=a0（a≠0），1=sin2α+cos2α……學(xué)生的思維因此而活躍起來，這就是逆向思維對學(xué)生數(shù)學(xué)能力拓展的最好證明。

二、培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的策略

（一）在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。任何一個數(shù)學(xué)知識模塊的學(xué)習(xí)都是從最基本的概念、性質(zhì)等入手，概念作為一種理論總結(jié)，是先人經(jīng)過長時間的學(xué)習(xí)、實(shí)踐逐漸總結(jié)出的，用來映射客觀規(guī)律的理論性概述。數(shù)學(xué)概念揭示了某種數(shù)學(xué)邏輯、數(shù)量關(guān)系、邏輯關(guān)系，是學(xué)生認(rèn)識客觀事物的基礎(chǔ)，傳統(tǒng)的概念教學(xué)過于死板老套，教師直接進(jìn)行概念陳述，或者將概念直接呈現(xiàn)在黑板上，要求學(xué)生機(jī)械地記憶，這樣的教學(xué)模式與方式不利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，淡化了思維能力教育。對此，教師必須轉(zhuǎn)變思路，培養(yǎng)學(xué)生從逆向角度來思考問題，通過逆向思維來挖掘概念中的潛在規(guī)律、隱形性質(zhì)等，讓學(xué)生更加深刻、深入地掌握概念。

如在學(xué)習(xí)“映射”的概念時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生做這樣的思考：設(shè) f：A→B 是集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A、B 中的元素對應(yīng)情況是怎樣的呢？通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生可以得出結(jié)論：集合 A 中的元素在集合 B 中都有唯一的一個象，因此集合 A 中不會有剩余，但是集合 B 中的元素可能有剩余，也就是說B中的元素有的可能沒有原象；因此對應(yīng)的形式可能會有“一對一”，也可能會有“多對一”，但是“一對多”的情況是不可能的。通過逆向思維，學(xué)生很快就掌握了“映射”的概念，這比死記概念要更容易被學(xué)生“消化”。

又如學(xué)習(xí)“等比數(shù)列”的概念時，教師可以這樣來引導(dǎo)學(xué)生思考：如果一個數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的定義，可知這個等比數(shù)列的首項(xiàng)及其后項(xiàng)都不可能是 0。再比如，平面幾何中直線與直線垂直的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。明白這個定義后，教師可以啟發(fā)學(xué)生從不同角度理解這個定義，并考慮這個定義在什么情況下應(yīng)用，怎樣應(yīng)用。讓學(xué)生明確它既可以作為直線與直線垂直的判定，也可以作為直線與直線垂直的性質(zhì)。這樣一來，學(xué)生對概念辨析更清楚，理解也更透徹。

（二）逆用公式提高解題能力。逆向思維能力實(shí)質(zhì)上也是一種發(fā)散思維能力，逆用公式對學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)有很大的幫助，通過對公式反復(fù)變形的方式來解題，從而培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

在整個的高中數(shù)學(xué)體系中，“三角函數(shù)”是一個非常重要的知識模塊，其中三角恒等變形是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，其中可能涉及多種解題方法、多種解答方式，教師可以利用這一知識模塊來對學(xué)生進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練，讓學(xué)生逆用公式，反復(fù)變形公式，以此來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

例如：假設(shè)， 那么sin4θ+cos4θ 的值是多少？

筆者要求學(xué)生提供兩種解題方法，學(xué)生開始回顧所學(xué)的三角函數(shù)關(guān)系式、公式并結(jié)合所提供的題目等來探究如何多方法解題。思考過后，學(xué)生提供以下兩種解題方法：

方法一：根據(jù)提問所求sin4θ+cos4θ 的值，將sin4θ+cos4θ 進(jìn)行變式，得到（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=1-（sin22θ）。又因?yàn)橐阎裕?。這是運(yùn)用正向思維思考后的解法，也是學(xué)生較為常用的解法。

方法二：已知二倍角公式：sin2θ=2sinθcosθ=，得出，所以，sin2θcos2θ=，又因?yàn)椋簊in4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θcos2θ，所以。方法二首先考慮的不是直接將問題所求的式子變式，而是先觀察已知的二倍角公式，通過對二倍角公式進(jìn)行化簡，得到關(guān)鍵的部分 sin2θcos2θ=，再將所求的式子進(jìn)行變式，最后代入相關(guān)數(shù)值即可。方法二其實(shí)就是對公式（a+b）2=a2+2ab+b2 的逆用，只有對公式（a+b）2=a2+2ab+b2 的變形熟記于心，才能快速解決這道題。

又如在等差數(shù)列教學(xué)中，已知前 n 項(xiàng)和公式為：，那么教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)此結(jié)論推導(dǎo)出與之相關(guān)聯(lián)的其他規(guī)律或結(jié)論。一些學(xué)生靈活巧妙地變形公式：由此可見，Sn 可以看成是一個關(guān)于自變量 n 的二次函數(shù)，其中常數(shù)項(xiàng)是 0，所以，Sn 也能夠通過待定系數(shù)法來計(jì)算，只需要先算出和 的值即可。未來在做題目時，再碰到等差數(shù)列的問題時，就可以通過推導(dǎo)出來的規(guī)律和結(jié)論來逆用公式。

學(xué)生經(jīng)過反復(fù)變形、推導(dǎo)，最終得出了一系列結(jié)論，這些結(jié)論都可以作為學(xué)生未來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的參考和參照，在這一過程中學(xué)生的思維能力得到了深入培養(yǎng)，也能產(chǎn)生更大的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生只有具備了興趣和能力，才能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上越走越遠(yuǎn)，學(xué)生也只有具備了一定的思維能力，才能真正領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的神奇，逆向思維能力的培養(yǎng)必然要在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)一席之地。

（三）加強(qiáng)反證法的運(yùn)用。反證法是通過推證“結(jié)論的反面是錯誤的”引出矛盾，從而肯定“結(jié)論本身是正確的”。反證法的特點(diǎn)是先提出與待證的結(jié)論相反的假設(shè)，然后推導(dǎo)與公理、定義、已證的定理或題設(shè)相矛盾的結(jié)果。這樣，就證明了與待證的結(jié)論相反的假設(shè)不成立，從而肯定了原來求證的結(jié)論成立。由此可見，反證法是逆向思維的重要方法。在教學(xué)中教師應(yīng)有意識地選編一些應(yīng)用反證法思考的問題，把它滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中去，對培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維很有必要。

例如：假設(shè)：m3+n3=2，證明：m+n≤2。

這道題如果通過正向思考來解決，必須先想方設(shè)法把m3+n3 化簡為含有 m+n 的形式，這個過程比較復(fù)雜，但是通過反證法或許就能快速證明。如證明在同等條件下，m+n≤2的反面 m+n>2不成立，那么 m+n≤2 就是成立的。因此教師可以引導(dǎo)學(xué)生猜想，如果 m+n>2，那么 m>2-n，所以，m3>8-12n+6n2-n3，那么 m3+n3>6n2-12n+8=6（n-1）2+2，因?yàn)?6（n-1）2+2≥2， 所以 m3+n3>2，這就與題目中的已知條件不符，所以 m+n≤2 成立。

在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師還需注重對學(xué)生舉一反三能力的培養(yǎng)，注重學(xué)生思維能力、靈活思考問題能力的培養(yǎng)，以此來達(dá)到高效教學(xué)的目標(biāo)。

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有一定的難度性和挑戰(zhàn)性，是對學(xué)生思維能力、邏輯能力的綜合考驗(yàn)，教師必須意識到高中階段學(xué)生思維能力培養(yǎng)的重要性，要積極加強(qiáng)對學(xué)生的引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，讓學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)思考能力，這樣才能使學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)與解題過程中掌握技巧，提高學(xué)習(xí)效率。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李秋香.以分層教學(xué)為主導(dǎo)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式探究[J].讀與寫（教育教學(xué)刊），2016（12）

[2]金遠(yuǎn)方.突破思維瓶頸優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)策略初探[J].讀與寫（教育教學(xué)刊），2016（12）

[3]王建輝.淺議高中生數(shù)學(xué)逆向思維能力的培養(yǎng)[J].新課程學(xué)習(xí)（學(xué)術(shù)教育），2010（6）

（責(zé)編 韋 力）