如何在幾何復(fù)習(xí)課中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

孔祥泉

人們把數(shù)學(xué)看成是思維的體操。幾何數(shù)學(xué)能力是指通過數(shù)學(xué)思維鍛煉具有的探索和創(chuàng)新能力、抽象邏輯思維能力、發(fā)散思維能力、直覺思維能力、應(yīng)用能力等。復(fù)習(xí)課是學(xué)生在已初步掌握了相應(yīng)知識后的再學(xué)習(xí)，因此在復(fù)習(xí)教學(xué)中，除應(yīng)對所學(xué)知識的重點(diǎn)知識進(jìn)行必要的講解形成知識鏈外，更重要的是做到以下兩個方面：第一方面總結(jié)歸納，即對所學(xué)知識作總結(jié)、引申和拓展，以使學(xué)生加深了解它的內(nèi)在聯(lián)系和內(nèi)部規(guī)律，理解、領(lǐng)悟到更深層次的數(shù)學(xué)思想方法；第二方面能力運(yùn)用，用所學(xué)知識解答各種相關(guān)的幾何問題，以不斷增強(qiáng)學(xué)生的思維能力和綜合素質(zhì)的培養(yǎng)。下面我們給出“梯形面積公式”復(fù)習(xí)課的一個設(shè)計方案，

一、熟能生巧——拼補(bǔ)法

首先，向?qū)W生提出如下兩個問題；

1.三角形和梯形的面積公式是怎樣推導(dǎo)出來的？（學(xué)生回答后出示圖一、圖二）

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圖一 圖二

2.上述兩個推導(dǎo)方法有何共同特點(diǎn)？

它們都是將其拼補(bǔ)成平行四邊形（此時面積擴(kuò)大了一倍），而平行四邊形面積的求法是已知的，于是原圖形的面積也就求出來，我們這種方法叫做“拼補(bǔ)法”。

二、逆向思考——分割法

1.在運(yùn)用拼補(bǔ)法求圖形的面積時，如果把拼補(bǔ)后的圖形（平行四邊形），視作整體拼補(bǔ)前的圖形（如梯形）便是“局部”因此拼補(bǔ)法的思路是：局部→整體→局部。

2.現(xiàn)在換個角度思考：我們能否運(yùn)用分割的方法，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形或平行四邊形。從而求得它的面積呢？在教師的啟發(fā)下，學(xué)生不難得出如圖三、圖四、圖五所示的三種方法。

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圖三 圖四 圖五

這些方法統(tǒng)稱為“分割法”

分割法與拼補(bǔ)法的思路正好相反，這里我們把梯形視作“整體”，則三角形或平行四邊形就是“局部”，可見分割法的思路是：整體→局部→整體。

三、拓展思維——圖形轉(zhuǎn)化法的應(yīng)用

學(xué)生掌握了上述基本思想方法后，給出如下一道例題，讓師生共同討論當(dāng)堂解答。

例1.如圖六，在梯形EFGH中，EF∥GH，GP是∠FGH的角平分線，且GP⊥EH，HP=2PE，又設(shè)GP把梯形分成面積為S1和S2的兩部分，求S1∶S2的值

分析：欲求S1∶S2的值，相當(dāng)于已知△GHP的面積為S1時，求四邊形EFGP的面積S2，而四邊形EFGH不是我們所熟知的特殊四邊形，因此可用圖形轉(zhuǎn)化法將其轉(zhuǎn)化為易計算面積的圖形，這就有了如下解法。

解：延長GF、HE，交于點(diǎn)Q，并設(shè)S△QFE的面積為S3因?yàn)镚P平分∠FGH，GP⊥HE，所以△GHQ為等腰三角形，由此易知S1=S2+S3，QH∶QE=4又∵EF∥GH∴△QEF∽△QGH∴S△QGH：S△QEF=QH2即2S1∶（S1-S2）=16，8S2=7S1，S2∶S1=7∶8

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圖六 圖七

說明：在作出△QGH后，運(yùn)用左平行線的方法，將△GPQ分成8個等積的小三角形，也可求得值。

四、能力提升——發(fā)展智力空間

完成上述教學(xué)過程后，要結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容與過程，給學(xué)生布置一些課后練習(xí)題；還可以為部分成績較好的學(xué)生布置少量難度較大的思考題，以通過他們來帶動全班學(xué)生積極思考，共同提高學(xué)生創(chuàng)造性思維的能力。下面便是一道不錯的思考題。

例2.如下圖，正方形EFGH的面積為1，M是邊AD上的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積。

分析易見，兩個陰影部分的面積△EPH和△MPG的面積是相等的，故只要求出S△EHP即可。為此，可將△GFM割下，拼在四邊形GMGH的下方（如圖，F(xiàn)M與EM重合，點(diǎn)G的新位置P1），易知H、E、P1和G、M、P1分別在一直線上，連接PP1。

（1）■易求；

（2）S△EPH=■=■

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于是S△EPH可求，步驟略。