關(guān)于一個數(shù)論函數(shù)均值的計算

周 煥 芹

(渭南師范學院 數(shù)理學院,陜西 渭南 714099)

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【自然科學基礎(chǔ)理論研究】

關(guān)于一個數(shù)論函數(shù)均值的計算

周 煥 芹

(渭南師范學院 數(shù)理學院,陜西 渭南 714099)

研究了n!因式分解中p的冪函數(shù)的均值計算。采用初等數(shù)論和解析理論的均值研究方法,得到了函數(shù)b(n,p)一次均值和二次均值的精確計算公式。這一結(jié)論對整數(shù)的標準分解式及相關(guān)性質(zhì)的研究具有重要的推動作用。

整數(shù)標準分解;數(shù)論函數(shù);均值;計算公式

1 定義和定理

在本文中[x]表示不超過x的最大整數(shù)。

定理1 令p(p≥2)是一個素數(shù),N是一個固定的正整數(shù)。設(shè)N=a1p+a2p2+…+asps,(0≤ai

或

推論1 令N=2k1+2k2+…+2ks,當k1>k2>…>ks,ki是一個正整數(shù),i=1,2,…,s,則

或

2 引理及證明

引理1 如果n的表達式為基p形式:n=a0+a1p+…+akpk,這里0≤ai

(1)

引理2 令n為任意正整數(shù),p是一個素數(shù),那么[5]

(2)

(3)

或

(4)

(5)

(6)

由此可得

類似地

… …

因此

(7)

由于

(8)

將(3)式和(8)式帶入(7)式,得

引理6 令N=a1p+a2p2+a3p3+…+asps，有

類似地

因此

3 定理的證明

在這部分,我們將完成定理的證明。

定理1的證明由(2)式,有

(9)

綜合(3)式和(9)式,有

綜合(1)(4)和(9)式，有

定理2的證明由引理2,有

(10)

將(2)式代入(10)式，并根據(jù)引理6有

[1] F.Smarandche.Only problem,not solutions[M].Chicago:Xiquan Publ.House,1993:54-55.

[2] Li H L,Toda M.Elaboration of some results of Srivastava and Choi[J].Joural of Analysis and Application,2006,25(4):517-533.

[3] 李海龍.關(guān)于n進制的相關(guān)計數(shù)函數(shù)[J].純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學,2002,18(1):13-15.

[4] 李海龍.關(guān)于n的非零數(shù)字乘積函數(shù)及其均值的計算公式[J].數(shù)學的實踐與認識,2002,22(4):683-686.

[5] 李海龍.關(guān)于整數(shù)擴展函數(shù)及其均值的計算[J].純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學,2003,19(1):219-222.

【責任編輯牛懷崗】

OnMeanValueComputationofaNumberTheoreticFunction

ZHOU Huan-qin
(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

The mean value calculation ofpthe power function of in the factorization of was studied. Methods of the elementary number theory and analytic theory and average method were adopted, and precise calculation formulas of once mean value of functionandb(n,p) second mean value of functionb(n,p) were got. This conclusion for studying integern! standard decomposition type and relevant property has important impetus.

integer standard decomposition type; number theoretic function; mean value; computing formula

O156.4

：A

：1009-5128(2017)16-0005-05

2017-05-08

陜西省自然科學基礎(chǔ)研究計劃項目:擬陣的模糊化與模糊擬陣的優(yōu)化算法研究(2014JM1026);渭南市科技局科研基金資助項目:量子信息論的數(shù)學基礎(chǔ)研究(2014KYJ-4);渭南師范學院特色學科建設(shè)項目:數(shù)學方法在秦東經(jīng)濟社會發(fā)展中的應(yīng)用(14TSXK02)

周煥芹(1962—),女,陜西澄城人,渭南師范學院數(shù)理學院教授,主要從事基礎(chǔ)數(shù)論研究。