“一類圖形的最值問題”教學(xué)實(shí)錄與反思

戴娟

[摘 要] 最值問題是近幾年中考命題中的熱點(diǎn)問題，也是壓軸題常見的問題. 本文從“將軍飲馬”問題出發(fā)，結(jié)合“垂線段最短”“兩點(diǎn)之間，線段最短”，根據(jù)圖形自身性質(zhì)解決“最值問題”.

[關(guān)鍵詞] 將軍飲馬；最值；軸對稱圖形；最短

基本情況

1. 背景介紹

本課例是中考第二輪復(fù)習(xí)的一節(jié)研討交流課. 本課例采取學(xué)案組織教學(xué)，學(xué)案設(shè)計(jì)分兩塊：一塊是“將軍飲馬”問題的變式和拓展，用的是“兩點(diǎn)之間，線段最短”；第二塊是“垂線段最短”和“兩點(diǎn)之間，線段最短”的綜合運(yùn)用，旨在讓學(xué)生掌握除了用函數(shù)解決最值問題以外，還可以根據(jù)圖形自身性質(zhì)，用上述定理解決最值問題.

2. 授課對象

初三年級的學(xué)生具備探索的基本活動經(jīng)驗(yàn)，有比較好的合作與交流能力，有良好的運(yùn)算基礎(chǔ)和邏輯推理能力，有較強(qiáng)的總結(jié)概括水平.

3. 教材分析

學(xué)生對常見的用函數(shù)解決最值問題很拿手，但對根據(jù)圖形自身性質(zhì)求最值問題很陌生. 本節(jié)課通過復(fù)習(xí)“將軍飲馬”模型，引導(dǎo)學(xué)生參與知識回顧，然后將模型放在幾何圖形中，讓學(xué)生通過觀察、類比、歸納，體會到在這類問題中，其實(shí)就是利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)定理，結(jié)合幾何圖形自身性質(zhì)特點(diǎn)來解決，進(jìn)而總結(jié)這類問題的中考命題規(guī)律和方向，這也是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn).

4. 教學(xué)目標(biāo)？搖

（1）熟練掌握“將軍飲馬”模型，并能總結(jié)這類問題中考命題的規(guī)律和方向.

（2）會靈活應(yīng)用“垂線段最短”和“兩點(diǎn)之間，線段最短”，結(jié)合圖形自身性質(zhì)“化動為靜”地解決問題.

課堂實(shí)錄

1. 知識回顧，鋪墊準(zhǔn)備

師：我們一起來看一下這張圖（圖1），這張圖大家熟悉嗎？

生（齊）：非常熟悉.

師：你能用這張圖編一個(gè)問題嗎？

生（齊）：你能在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最短嗎？

師：你是怎樣找出點(diǎn)P的位置的呢？

生1：作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接BA′交直線l于點(diǎn)P.

師：為什么此時(shí)的點(diǎn)P能使PA+PB最短呢？你能證明嗎？

生1：在直線l上找任意一點(diǎn)P′，連接P′A，P′B，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，得P′A+ P′B≥A′B= PA+PB.

師：說得非常好！這個(gè)模型我們通常稱之為“將軍飲馬模型”—“兩定一動型”.

設(shè)計(jì)意圖？搖 通過復(fù)習(xí)“將軍飲馬”模型，引導(dǎo)學(xué)生參與知識回顧，為下面的學(xué)習(xí)架設(shè)“認(rèn)知橋梁”. 學(xué)生的踴躍回答為這節(jié)課開了好頭.

2. 結(jié)合考題，探索規(guī)律

【活動1：中考中的“將軍飲馬模型”】

試題 （1）如圖2，在正方形ABCD中，AB=4，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線AC上一動點(diǎn)，則PE+PB的最小值為______.

（2）如圖3，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30°，B為的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上一動點(diǎn)，則PA+PB的最小值為______.

師：在圖2中，你能找到“將軍飲馬模型”嗎？兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動點(diǎn)在哪里？

生（齊）：能. 定點(diǎn)為E，B，動點(diǎn)為P.

師：（通過幾何畫板隱藏線段BA，DA，DC，EC，EB，只留下線段AC，點(diǎn)E，B，P）那么點(diǎn)P的位置會作了嗎？

生（齊）：會.

師：我們再來看看圖3. 你能找到“將軍飲馬模型”嗎？兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動點(diǎn)又在哪里？

生（齊）：能. 定點(diǎn)為A，B，動點(diǎn)為P.

師：（通過幾何畫板隱藏線段MA，⊙O，只留下線段MN，點(diǎn)P，B，A）點(diǎn)P的位置會不會作？

生（齊）：會.

師：（啟發(fā)）我們來總結(jié)一下，中考中通常把“將軍飲馬模型”放在什么背景里？

生1：幾何圖形里.

師：（追問）什么樣的幾何圖形里？

生（齊）：軸對稱圖形.

師：（追問）為什么是軸對稱圖形？

生2：因?yàn)檩S對稱圖形容易作對稱點(diǎn).

師：說得非常有道理！軸對稱圖形的性質(zhì)也比較豐富. 那么，除了正方形、圓以外，還有哪些常用的軸對稱圖形？

生（齊）：等邊三角形、矩形、菱形、角等.

師：我們來驗(yàn)證一下同學(xué)們的猜想是否正確. （播放PPT驗(yàn)證學(xué)生猜想）近幾年的中考中， “將軍飲馬模型”往往放在軸對稱圖形中，再結(jié)合圖形自身豐富的性質(zhì)可求得最值.

設(shè)計(jì)意圖 先給學(xué)生展示兩道關(guān)于“將軍飲馬模型”應(yīng)用的中考題，讓學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)和感知命題思路和方向. 學(xué)生通過積極思考和探究，從具體到抽象，從猜測到驗(yàn)證，能順利把握命題規(guī)律，學(xué)會提煉題目本質(zhì).

【活動2：變式探究，模型歸類】

師：我們將“將軍飲馬模型”的條件改一改，（課件演示）如圖4，E是⊙B上一動點(diǎn)，你能在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PE的值最小嗎？

師：（啟發(fā)）定點(diǎn)B改為動點(diǎn)E，怎樣作出點(diǎn)P呢？PB雖改為PE，能否向線段PB靠一靠呢？我們連接P，B兩點(diǎn)，大家有何發(fā)現(xiàn)？

生（齊）：發(fā)現(xiàn)了EP和BP都在△BEP中.

師：PA+PE+BE影響PA+PE取最值嗎？

生（齊）：不影響.

師：因?yàn)镻A+PE+BE≥PA+PB，所以PA+PE≥PA+PB-BE，即PA+PE≥PA+PB-r. PA+PE取最小值就是PA+PB取最小值，同學(xué)們現(xiàn)在會作出點(diǎn)P了嗎？

生（齊）：會，還是“將軍飲馬模型”的作法.

師：那我們來挑戰(zhàn)一下2014年無錫中考卷上的一個(gè)問題——如圖5，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A和⊙B的半徑分別為2和1，P，E，F(xiàn)分別是邊CD，⊙A和⊙B上的動點(diǎn)，則PE+PF的最小值是______.

師：在這個(gè)題目中，同學(xué)們是怎么作出點(diǎn)P的？

生1：和上面你講的那個(gè)變式的道理是一樣的.

師：你能給大家講講嗎？

生1：因?yàn)镻E+PF+AE+BF≥PA+PB，所以PE+PF≥PA+PB-AE-BF，即PE+PF≥PA+PB-R-r. 點(diǎn)P還是“將軍飲馬模型”的作法. 作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交CD于點(diǎn)P，則（PE+PF）=A′B-R-r.

師：非常好！無論是“兩定一動”“兩動一定”還是“三動”，都可以轉(zhuǎn)化成“將軍飲馬模型”.

設(shè)計(jì)意圖？搖 通過改變“將軍飲馬模型”的條件，將一個(gè)定點(diǎn)改為動點(diǎn)作為變式，讓學(xué)生通過探究，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上還是PA+PB最小的問題，進(jìn)而再將一個(gè)定點(diǎn)改為動點(diǎn)，即三個(gè)全部都是動點(diǎn)，結(jié)合變式的啟示發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上還是PA+PB最小的問題. 學(xué)生在變式探究的過程中，在“探”中思，在“思”中歸納，逐層推進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

【活動3：鞏固舊知，拓展延伸】

試題 如圖6，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為邊BC上一動點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，則EF的最小值是______.

師：EF的最小值會求嗎？

生1：因?yàn)樗倪呅蜛EPF是矩形，所以EF=AP，又AP的最小值為4.8，故EF的最小值為4.8.

師：很好！AP的最小值的依據(jù)是什么？

生1：垂線段最短，當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP取得最小值.

師：4.8是怎么算出來的？

生1：等積法.

師：除了“兩點(diǎn)之間，線段最短”以外，“垂線段最短”也是圖形求最值問題的一個(gè)比較重要的依據(jù). 下面我們一起來挑戰(zhàn)一個(gè)練習(xí)題.

師：如圖7，在銳角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M，N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是______.

師：大家拿出鉛筆，自己先動筆畫一畫，琢磨琢磨.

師：（幾分鐘后）有沒有同學(xué)已經(jīng)有想法了？

生2：作點(diǎn)N關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)N′，于是MN=MN′，BM+MN=BM+MN′≥BN′.

師：你是怎樣想到作點(diǎn)N的對稱點(diǎn)N′的呢？

生2：角是軸對稱圖形，AD為∠BAC的平分線.

師：這位同學(xué)說得太好啦！在軸對稱圖形中，作軸對稱可以將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 那么BN′的最小值又怎么求呢？BN′的最小值是多少呢？

生2：根據(jù)垂線段最短，當(dāng)BN′⊥AC時(shí)，BN′取最小值. 因?yàn)锳B=4，∠BAC=45°，于是可得BN′=4.

師：我們能總結(jié)一下，在這個(gè)題目中，我們是怎樣求最值的嗎？

生（齊）：先作軸對稱，轉(zhuǎn)化線段，然后利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”，將兩條線段的和轉(zhuǎn)化成一條線段，再根據(jù)垂線段最短，求出最值.

師：“垂線段最短”可單獨(dú)考查，也可以與“兩點(diǎn)之間，線段最短”進(jìn)行綜合考查. 大家在解決問題時(shí)，要注意把握題目的本質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖？搖 通過先舉一個(gè)單獨(dú)考查“垂線段最短”的例題，讓學(xué)生感知求圖形最值問題“垂線段最短”是除“兩點(diǎn)之間，線段最短”另一個(gè)比較重要的依據(jù). 解決練習(xí)題時(shí)，學(xué)生有了例題的體驗(yàn)，解決問題就相對變得容易了. 在解決問題的過程中，培養(yǎng)了學(xué)生舉一反三、觸類旁通的數(shù)學(xué)思維能力.

【活動4：綜合探究，提升能力】

（1）求點(diǎn) M的坐標(biāo)；

（2）設(shè)G為y軸上線段OM上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，以速度v先沿y軸到達(dá)點(diǎn)G，再沿GA到達(dá)點(diǎn)A，若點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動的速度是它在線段GA上運(yùn)動速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使點(diǎn)P按照上述要求到達(dá)點(diǎn)A所用的時(shí)間最短.

師：大家拿出鉛筆，自己先動筆畫一畫，琢磨琢磨

師：第（1）問中點(diǎn)M的坐標(biāo)大家會求嗎？

生（齊）：會. （0，6）.

師：大家是怎樣求出來的？

生（齊）：根據(jù)平行和CD =AC，可得出相似比為1 ∶ 2，進(jìn)而求出CM=2，OM=6.

師：很好.我們繼續(xù)第（2）問. 根據(jù)“G為y軸上線段OM上一點(diǎn)”，大家作出點(diǎn)G了嗎？

（學(xué)生比較沉默，大多數(shù)同學(xué)在思考，個(gè)別同學(xué)小聲說“不知在什么位置”）

師：（啟發(fā)）我們在分析問題的時(shí)候，根據(jù)“G為y軸上線段OM上一點(diǎn)”，不妨在線段OM上任意作出點(diǎn)G，以便我們分析問題. 大家拿出鉛筆，在線段OM上任意作一點(diǎn)G.

師：時(shí)間等于什么？

生（齊）：路程除以速度.

師：速度，題目中有嗎？

生（齊）：沒有，但是有兩倍的關(guān)系.

師：我們不妨設(shè)若點(diǎn)P在y軸上的運(yùn)動速度是2v，在線段GA上的運(yùn)動速度是v，你能把時(shí)間表示出來嗎？

（教師板書t，學(xué)生在學(xué)案上書寫）

師：v是定值，上面的式子我們能否稍作化簡？（教師繼續(xù)板書t）

師：求t的最小值就是求什么的最小值？

生（齊）：+AG的最小值.

師：大家有沒有什么想法？一般我們遇到二分之線段怎么辦？

生（齊）：作中點(diǎn)，截一半.

師：大家動筆試一試，作中點(diǎn)是否可行？

（學(xué)生比較沉默，大多數(shù)同學(xué)在思考，個(gè)別同學(xué)小聲說“不行”）

師：好像作中點(diǎn)解決不了問題. 我們再回頭看看題目，當(dāng)大題第（2）問做不出時(shí)，我們怎么辦？

生（齊）：看看第（1）問.

師：第（1）問給了我們什么提示？看到B，M的坐標(biāo)你們有什么想法？

（部分同學(xué)激動地說有30°角產(chǎn)生，有一些同學(xué)激動地說“明白了”）

師：那現(xiàn)在大家知道點(diǎn)G確切的位置了嗎？

生（齊）：就是AH與y軸的交點(diǎn).

師：大家回答得非常好！從這道題中我們能總結(jié)什么？

生（齊）：還是“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”的綜合考查，只是放在動態(tài)的背景中了.

師：對于線段的一半，有經(jīng)驗(yàn)總結(jié)嗎？

生（齊）：作中點(diǎn)截取，或有30°角可作垂線段解決.

設(shè)計(jì)意圖？搖 通過這個(gè)比較綜合的例題，讓學(xué)生繼續(xù)感知，求圖形最值問題時(shí)，“垂線段最短”和“兩點(diǎn)之間，線段最短”是兩個(gè)最為重要的依據(jù)，且傳授學(xué)生寶貴的經(jīng)驗(yàn)，即在解決問題時(shí)，嘗試“作任意點(diǎn)”探究問題，大題中的第（1）問通常會為第（2）問“服務(wù)”，“看到30°角要想到”等，以培養(yǎng)學(xué)生自主探究、學(xué)以致用、溫故知新的思維品質(zhì).

回顧與反思

1. 教學(xué)設(shè)計(jì)的立意

變式教學(xué)是指在教學(xué)過程中通過變更概念非本質(zhì)的特征、改變問題的條件或結(jié)論、轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，有意識、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)中，探索變的規(guī)律的一種教學(xué)方式. 變式教學(xué)的核心是“通過變化以突出其中的不變因素”，從而幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，包括學(xué)會數(shù)學(xué)地解決問題. 本節(jié)課將“將軍飲馬模型”作為起始模型，不斷變換條件，將一個(gè)定點(diǎn)變成一個(gè)動點(diǎn)，進(jìn)而將另一個(gè)定點(diǎn)也改為動點(diǎn)，即“兩定一動”變?yōu)椤皟蓜右欢ā痹僮優(yōu)椤叭齽印?，再結(jié)合“垂線段最短”，通過教師的引導(dǎo)和師生的互動，有意識、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從變的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì).

2. 教學(xué)思考

（1）利用已有知識，激勵(lì)學(xué)生“以舊換新”，獲得最佳發(fā)展. 本課注重問題情境的創(chuàng)設(shè)，通過學(xué)生熟悉的問題引入新課，又通過演示學(xué)生十分關(guān)心的中考題來激發(fā)學(xué)生的探究興趣，通過遞進(jìn)式變式題組，由淺入深，由簡入繁，突破教學(xué)重難點(diǎn).

（2）以活動引領(lǐng)，在“探”中思，在“思”中歸納. 本課精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生從活動1到活動4，提升能力的不同層次和要求，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的過程，鼓勵(lì)學(xué)生大膽實(shí)踐和猜測，觀察和思考，經(jīng)歷結(jié)論“再發(fā)現(xiàn)、再完善”的過程，引導(dǎo)學(xué)生的思維從淺到深，從橫向到縱向發(fā)展.

（3）串聯(lián)相關(guān)知識點(diǎn)，加深知識間的橫縱聯(lián)系. 本課摒除常見的用函數(shù)解決最值問題，而是通過根據(jù)圖形自身性質(zhì)這個(gè)新的對學(xué)生比較陌生的視角來研究最值問題. 通過活動的有序進(jìn)行，學(xué)生不斷刷新感知，知識點(diǎn)間的聯(lián)系和脈絡(luò)逐漸清晰，有效地幫助學(xué)生解剖問題，化解難點(diǎn)，最終在活動的過程中有所獲、有所思，并積累形成自己解決問題和分析問題的基本經(jīng)驗(yàn)，這正是課程標(biāo)準(zhǔn)理念的真實(shí)體現(xiàn).