利用“數(shù)形結(jié)合”思想優(yōu)化解決問題方法

馮俊瓊

“數(shù)形結(jié)合”思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，把抽象的數(shù)與直觀的形聯(lián)系起來，通過相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，主要表現(xiàn)在把抽象的數(shù)量關(guān)系與適當(dāng)?shù)膸缀螆D形相結(jié)合，從直觀圖形的特征去發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系，以達(dá)到化抽象為具體、化隱為顯、化繁為簡，快捷地解決問題的目的。在現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，用“數(shù)形結(jié)合”思想方法解決問題的例子非常普遍。本文結(jié)合教學(xué)實踐談?wù)劇皵?shù)形結(jié)合”思想在“解決問題”教學(xué)中的應(yīng)用。

一、“數(shù)形結(jié)合”幫助學(xué)生理解題意

從低年級起我就十分重視“數(shù)形結(jié)合”思想方法的滲透，深入挖掘教材中隱藏的“數(shù)形結(jié)合”思想方法，培養(yǎng)學(xué)生良好的解題習(xí)慣和意識。鼓勵學(xué)生遇到不易解決的問題時，不急于向教師或家長求助；而是耐心地多讀幾遍題目，聯(lián)系實際想想題目意思、動手?jǐn)[擺學(xué)具、畫畫實物圖、線段圖、數(shù)形圖、集合圖等，以研究者的心態(tài)來學(xué)習(xí)，逐步理解已知條件、問題的含義，及時發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，從而正確迅速地解決問題。

比如，教學(xué)“某城市向地震災(zāi)區(qū)捐玉米和水稻一共重10噸，玉米的質(zhì)量是水稻的4倍，玉米、水稻各重多少噸？”本題對于初學(xué)倍概念的小學(xué)三年級學(xué)生來說，理解題意特別是已知條件之間的聯(lián)系有一定困難。此時，啟發(fā)學(xué)生用圖形分別表示出玉米的質(zhì)量、水稻的質(zhì)量并觀察它們之間的聯(lián)系。學(xué)生紛紛行動起來。有的畫“○”表示，有的畫線段圖表示。

結(jié)合直觀圖學(xué)生立即明白：玉米的質(zhì)量是水稻的4倍，玉米和水稻一共重10噸，這兩個條件隱含著水稻質(zhì)量的5倍剛好是10噸這一關(guān)鍵信息。于是，問題迎刃而解。

二、“數(shù)形結(jié)合”引導(dǎo)學(xué)生探索解題途徑

1.以“形”助“數(shù)”

由于小學(xué)生具體形象思維占優(yōu)勢的特點，解決問題時，有必要借助圖形將抽象問題具體化，讓數(shù)量信息反映在圖形上，直觀地表示數(shù)量間的關(guān)系，從而獲得解題思路。尤其在解較復(fù)雜的問題時，恰當(dāng)借助于“形”，能促進(jìn)學(xué)生迅速找到解題途徑。

例如，有兩箱貨物，甲箱比乙箱多18噸，如果從乙箱取出12噸放入甲箱，則甲箱貨物是乙箱的2倍，甲箱原有貨物多少噸？

本題數(shù)量間的關(guān)系比較復(fù)雜，僅通過文字去理解題意，尋找解題途徑，對三年級的小學(xué)生而言有一定的難度，借助線段圖來分析，數(shù)量關(guān)系就會呼之即出，解題思路也一目了然。

由圖可知甲箱貨物為（12+18+12）的兩倍少12噸，列式為：（12+18+12）€？-12=72（噸）。

2.以“數(shù)”解“形”

雖然“形”具有直觀形象的優(yōu)勢，但也有其粗略、繁瑣和不便于表達(dá)的劣勢。只有以簡潔的數(shù)學(xué)語言描述、概括性的數(shù)學(xué)模型表達(dá)“形”的特性，才能更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)高度抽象化的魅力，使兒童更準(zhǔn)確地把握“形”。教學(xué)中常常需要用代數(shù)的方法研究幾何圖形的特征，研究其周長、面積、體積的計算公式等，使學(xué)生對形體直觀知覺進(jìn)一步深化。

比如，教學(xué)“長方形的面積計算”時，先觀察、憑直覺比較兩個大小相近的長方形面積，發(fā)現(xiàn)比不出結(jié)果，再用數(shù)方格的方法比，如果用面積單位去拼長方形，要準(zhǔn)備許多小正方形，不太方便，并且學(xué)生剪得不規(guī)則也影響觀察效果，經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)小楷本紙上每個方格的面積正好是1平方厘米，于是，引導(dǎo)學(xué)生在小楷本紙的格子上畫出一些長寬不同的長方形。通過觀察和思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了所畫長方形的面積與長、寬的關(guān)系，并概括出面積計算公式。

三、“數(shù)形結(jié)合”啟迪學(xué)生提升思維層次

解決問題是促進(jìn)學(xué)生綜合應(yīng)用知識，發(fā)展思維能力的重要手段?！皵?shù)形結(jié)合”使問題更形象、直觀，易于解決，為啟迪學(xué)生智慧，培養(yǎng)學(xué)生思維能力創(chuàng)造了更加有利的條件。解題結(jié)束后，引導(dǎo)學(xué)生概括解題思路，總結(jié)解題策略，反思解題過程中的經(jīng)驗、感受和體會，是提升思維層次、提高學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵。

例如，教學(xué)“一塊長200米、寬100米的長方形土地，如果寬不變，長增加100米后，面積增加了多少公頃？”

按常規(guī)思路，學(xué)生先算原來長方形的面積200€？00=20000（平方米）=2公頃，再算寬不變，長增加100米后得到的長方形的面積100€？00=30000（平方米）=3公頃，用3-2=1（公頃）求出增加的面積。此時，教師不滿足于這一結(jié)果。提示學(xué)生結(jié)合“形”思考或畫出簡圖思考：

學(xué)生驚喜地發(fā)現(xiàn)：增加部分的面就是一個邊長100米的正方形，列式為：100€？00=10000（平方米）=1公頃。解完本題后，讓學(xué)生說說通過解答本題你有什么感受？學(xué)生爭相著說：“以后解決問題要多畫畫簡圖，結(jié)合圖形來思考，問題會變得更加簡單?！薄皵?shù)形結(jié)合”探究問題，不但提高了探究學(xué)習(xí)的效率，學(xué)生的思維水平也得到了有效的提升。