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    格蘊(yùn)涵代數(shù)的Ω-模糊子代數(shù)*

    2017-07-31 20:56:07傅小波廖祖華
    計(jì)算機(jī)與生活 2017年7期
    關(guān)鍵詞:子代數(shù)蘊(yùn)涵同態(tài)

    傅小波,廖祖華

    1.無(wú)錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院,江蘇 無(wú)錫 214121

    2.江南大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 無(wú)錫 214122

    格蘊(yùn)涵代數(shù)的Ω-模糊子代數(shù)*

    傅小波1,廖祖華2+

    1.無(wú)錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院,江蘇 無(wú)錫 214121

    2.江南大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 無(wú)錫 214122

    +Corresponding author:E-mail:liaozuhua57@aliyun.com

    FU Xiaobo,LIAO Zuhua.Ω-fuzzy subalgebra in lattice implication algebra.Journal of Frontiers of Computer Scienceand Technology,2017,11(7):1183-1190.

    給定一個(gè)集合Ω,將Ω-模糊集與格蘊(yùn)涵代數(shù)相結(jié)合,引入了格蘊(yùn)涵代數(shù)Ω-模糊子代數(shù)的概念,并研究了其相關(guān)性質(zhì);給出了格蘊(yùn)涵代數(shù)Ω-模糊子代數(shù)的若干等價(jià)刻畫(huà),討論了格蘊(yùn)涵代數(shù)Ω-模糊子代數(shù)與格蘊(yùn)涵代數(shù)子代數(shù)之間的相互關(guān)系;研究了格蘊(yùn)涵代數(shù)Ω-模糊子代數(shù)在Ω-模糊集下交、并等運(yùn)算下的基本性質(zhì);討論了格蘊(yùn)涵代數(shù)Ω-模糊子代數(shù)的同態(tài)像與同態(tài)原像的基本性質(zhì);最后研究了格蘊(yùn)涵代數(shù)Ω-模糊子代數(shù)的直積與投影。

    格蘊(yùn)涵代數(shù);模糊Ω-子代數(shù);同態(tài);直積

    1 引言

    1965年,美國(guó)著名的控制論專家Zadeh提出了模糊集的概念[1],目前,模糊集的思想已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。1971年,Rosenfeld將模糊集的思想與群相結(jié)合,在文獻(xiàn)[2]中提出了模糊子群的概念,開(kāi)創(chuàng)了模糊代數(shù)的研究新領(lǐng)域。1975年,Zadeh對(duì)模糊集做了進(jìn)一步的推廣,在文獻(xiàn)[3]中提出了區(qū)間值模糊集。1980年,劉應(yīng)明在文獻(xiàn)[4-5]中提出了模糊點(diǎn)和模糊集間的“∈(屬于)”和“q(重于)”關(guān)系。1992—1996年Bhakat和Das利用模糊點(diǎn)和模糊集間的“∈(屬于)”和“ q(重于)”關(guān)系,給出了(∈,∈∨q)-模糊子群的定義,并研究相關(guān)的性質(zhì)[6-8]。2006年,廖祖華等人把模糊點(diǎn)和模糊集間的“q(重于)”關(guān)系推廣為“q(λ,μ)(廣義重于)”關(guān)系,獲得許多有意義的結(jié)果[9-11]。2001年,Young等人在文獻(xiàn)[12]中提出了Ω-模糊集,并將其與BCK/BCI代數(shù)相結(jié)合,給出BCK/BCI代數(shù)的Ω-模糊理想的概念。2008年,彭家寅對(duì)Ω-模糊集做了進(jìn)一步的研究,先后給出了BCI代數(shù)的Ω-模糊 p-理想和Ω-模糊H-理想的概念,BCH-代數(shù)的Ω-模糊正定關(guān)聯(lián)理想的概念,以及BCH-代數(shù)的Ω-模糊點(diǎn)理想的概念等[13-16]。2013年,廖祖華等人將Ω-模糊集與群和環(huán)相結(jié)合,并對(duì)相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行了研究,獲得了許多有意義的結(jié)果[17-20]。同年,劉衛(wèi)鋒將Ω-模糊集應(yīng)用于布爾代數(shù),給出了Ω-模糊子代數(shù)的概念[21]。2015年,湯華晶等人將Ω-模糊集與軟集理論相結(jié)合,提出了Ω-模糊軟環(huán)的概念[22]。

    1993年,徐揚(yáng)在Fuzzy蘊(yùn)涵代數(shù)[23]基礎(chǔ)上引入格蘊(yùn)涵代數(shù)的概念[24]。2003年,徐揚(yáng)等人將格蘊(yùn)涵代數(shù)相關(guān)的研究成果在德國(guó)施普林格出版社出版了專著[25]。隨后,眾多學(xué)者對(duì)格蘊(yùn)涵代數(shù)做了進(jìn)一步的研究,獲得了許多有意義的結(jié)果[26-29]。本文將Ω-模糊集的思想和方法應(yīng)用于格蘊(yùn)涵代數(shù),提出了格蘊(yùn)涵代數(shù)的Ω-模糊子代數(shù)的概念,得到了一些有意義的結(jié)果。

    2 預(yù)備知識(shí)

    定義1[25]設(shè) (L,∨,∧,',→,O,I)是有界格,O 是最小元,I是最大元,':L→L是格中偏序≤的逆序?qū)蠈?duì)應(yīng),→:L×L→L是一個(gè)映射。稱(L,∨,∧,',→,O,I)是一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù),如果?x,y,z∈L,滿足下列條件:

    (1)x→(y→z)=y→(x→z)

    (2)x→x=I

    (3)x→y=y'→x'

    (4)若 x→y=y→x=I,則 x=y

    (5)(x→y)→y=(y→x)→x

    (6)(x∨y)→z=(x→z)∧(y→z)

    (7)(x∧y)→z=(x→z)∨(y→z)簡(jiǎn)稱為L(zhǎng)是格蘊(yùn)涵代數(shù)。

    引理1[25]設(shè)L是格蘊(yùn)涵代數(shù),?x,y∈L,則:

    (1)O→x=I,x→I=I,I→x=x,x→O=x'

    (2)x≤y當(dāng)且僅當(dāng)x→y=I

    (3)x∨y=(x→y)→y

    定義2[25]設(shè)A?L,稱A是L的一個(gè)格蘊(yùn)涵子代數(shù),如果滿足下列條件:

    (1)(A,∨,∧,')是 (L,∨,∧)的帶有逆序?qū)?'有界子格;

    (2)若 x,y∈A,則有 x→y∈A。

    引理2[25]L是格蘊(yùn)涵代數(shù),A是L的一個(gè)非空子集,則A是L的一個(gè)格蘊(yùn)涵子代數(shù),如果?x,y∈L,滿足下列條件:

    (1)O∈A

    (2)若 x,y∈A,則x→y∈A

    定義3[25]L是格蘊(yùn)涵代數(shù),稱L非空子集A是L的一個(gè)模糊格蘊(yùn)涵子代數(shù),如果?x,y∈L,滿足下列條件:

    (1)A(I)=A(O)

    (2)A(x→y)≥A(x)∧A(y)

    引理3[24]設(shè)A是L的一個(gè)模糊格蘊(yùn)涵子代數(shù),則?x∈L,A(I)=A(O)≥A(x)。

    定義4[25]設(shè)L、M是格蘊(yùn)涵代數(shù),稱蘊(yùn)涵同態(tài)f:L→M為格蘊(yùn)涵同態(tài),如果?x,y∈L,滿足下列條件:

    (1)f(x→y)=f(x)→f(y)

    (2)f(x∨y)=f(x)∨f(y)

    (3)f(x∧y)=f(x)∧f(y)

    (4)f(x')=(f(x))'

    設(shè)映射 f:L→M為格蘊(yùn)涵同態(tài),若 f是單射,則稱 f是單同態(tài);若 f是滿射,則稱 f是滿同態(tài);若 f是雙射,則稱 f是同構(gòu)。

    引理4[25]設(shè)L、M是格蘊(yùn)涵代數(shù),映射 f:L→M為滿格蘊(yùn)涵同態(tài),則 f(O)=O。

    定義5[25]設(shè) L1、L2是格蘊(yùn)涵代數(shù),規(guī)定(L1×L2,∨,∧,',→,O,I)的運(yùn)算如下:?x,y∈L1×L2,x=(x1,x2),y=(y1,y2),其中 xi,yi∈Li(i=1,2)。

    (1)x∧y=(x1∧x2,y1∧y2)

    (2)x∨y=(x1∨x2,y1∨y2)

    (3)x'=(x1',x2')

    (4)x→y=(x1→x2,y1→y2)

    (5)O=(O,O),I=(I,I)

    引理5[25]L1×L2在定義5運(yùn)算規(guī)定下構(gòu)成一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù)。稱L1×L2為格蘊(yùn)涵代數(shù)L1、L2的乘積格蘊(yùn)涵代數(shù),簡(jiǎn)稱為直積。

    定義6[29]設(shè) A、B分別是格蘊(yùn)涵代數(shù)L1、L2的模糊子集,?(x,y)∈L1×L2,定義映射

    則A×B是L1×L2的模糊子集,并稱A×B為A、B的直積。

    定義7[17]設(shè)X為論域,Ω為非空給定集合,映射A:X×Ω→[0,1]稱為X的Ω-模糊集。

    3 格蘊(yùn)涵代數(shù)的Ω-模糊子代數(shù)

    下面給出格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)的概念,并研究它們的等價(jià)刻畫(huà)及其相關(guān)的性質(zhì)。

    定義8設(shè)A:L×Ω→[0,1]是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊集,稱A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù),如果?δ∈Ω ,?x,y∈L,滿足下列條件:

    (1)A(O,δ)≥ A(x,δ)

    (2)A(x→ y,δ)≥A(x,δ)∧A(y,δ)

    定理1設(shè)A:L×Ω→[0,1]是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊集,A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù),則?δ∈Ω ,?x,y∈L,有下列性質(zhì)成立:

    (1)A(I,δ)=A(O,δ)≥ A(x,δ)

    (2)A(x,δ)=A(x',δ)

    (3)A(x∨ y,δ)≥A(x,δ)∧A(y,δ)

    (4)A(x∧ y,δ)≥A(x,δ)∧A(y,δ)

    證明(1)?δ∈Ω,?x∈L,一方面,因?yàn)?A是格蘊(yùn)涵代數(shù) L 的 Ω-模糊子代數(shù),故 A(O,δ)≥A(x,δ),取x=I,則 A(O,δ)≥ A(I,δ);另一方面,A(I,δ)=A(O → O,δ)≥A(O,δ)∧ A(O,δ)=A(O,δ),綜上所述,A(I,δ)=A(O,δ)≥A(x,δ)。

    (2)?δ∈Ω ,?x∈L,因?yàn)?A是格蘊(yùn)涵代數(shù) L的Ω-模糊子代數(shù),由引理1可知,一方面,A(x,δ)=A(I→ x,δ)=A(x'→ I',δ)=A(x'→ O,δ)≥ A(x',δ)∧ A(O,δ)=A(x',δ);另一方面,A(x',δ)=A(x→O,δ)≥A(x,δ)∧A(O,δ)=A(x,δ),綜上所述,A(x,δ)=A(x',δ)。

    (3)?δ∈Ω ,?x,y∈L,因?yàn)?A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù),所以由引理1可知,A(x∨y,δ)=A((x→ y)→y,δ)≥A(x→ y,δ)∧A(y,δ)≥(A(x,δ)∧A(y,δ))∧A(y,δ)=A(x,δ)∧ A(y,δ)。

    (4)?δ∈Ω ,?x,y∈L,A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的 Ω-模糊子代數(shù),因此由引理1及定理1的(2)和(3)可知,A(x∧ y,δ)=A((x∧ y)',δ)=A(x'∨ y',δ)≥ A(x',δ)∧ A(y',δ)=A(x,δ)∧A(y,δ)。 □

    例1設(shè)L={O ,a,b,I} ,L上的運(yùn)算 ∨、∧、→ 和′的定義如表1~表4,則L={O ,a,b,I}是一個(gè)格蘊(yùn)涵代數(shù)[25]。

    (1)L的模糊集A1:L→[0,1],若令:

    則A1是L的滿足定義2的模糊格蘊(yùn)涵子代數(shù);給定一個(gè)模糊集 Ω ,?δ∈Ω,?x∈L,A:L×Ω→[0,1],若令A(yù)(x,δ)=A1(x),則 A同樣是L的滿足定義8的Ω-模糊子代數(shù)。

    (2)L的模糊集A2:L→[0,1],若令:

    Table1 Operator“ ∨ ”表1 運(yùn)算“∨”

    Table2 Operator“ ∧ ”表2 運(yùn)算“∧”

    Table 3 Operator“ → ”表3 運(yùn)算“→”

    Table 4 Operator“ '”表4 運(yùn)算“'”

    則A2不是L的滿足定義3的模糊格蘊(yùn)涵子代數(shù);給定一個(gè)模糊集 Ω={0.6,0.4},?δ∈Ω,?x∈L,A:L×Ω→[0,1],若令:

    則A是L的滿足定義8的Ω-模糊子代數(shù)。

    由例1可知,Ω-模糊子代數(shù)是一種全新的代數(shù)結(jié)構(gòu),不同于現(xiàn)有的模糊子代數(shù)。模糊子代數(shù)是Ω-模糊子代數(shù)的一種特殊形式(A(x,δ)=A(x))。下面來(lái)研究Ω-模糊子代數(shù)相關(guān)的性質(zhì)。

    定理2設(shè)A:L×Ω→[0,1]是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊集,A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)??λ∈是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的子代數(shù),其中

    證明“ ? ”?δ∈Ω ,因?yàn)?,所以存在,?A(x0,δ)≥λ。因?yàn)?A是格蘊(yùn)涵代數(shù) L的Ω-模糊子代數(shù),所以 A(O,δ)≥A(x,δ)≥λ,即;若且,則 A(x,δ)≥λ 且 A(y,δ)≥λ ,從而A(x→y,δ)≥A(x,δ)∧A(y,δ)≥λ,A(x→y,δ)>λ,即 x→。因此,是L的子代數(shù)。

    “ ? ”?δ∈Ω ,假設(shè)存在 x0∈L ,使得 A(O,δ)<A(x0,δ),取 λ 滿足 A(O,δ)< λ≤A(x0,δ),則 A(x0,δ)≥ λ,A(O,δ)< λ ,所以。因?yàn)槭荓的子代數(shù),所以,即 A(O,δ)≥λ,與 A(O,δ)<λ矛盾。因此?δ∈Ω ,?x∈L ,A(O,δ)≥ A(x,δ)。

    ?δ∈Ω,假設(shè)存在 x0,y0∈L ,使得 A(x0→y0,δ)<A(x0,δ)∧A(y0,δ),取 λ 滿足 A(x0→y0,δ)< λ ≤A(x0,δ)∧A(y0,δ),則 A(x0,δ)≥ λ,A(y0,δ)≥ λ ,A(x0→y0,δ)< λ ,從而。因?yàn)槭?L 的子代數(shù),,所以,與 x0→矛盾。因此 ?δ∈Ω 及 ?x,y∈L,A(x→y,δ)≥A(x,δ)∧ A(y,δ)。

    綜上所述,A是格蘊(yùn)涵代數(shù) L的Ω-模糊子代數(shù)。 □

    類(lèi)似于定理2的證明,可得定理3。

    定理3設(shè)A:L×Ω→[0,1]是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊集,A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)?是 L的子代數(shù),其中A(x,δ)> }λ,?δ∈Ω 。

    定理4是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)?是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的子代數(shù)。

    證明“ ? ”由于,故存在 x0∈S,即,由于是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù),故 ?x∈L,?δ∈Ω ,,取 x=x0,則

    綜上所述,S≠?是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的子代數(shù)。

    “ ? ”?δ∈Ω ,由于 S≠? 是 L的子代數(shù),故0∈P,從 而,因 此 ?x∈L,。假設(shè)存在 x0,y0∈S ,使得取因?yàn)槭?S的 Ω-模糊特征函數(shù),所以

    推論1是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的子代數(shù)。

    定理5設(shè) A:L×Ω→[0,1]是L的Ω-模糊集,A是L的Ω-模糊子代數(shù)?Aδ是L的模糊子代數(shù),其中 Aδ:L→[0,1]:Aδ(x)=A(x,δ),?x∈L ,?δ∈Ω 。

    證明“?”若A是L的Ω-模糊子代數(shù),則?δ∈Ω,?x,y∈L,一方面,Aδ(0)=A(0,δ)≥A(x,δ)=Aδ(x);另一方面,Aδ(x→ y)=A(x→ y,δ)≥ A(x,δ)∧ A(y,δ)=Aδ(x)∧ Aδ(y)。

    綜上所述,Aδ是L的模糊子代數(shù)。

    “ ? ”若 Aδ是 L 的模糊子代數(shù),則 ?δ∈Ω,?x,y∈L,由定義 8 可知,一方面,A(0,δ)=Aδ(0)≥ Aδ(x)=A(x,δ);另一方面,A(x→y,δ)=Aδ(x→ y)≥Aδ(x)∧ Aδ(y)=A(x,δ)∧A(y,δ)。

    綜上所述,A是L的Ω-模糊子代數(shù)。 □

    定理6設(shè) A:L×Ω→[0,1]是L的Ω-模糊集,A是L的Ω-模糊子代數(shù),則 Aσ是L的Ω-模糊子代數(shù),其中

    證明?δ∈Ω ,?x,y∈L ,一方面,由 Aσ(x,δ)的定義可知,另一方面,因?yàn)锳是L的Ω-模糊子代數(shù),所以

    綜上所述,Aσ是L的Ω-模糊子代數(shù)。 □

    定理7若A、B是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù),則A?B是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)。

    證明若A、B是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù),則?δ∈Ω ,?x,y∈L,一方面,

    另一方面,

    綜上所述,A?B是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)。 □

    推論2若Ai(i∈I)是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù),則?i∈IAi是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)。

    引理6若Ai(i∈I)是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊集,當(dāng) i≤j時(shí),Ai?Aj,則 ?x,y∈L,?δ∈Ω,∨i∈I(Ai(x,δ)∧Ai(y,δ))=(∨i∈IAi(x,δ))∧(∨i∈IAi(y,δ))。

    證明?x,y∈L ,?δ∈Ω ,顯然 ∨i∈I(Ai(x,δ)∧Ai(y,δ))≤(∨i∈IAi(x,δ))∧(∨i∈IAi(y,δ))成立。若 ∨i∈I(Ai(x,δ)∧Ai(y,δ))≠(∨i∈IAi(x,δ))∧(∨i∈IAi(y,δ)),從而有 ∨i∈I(Ai(x,δ)∧ Ai(y,δ))<(∨i∈IAi(x,δ))∧(∨i∈IAi(y,δ)),選 取 r 滿 足∨i∈I(Ai(x,δ)∧ Ai(y,δ))< r<(∨i∈IAi(x,δ))∧(∨i∈IAi(y,δ))。因?yàn)閷?duì)于所有的 i,j∈I,Ai?Aj,或者 Ai?Aj,所以存在k∈I,使得 Ak(x,δ)∧Ak(y,δ)>r;另一方面,對(duì)于所有的i∈I,Ai(x,δ)∧Ai(y,δ)<r,矛盾。因此,?x,y∈L,?δ∈Ω,∨i∈I(Ai(x,δ)∧ Ai(y,δ))=(∨i∈IAi(x,δ))∧ (∨i∈IAi(y,δ))。 □

    定理8設(shè) Ai:L×Ω→[0,1](i∈I)是 L的 Ω-模糊集,若 Ai(i∈I)是L的Ω-模糊子代數(shù),且當(dāng)i≤j時(shí),Ai?Aj,則 ?i∈IAi是 L 的 Ω-模糊子代數(shù)。

    證明若 Ai(i∈I)是L的Ω-模糊子代數(shù),則?x,y,z∈L,?δ∈Ω ,由定義8可知,一方面,

    (?i∈IAi)(0,δ)= ∨i∈IAi(0,δ)≥ ∨i∈IAi(x,δ)=(?i∈IAi)(x,δ)另一方面,

    綜上所述,?i∈IAi是L的Ω-模糊子代數(shù)。 □

    設(shè)A是X的一個(gè)Ω-模糊子集,0≤k≤1,?x∈X,?δ∈Ω ,定義 A∨k,A∧k如下:

    定理9若A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù),則A∧k是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)。

    證明若A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù),則?δ∈Ω ,?x,y∈L,一方面,

    (A∧k)(O,δ)=A(O,δ)∧k≥A(x,δ)∧k=(A ∧ k)(x,δ)另一方面,

    綜上所述,A∧k是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)。 □

    定理10若A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù),則A∨k是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)。

    證明若A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù),則?δ∈Ω ,?x,y∈L,一方面,

    另一方面,

    綜上所述,A∨k是格蘊(yùn)涵代數(shù)L的Ω-模糊子代數(shù)。 □

    定理11設(shè)L1、L2是格蘊(yùn)涵代數(shù),映射 f:L1→L2為格蘊(yùn)涵滿同態(tài)映射,若A是格蘊(yùn)涵代數(shù)L1的Ω-模糊子代數(shù),則 f(A)是格蘊(yùn)涵代數(shù)L2的Ω-模糊子代數(shù),其中 f(A)(y,δ)=sup{ |A(x,δ)f(x)=y,δ∈ Ω}。

    證明?y1,y2∈L2,因?yàn)橛成?f:L1→L2為格蘊(yùn)涵滿同態(tài)映射,所以 ?x1,x2∈L1,使得 f(x1)=y1,f(x2)=y2,且 f(O)=O,從而?δ∈Ω,一方面,

    綜上所述,f(A)是格蘊(yùn)涵代數(shù)L2的Ω-模糊子代數(shù)。 □

    定理12設(shè)L1、L2是格蘊(yùn)涵代數(shù),映射 f:L1→L2為格蘊(yùn)涵滿同態(tài)映射,若B是格蘊(yùn)涵代數(shù)L2的Ω-模糊子代數(shù)? f-1(B)是格蘊(yùn)涵代數(shù)L1的Ω-模糊子代數(shù),其中 f-1(B)(y,δ)=B(f(y),δ),δ∈Ω 。

    證明“?”若B是格蘊(yùn)涵代數(shù)L2的Ω-模糊子代數(shù),則 ?y1,y2∈L1,?δ∈Ω,一方面,f-1(B)(O,δ)=B(f(O),δ)≥ B(f(y1),δ)=f-1(B)(y1,δ);另 一 方 面 , f-1(B)(y1→ y2,δ)=B(f(y1→ y2),δ)=B(f(y1)→ f(y2),δ)≥ B(f(y1),δ)∧B(f(y2),δ)=f-1(B)(y1,δ)∧ f-1(B)(y2,δ)。

    綜上所述,f-1(B)是格蘊(yùn)涵代數(shù)L1的Ω-模糊子代數(shù)。

    “?”若 f-1(B)是格蘊(yùn)涵代數(shù)L1的Ω-模糊子代數(shù),?y1,y2∈L2,因?yàn)?f:L1→L2為格蘊(yùn)涵滿同態(tài)映射,所以 ?x1,x2∈L1,使得 f(x1)=y1,f(x2)=y2,且 f(O)=O,從而 ?δ∈Ω,一方面,B(O,δ)=B(f(O),δ)=f-1(B)(O,δ)≥f-1(B)(x1,δ)=B(f(x1),δ)=B(y1,δ);另一方面,B(y1→ y2,δ)=B(f(x1)→f(x2),δ)=B(f(x1→ x2),δ)=f-1(B)(x1→ x2,δ)≥f-1(B)(x1,δ)∧f-1(B)(x2,δ)。

    綜上所述,B是格蘊(yùn)涵代數(shù)L2的Ω-模糊子代數(shù)。 □

    設(shè)A、B分別是非空集合L1、L2的Ω-模糊子集,定義映射?(x,y)∈L1×L2,?δ∈Ω ,

    則稱 A×B為L(zhǎng)1×L2的Ω-模糊子集,并稱A×B為A、B關(guān)于Ω的直積。

    定理13若 A、B分別是格蘊(yùn)涵代數(shù)L1、L2的Ω-模糊子代數(shù),則A×B是L1×L2的Ω-模糊子代數(shù)。

    證明若A、B分別是格蘊(yùn)涵代數(shù)L1、L2的Ω-模糊子代數(shù),則一方面,?(x,y)∈L1×L2,?δ∈Ω ,

    另一方面,?(x1,y1),(x2,y2)∈L1×L2,?δ∈Ω ,

    綜上所述,A×B是L1×L2的Ω-模糊子代數(shù)?!?/p>

    定義9設(shè)A×B是非空集合L1×L2的Ω-模糊子集,則定義L1的Ω-模糊子集:

    A1(x,δ)= ∨z∈L2(A × B)((x,z),δ)

    定義L2的Ω-模糊子集:

    定理14若A×B是L1×L2的Ω-模糊子代數(shù),則A1(x,δ)是 L1的 Ω-模糊子代數(shù),B1(y,δ)是 L2的 Ω-模糊子代數(shù)。

    證明若A×B是L1×L2的Ω-模糊子代數(shù),則一方面,?(x,y)∈L1×L2,?δ∈Ω ,

    由z的任意性可知:

    另一方面,

    由z1的任意性知:

    再由z2的任意性知:

    綜上所述,A1(x,δ)是L1的Ω-模糊子代數(shù)。

    同理可證B1(y,δ)是L2的Ω-模糊子代數(shù)。 □

    4 結(jié)束語(yǔ)

    本文將Ω-模糊集的思想與方法應(yīng)用于格蘊(yùn)涵代數(shù),引入了Ω-模糊子代數(shù)的概念,并討論了它的性質(zhì)及其與格蘊(yùn)涵代數(shù)子代數(shù)間的相互關(guān)系,獲得了若干有意義的結(jié)果。這些結(jié)論有助于進(jìn)一步認(rèn)識(shí)格蘊(yùn)涵代數(shù),促進(jìn)了格蘊(yùn)涵代數(shù)的發(fā)展;此外,還可以用類(lèi)似的方法研究格蘊(yùn)涵代數(shù)的其他子結(jié)構(gòu),將在后續(xù)工作中進(jìn)行討論。

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    FU Xiaobo was born in 1980.He is a lecturer atWuxi Institute of Technology,and themember of CCF.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.

    傅小波(1980—),男,江蘇灌云人,無(wú)錫職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師,CCF會(huì)員,主要研究領(lǐng)域?yàn)槿斯ぶ悄?,粒?jì)算等。

    LIAO Zuhuawasborn in 1957.He isa professor and M.S.supervisor at Jiangnan University.His research interests include artificial intelligence and granular computing,etc.

    廖祖華(1957—),男,江西奉新人,江南大學(xué)教授、碩士生導(dǎo)師,主要研究領(lǐng)域?yàn)槿斯ぶ悄?,粒?jì)算等。發(fā)表學(xué)術(shù)論文100多篇。

    Ω-Fuzzy Subalgebra in Lattice Im plication Algebra*

    FU Xiaobo1,LIAO Zuhua2+
    1.Wuxi Instituteof Technology,Wuxi,Jiangsu 214121,China
    2.Schoolof Science,Jiangnan University,Wuxi,Jiangsu 214122,China

    LetΩbe a set.By combining theΩ-fuzzy setsand the lattice implication algebras,this paper introduces the concepts ofΩ-fuzzy subalgebra in the lattice implication algebra,and investigates some related properties.Beside,this paper obtains some equivalent descriptions of theΩ-fuzzy subalgebra in the lattice implication algebra,and gives the relationsbetweenΩ-fuzzy subalgebra and the subalgebra in the lattice implication algebra.Then this paper studies some basic properties of theΩ-fuzzy subalgebra under the intersection,union and other operationsof Ω-fuzzy sets,and discusses some basic propertiesof homomorphic image and homomorphic preimage ofΩ-fuzzy subalgebra.Finally,thispaperstudies theΩ-fuzzy subalgebra directproduct in the lattice implication algebra.

    lattice implication algebra;Ω-fuzzy subalgebra;homomorphic;directproduct

    2016-04,Accepted 2016-06.

    A

    :TP18

    *The National Natural Science Foundation of China under Grant Nos.611702121,11401259(國(guó)家自然科學(xué)基金);the Natural Science Foundation of Jiangsu ProvinceunderGrantNo.BK2015117(江蘇省自然科學(xué)基金).

    CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2016-06-27,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.5602.TP.20160627.0929.004.htm l

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