淺談導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的相關(guān)應(yīng)用

彭江敏+徐立新

摘 要：不等式的證明，中學(xué)往往只能用基本不等式，一些不等式的證明比較難，有時(shí)要用到一些技巧。但若利用高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)，問題就變得簡單了。

關(guān)鍵詞：不等式；導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用

一、高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日中值定理

定理1：若函數(shù)f（x）滿足：①在閉區(qū)間上[a，b]上連續(xù)；②在開區(qū)間上（a，b）內(nèi)可導(dǎo)則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f?（ξ）（b-a）.

利用上述定理，我們不難證明如下結(jié)論：

定理2：若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則有

（1）當(dāng)對(duì)任意的x∈（a，b），恒有f（x）>0，則f（x）在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù).

（2）當(dāng)對(duì)任意的x∈（a，b），恒有f?（x）<0，則f（x）在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù).

證明：，不妨設(shè)x1

f（x2）-f（x1）=f?（ξ）（x2-x1），因此，若在（a，b）內(nèi)恒有f?（x）>0，則上式中f?（ξ）>0且（x2-x1）>0，從而，f（x2）>f（x1）即f（x）在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)。

反之，若在（a，b）內(nèi)恒有f?（x）<0，則上式中f?（ξ）<0且（x2-x1）>0，從而，f（x2）

上述定理告訴我們，函數(shù)單調(diào)增加的區(qū)間必有導(dǎo)數(shù)為正，而函數(shù)單調(diào)減少的區(qū)間必有導(dǎo)數(shù)為負(fù)。

利用上述定理2，我們?nèi)菀鬃C明一些不等式。

二、應(yīng)用舉例

例1：證明：當(dāng)x>1時(shí)，

證明：令，

則

由于f（x）在[1，+∞）上連續(xù)，在（1，+∞）內(nèi)f?（x）>0，因此，在[1，+∞）上f（x）單調(diào)增加，故當(dāng)x>1時(shí)，f（x）>f（1）=0。

即所以（x>1）

例2：證明：（x>0）

證明：令

因?yàn)閒??（x）=x-sinx，f???（x）=1-cosx，于是當(dāng)x>0時(shí)，f???（x）=1-cosx≥0，因此，在（0，+∞）內(nèi)，f??（x）是增函數(shù)。

所以，當(dāng)x>0時(shí)，f??（x）>f??（0）=0。

此即在（0，+∞）內(nèi)f??（x）≥0，所以f?（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，所以，當(dāng)x>0時(shí)，f?（x）>f?（0）=0。

此即在（0，+∞）內(nèi)f?（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)。

所以，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>f（0）=0，從而有，當(dāng)x>0時(shí)，即（x>0）。

三、總結(jié)

從上面兩個(gè)例子，我們看到，利用導(dǎo)數(shù)來證明不等式有較好的作用，若用中學(xué)的原始方法，像這一類不等式的證明，有時(shí)是較難的，有時(shí)甚至是不可能的.所以，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，是一種好的方法.

參考文獻(xiàn)：

[1]高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）.湯四平、趙雨清、陳國華主編[M]北京：北京理工大學(xué)出版社，2009.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2002.