關(guān)于一類(lèi)特殊函數(shù)方程的解及性質(zhì)

趙 教 練

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,陜西 渭南 714099)

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【自然科學(xué)基礎(chǔ)理論研究】

關(guān)于一類(lèi)特殊函數(shù)方程的解及性質(zhì)

趙 教 練

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,陜西 渭南 714099)

引入q-Gamma函數(shù),并通過(guò)求解一類(lèi)特殊的q-Gamma函數(shù)方程,利用解析法給出了有關(guān)q-Gamma函數(shù)比率的性質(zhì)及其推論。在其推廣之下,將結(jié)果應(yīng)用于研究有關(guān)Gamma和q-Gamma函數(shù)的比率不等式,得到了一類(lèi)特殊函數(shù)方程的解及其性質(zhì)。

Gamma函數(shù)；q-Gamma函數(shù)；比率；不等式

1 基本概念

Gamma函數(shù)是數(shù)學(xué)物理和特殊函數(shù)論中的重要函數(shù),在函數(shù)論、概率論、數(shù)論和組合數(shù)學(xué)中都有重要的應(yīng)用。Gamma 函數(shù)及其推廣的 Gamma 函數(shù)的單調(diào)性可用于證明一些著名的不等式,Gamma函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)展開(kāi)可用于計(jì)算數(shù)論中一些算術(shù)函數(shù)在特殊點(diǎn)的值。

經(jīng)典的Euler Gamma函數(shù)定義為:

1869年,J.Thoma[1]推廣了Gamma函數(shù),定義了Γq函數(shù):對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x和q(q≠1),有

(1)

(2)

1904年,F.H.Jackson[2]也討論了Γq函數(shù)的推廣形式和解析性質(zhì)?；贕amma函數(shù)在分析、數(shù)論、概率論、逼近論、數(shù)學(xué)物理等領(lǐng)域的重要應(yīng)用[3-4],最近幾年,很多學(xué)者研究了Gamma函數(shù)及其推廣的Γq函數(shù)的性質(zhì)[5-7],并且證明了推廣的Γq函數(shù)與歐拉Γ函數(shù)

利用J.Thoma給定的(1)式和(2)式,可以得到類(lèi)似的函數(shù)方程式

(3)

由此可以推導(dǎo)類(lèi)似Gamma函數(shù)的遞推公式。如果q→1,則

Γ(x+1)=xΓ(x)，x>0。

(4)

上述公式可以從J.Thoma定義的(1)式和(2)式推算得到。[9-11]

2 主要結(jié)果

1948年,W.Krull研究一般函數(shù)方程f(x+1)=φ(x)f(x),證明了如果φ滿(mǎn)足一定條件,則具有對(duì)數(shù)性質(zhì)的凹函數(shù)的解f具有存在性和唯一性。更精確地說(shuō),建立了以下結(jié)果。

(5)

則

f(x+1)=φ(x)f(x)，x≥0且f(0)=α

(6)

存在唯一的正解。[11]對(duì)于解f,在[0,∞)上是對(duì)數(shù)凹的,并且滿(mǎn)足對(duì)于充分小的h>0,有

Krull提供了(6)式解的級(jí)數(shù)表達(dá)式。

通過(guò)計(jì)算表明φq,s在[0,∞)上是對(duì)數(shù)凸的,且滿(mǎn)足(5)式,所以Krull的命題揭示了(6)式存在一個(gè)對(duì)數(shù)凹解。

定理1 令α>0,s∈(0,1)是一個(gè)實(shí)數(shù)。函數(shù)方程

(7)

證明 利用公式(4),可以得出f(x)=αΓ(s)Γ(x+1)/Γ(x+s)滿(mǎn)足(7)式。

其中：ψ=?！?Γ為Γ函數(shù)的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)。利用積分表示

以及Laplace變換的卷積定理,可以得到

(8)

其中：

(9)

計(jì)算表明,在(0,∞)上Δ′/Δ是嚴(yán)格遞減的。令t>0,那么有

(10)

其中：p(x)=x2-s-(1-s)2x2+2s(s-2)x+xs-(1-s)2,x=et>1。

因?yàn)?<(1-z)t/2≤(1+z)t/2,所以Δ′/Δ的單調(diào)性揭示了

所以,對(duì)t>0,由公式(9)可以得出

(11)

利用(8)式和(11)式可以推得,對(duì)x≥0,g″(x)<0，由于滿(mǎn)足(7)式的凹函數(shù)在[0,∞)上必須是正的,則得出嚴(yán)格凹函數(shù)f(x)=αΓ(s)Γ(x+1)/Γ(x+s)是(7)式唯一確定的解。

定理2 令α>0,q∈(0,1),s∈(0,1)是一個(gè)實(shí)數(shù)，函數(shù)方程

(12)

證明 應(yīng)用函數(shù)方程式(3)得出f(x)=αΓq(s)Γq(x+1)/Γq(x+s)是(12)式的一個(gè)解。因?yàn)榘冀獗仨毷钦?所以從命題得出結(jié)論,f(x)是唯一確定的。

為了證明對(duì)x>0有g(shù)″(x)<0,只需證明

avan-v

(13)

q1h(q2)

(14)

其中：0

如果h(x)是遞減的,那么(14)式就成立。

(15)

且z=yk∈(0,1)。

由于vzv+1-n+(n-v)z1-v≥v+(n-v)=n,z∈(0,1),由此，結(jié)合(15)式可以得到：當(dāng)y∈(0,1)時(shí),有h′(y)<0。

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【責(zé)任編輯牛懷崗】

SolutionandPropertiesofq-GammaFunctionEquations

ZHAO Jiao-lian
(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

This paper solved a kind of function equation of q-Gamma. The paper mainly shows the important theorems of the solution of q-Gamma functions, proving these theorems and studies the inequality of the ratio of q-Gamma functions by applying the results to the inequality.

Gamma function; q-Gamma function; ratio; inequality

O174.66

：A

：1009-5128(2017)16-0010-04

2016-11-17

中國(guó)博士后基金項(xiàng)目：云計(jì)算中外包數(shù)據(jù)安全的關(guān)鍵密碼技術(shù)(2015M582619)；陜西省教育廳自然科學(xué)專(zhuān)項(xiàng)計(jì)劃項(xiàng)目：橢圓函數(shù)論及其在數(shù)論和組合中的應(yīng)用研究(15JK1264)；渭南師范學(xué)院自然科學(xué)類(lèi)人才項(xiàng)目：特殊函數(shù)及其在完全單調(diào)理論和數(shù)論中的應(yīng)用研究(15ZRRC05)；渭南師范學(xué)院教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目：分類(lèi)探究模式在《數(shù)學(xué)分析》課程改革中的創(chuàng)新與實(shí)踐(JG201549)

趙教練(1978—),男,陜西興平人,渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院副教授,理學(xué)博士,主要從事函數(shù)論、密碼與信息安全研究。