常微分方程組視角下的中等收入陷阱

摘 要：文章利用常微分方程組及動力系統(tǒng)的分析方法，研究中等收入陷阱的特征。并且根據(jù)不同動力系統(tǒng)的特點，提出了擺脫中等收入陷阱的方法?？梢詫⑦@種分析方法拓展到多維度空間，也可以用來分析高階導(dǎo)數(shù)下的情況。

關(guān)鍵詞：常微分方程；動力系統(tǒng)；中等收入陷阱；經(jīng)濟(jì)發(fā)展

在各國經(jīng)濟(jì)發(fā)展過程中，往往會出現(xiàn)一定程度的停滯。當(dāng)一個國家達(dá)到中等發(fā)達(dá)國家水平時，經(jīng)濟(jì)發(fā)展逐漸失去動力，容易陷入到經(jīng)濟(jì)增長乏力、經(jīng)濟(jì)發(fā)展停滯等問題。從經(jīng)濟(jì)發(fā)展的角度看，一個經(jīng)濟(jì)變量的增長率可以通過對這個變量進(jìn)行求導(dǎo)得到。如果用GDP表示中國GDP原始值，那么可以用 表示中國GDP增長率；類似的，如果用TRADE表示中國對外貿(mào)易的原始值，那么可以用 表示中國對外貿(mào)易增長率。

中國的改革開放可以分為兩部分：改革和開放。改革通常指針對國內(nèi)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的經(jīng)濟(jì)體制革新；開放指中國對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易和金融合作的發(fā)展。在1978年中國改革開放初期，中國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和對外開放都以非常高的速度發(fā)展，增長勢頭勢不可擋。但至今我國改革開放已經(jīng)進(jìn)行了四十多年，不管是我國的GDP增長率，還是貿(mào)易增長率，都進(jìn)入了一個相對穩(wěn)定的時期，經(jīng)濟(jì)進(jìn)入新常態(tài)。

在研究中國的GDP增長問題時，不能停留在靜態(tài)視角，需要從動態(tài)角度去分析，將時間t這個概念引入到對問題的分析中。微分方程是解決這個問題的有力工具。一個最常見的微分方程是：

其中，k為外生常數(shù)，k大于零。也就是說，GDP的增長率和GDP本身有關(guān)。隨著GDP增大，GDP的增長率也增大。求解這個常微分方程，得到如下結(jié)果。

從這個結(jié)果可以看出，GDP呈現(xiàn)指數(shù)增長。但是如果k小于零，那么GDP的發(fā)展就會出現(xiàn)收斂的情況。對于我國的對外貿(mào)易，也可以進(jìn)行類似的分析。假設(shè)中國對外貿(mào)易滿足如下公式。

從這個結(jié)果可以看出，TRADE呈現(xiàn)指數(shù)增長。但是如果 小于零，那么TRADE的發(fā)展就會出現(xiàn)收斂的情況。

上面問題中的例子中，不管是GDP還是TRADE，其隨時間的運行軌跡都是非線性的。具體說來，其隨時間的運行軌跡是指數(shù)型。當(dāng)k大于零時，呈指數(shù)遞增趨勢；當(dāng)k小于零時，呈指數(shù)遞減趨勢。實際上，最常使用的是線性模式。其數(shù)學(xué)方程式如下。

GDP的增長率與GDP本身無關(guān)。隨著GDP增大，GDP的增長率不變。求解這個常微分方程，得到如下結(jié)果。

從這個結(jié)果可以看出，GDP呈現(xiàn)線性增長。但是如果k小于零，那么GDP呈線性下降模式。對于我國的對外貿(mào)易，也可以進(jìn)行類似的分析。假設(shè)中國對外貿(mào)易滿足如下公式。

從這個結(jié)果可以看出，TRADE呈現(xiàn)線性增長。但是如果 小于零，那么TRADE的發(fā)展就會呈現(xiàn)線性下降模式。

不管是上面的指數(shù)形式增長的GDP，還是呈現(xiàn)線性增長的GDP，其增長率均一直為正，或者一直為負(fù)。下面介紹一個更為復(fù)雜的線性模型。試想：當(dāng)GDP比較小時，GDP的增長率很高，但是當(dāng)GDP很大時，GDP的增長率會下降?？紤]如下等式。

其中：a和Ψ為外生常數(shù)。從這個等式中可以看出，當(dāng)GDP處于較低發(fā)展水平時，其增長率較大，當(dāng)GDP增長為較大規(guī)模時，其增長率下降，甚至變?yōu)樨?fù)數(shù)。上面的方程是一個一階自洽的微分方程。一階的意思是：方程里面最高出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)是未知數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，自洽的意思是：方程的右邊只和GDP有關(guān)，和t無關(guān)。但方程右邊不是關(guān)于GDP的線性形式，因此上面的方程是一階非線性自洽方程。

不失一般性，假設(shè)Ψ=1，上面的一階非線性自洽微分方程的解如下。

可以證明：GDP的增長極限值是Ψ。對TRADE的分析也可以類似進(jìn)行。

在可變增長率模型中，還有一種情況，如下公式。

其中，h是一個大于零的常數(shù)。上面的模型還可以進(jìn)一步擴(kuò)展。

這個拓展模型可以體現(xiàn)經(jīng)濟(jì)的周期性波動。

一些常微分方程具有解析解，但還有不少常微分方程沒有解析解，在這種情況下，需要利用隱性函數(shù)的方法，來表征微分方程的解。

上面我們總共介紹了三種經(jīng)濟(jì)增長模式。第一種是線性增長模式，第二種是指數(shù)增長模式，第三種是可變增長率的增長模式。在一個國家GDP發(fā)展的不同階段，其增長模式是不同的。而且不同經(jīng)濟(jì)變量之間的經(jīng)濟(jì)增長相互關(guān)系不是相互獨立的，而是相互影響的。這可以通過將不同經(jīng)濟(jì)變量組成方程組來解決。而且為了求得解析解，通常構(gòu)造線性一階自洽系統(tǒng)來分析。

在線性一階自洽微分方程組里面，有N個方程需要被求解，每個方程都是t的函數(shù)，在每個方程的右邊，都沒有t，且都是關(guān)于變量的一階函數(shù)。在求解這類問題時，需要用到矩陣算法。而且和矩陣的特征值及特征向量直接相關(guān)。

作者簡介：沈琪（1978.01- ），女，漢族，山東淄博人， 副教授，博士，研究方向：國際貿(mào)易。