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    淺析數(shù)學(xué)競賽中的抽象函數(shù)方程問題

    2017-07-26 00:36任小平
    關(guān)鍵詞:結(jié)構(gòu)特征解題方法

    任小平

    [摘 要] 對于抽象函數(shù)及其函數(shù)方程問題的解答,其關(guān)鍵在于捕捉題目的信息特征,發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口,尋求合理、簡潔的解題方法,達到化繁為簡、化難為易的目的.

    [關(guān)鍵詞] 抽象函數(shù);結(jié)構(gòu)特征;解題方法

    抽象函數(shù)及其函數(shù)方程問題越來越多地受到命題者的青睞,不僅要求對函數(shù)的本質(zhì)有著深刻的理解,而且解題方法靈活多變,求解技巧性強,同時涉及的范圍較廣,對學(xué)生掌握所學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系要求較高. 對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了較高要求,因此是數(shù)學(xué)競賽的熱點和難點.本文歸納了一些求解抽象函數(shù)的方法和技巧,以達到拋磚引玉的目的.

    [?] 巧取特殊值,求解函數(shù)解析式

    對于多個變量的抽象函數(shù)方程,可將其中的某個變量視為主元,進行恰當(dāng)?shù)馁x值,形成“關(guān)系鏈”,從而簡化運算,達到特殊引路,探求一般規(guī)律的目的和效果.

    例1:求所有函數(shù)f:R→R,使得對所有的x,y∈R,有

    評注:巧取特殊值,簡化運算,形成“關(guān)系鏈”,起到了“特殊探路把門敲,化繁為簡層次高”的效果,從而優(yōu)化解題技巧.

    [?] 巧構(gòu)結(jié)構(gòu)式,求解函數(shù)解析式

    對于一些多變量的抽象函數(shù)方程,當(dāng)變量的取值范圍對等時,往往可以通過變換變量的位置,將隱含的結(jié)構(gòu)關(guān)系式外顯化,然后通過外顯的結(jié)構(gòu)特征和性質(zhì),使問題得以轉(zhuǎn)化,達到解決問題的目的.

    例2:設(shè)函數(shù)f:R→R,滿足f(0)=1,且對任意的x,y∈R,都有

    f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,則f(x)=________.

    (2004年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題)

    分析與解答:題此題中的函數(shù)方程含兩個變量x,y,而兩者關(guān)系對等,將兩者交換位置,則可得到另一個方程,在聯(lián)立兩個方程得到一個新的關(guān)系式;再結(jié)合條件即可求得解析式.

    即令x=y,y=x,有f(yx+1)=f(y)f(x)- f(x)-y+2(x,y∈R),

    結(jié)合條件中的f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2(x,y∈R),

    解得f(x)-x=f(y)-y(x,y∈R).

    由于對任意的x,y都成立,

    則f(x)-x=C(常數(shù)).

    又由于f(0)=1,

    于是將x=0帶入上式,

    解得C=1,從而f(x)=x+1.

    評注:在解一些抽象函數(shù)方程、方程組時,通過變換、轉(zhuǎn)化,將內(nèi)在的信息特征外顯化,發(fā)現(xiàn)可用于構(gòu)造的因素,引入新的形式,借助新形式的性質(zhì),使復(fù)雜的運算和推證變得容易處理,使問題變得清晰可解.

    [?] 巧用換元法,求解函數(shù)解析式

    對于一些結(jié)構(gòu)復(fù)雜的函數(shù)方程,利用變量代換的方法,將抽象的函數(shù)方程式轉(zhuǎn)化為新變量形式,以整體形式代入,轉(zhuǎn)化為各字母的方程組形式,從而解出具體的函數(shù)解析式.

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