初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)與形的應(yīng)用

陸力

摘要： “數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，它們既是對(duì)立的，又是統(tǒng)一的，每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀，大小，位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^(guò)幾何圖形做出直觀地反映和描述。數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問(wèn)題.實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)與形；應(yīng)用

一、研究目的及意義

數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合就是充分運(yùn)用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過(guò)圖形的描述、代數(shù)的淪證來(lái)研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化。數(shù)形結(jié)合思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的精髓之一，是把許多知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些抽象問(wèn)題學(xué)生往往覺(jué)得難以理解，如果教師能靈活地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為直觀、易感知的問(wèn)題，學(xué)生就易理解，就能把問(wèn)題解決，從而獲得成功的體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。尤其是對(duì)于較難問(wèn)題，學(xué)生若能獨(dú)立解決或在老師的啟發(fā)和引導(dǎo)下把問(wèn)題解決，心情更是愉悅，這樣，就容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情、興趣和積極性。同時(shí)，學(xué)生一旦掌握了數(shù)形結(jié)合法，并不斷進(jìn)行嘗試、運(yùn)用，許多問(wèn)題就能迎刃而解。

二、教學(xué)中廣泛涉及數(shù)字與圖形之間的結(jié)合

（一）函數(shù)及其圖像中的數(shù)與形關(guān)系

“函數(shù)及其圖象”是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容，有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題讓許多學(xué)生感到畏懼。其實(shí)函數(shù)與方程、不等式之間有著非常密切的聯(lián)系，在解題時(shí)要善于將它們“牽手”，將它們的“形”與對(duì)應(yīng)的“數(shù)”結(jié)合起來(lái)，往往會(huì)使很多棘手問(wèn)題迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷、獨(dú)特。

（二）不等式中蘊(yùn)含的數(shù)與形之間的關(guān)系

對(duì)于“不等式和不等式組”，一元一次不等式的解法雖然與一元一次方程的解法相似，但學(xué)生不易理解一元一次不等式的解有無(wú)數(shù)個(gè)，在教學(xué)時(shí)，為了加深學(xué)生對(duì)不等式的解集的理解，老師在教學(xué)時(shí)，把不等式的解集在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，使學(xué)生形象地看到，不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解。另外，再做一些練習(xí)，要求它通過(guò)數(shù)軸上的點(diǎn)的位置，去求變量的取值范圍或者是變量的值。這里滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法，在數(shù)軸上表示數(shù)是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，而在數(shù)軸上表示數(shù)集，則比在數(shù)軸上表示數(shù)又邁進(jìn)了一步，在確定一元一次不等式組的解集時(shí)，利用數(shù)軸更為有效。

（三）如何引導(dǎo)學(xué)生利用好數(shù)與形

數(shù)形結(jié)合中數(shù)軸是重要工具，借助其可直觀表示較多數(shù)學(xué)問(wèn)題，令數(shù)形有機(jī)結(jié)合，因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中我們應(yīng)合理引入數(shù)軸幫助學(xué)生掌握相反意義概念，了解絕對(duì)值、相反數(shù)內(nèi)涵，全面掌握比較有理數(shù)大小方式，深刻理解有理數(shù)運(yùn)算意義法則等，進(jìn)而圓滿(mǎn)完成教學(xué)任務(wù)。

（四）初步統(tǒng)計(jì)內(nèi)容中的數(shù)與形

在初步統(tǒng)計(jì)中，一組數(shù)據(jù)反映在坐標(biāo)平面上就是一群離散點(diǎn)。研究一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)（平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)），相當(dāng)于考察這群離散點(diǎn)的分布狀態(tài)；而研究一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小（方差、標(biāo)準(zhǔn)差），就相當(dāng)于考察坐標(biāo)平面上這群離散點(diǎn)的分布規(guī)律。

三、數(shù)形結(jié)合對(duì)學(xué)生能力培養(yǎng)的重要性

（一）有利于提高學(xué)生思維的獨(dú)創(chuàng)性

思維的獨(dú)立創(chuàng)造性是指敢于超越傳統(tǒng)習(xí)慣的束縛，擺脫原有知識(shí)范圍和思維定勢(shì)的禁錮，善于把頭腦中已有的知識(shí)信息重新組織，產(chǎn)生具有進(jìn)步意義的新設(shè)想和新發(fā)現(xiàn)。利用形的直觀性，探尋到具有創(chuàng)新意識(shí)的簡(jiǎn)捷妙法，可避開(kāi)繁瑣運(yùn)算，簡(jiǎn)捷解題，提高解題速度，達(dá)到培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性之目的。

（二）有利用提高解題準(zhǔn)確性

正確是指解題結(jié)果完全符合預(yù)期的設(shè)想。在解題過(guò)程中，準(zhǔn)確是解題的關(guān)鍵。數(shù)形結(jié)合，可用利用“形”的直觀性提高“數(shù)”的準(zhǔn)確性。

（三）有利于開(kāi)闊學(xué)生的思維

思維的廣闊性是指思維活動(dòng)中避開(kāi)單一狹隘的思維模式，對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，多角度、全方位思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的程度。思維越廣解決處理的方法越多。利用數(shù)形結(jié)合，用大樹(shù)知識(shí)解決幾何問(wèn)題，或用幾何知識(shí)解決代數(shù)問(wèn)題，避免以代數(shù)解代數(shù)，幾何解幾何的單一模式。數(shù)形結(jié)合解題就是根據(jù)數(shù)量的特征與圖形結(jié)構(gòu)，使數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，開(kāi)辟解題新途徑。

（四）有利于提高學(xué)生靈活思考的能力

思維的靈活性是指思維活動(dòng)具有較高的靈活程度，能善于沿著不同角度，順著不同方向，選擇不同方法，對(duì)同一問(wèn)題從多方位、多側(cè)面的認(rèn)識(shí)。數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生多方位思考，審時(shí)度勢(shì)，適時(shí)突破常規(guī)的思維定勢(shì)，有利于培養(yǎng)解題思維的靈活性。

四、數(shù)形結(jié)合是提高學(xué)生解決問(wèn)題能力的重要途徑

代數(shù)法是利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的又一方法，是利用代數(shù)知識(shí)來(lái)解決幾何問(wèn)題的思考方法。其指導(dǎo)思想是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，根據(jù)形與數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)形的問(wèn)題進(jìn)行數(shù)的描述，把形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問(wèn)題，再有效地利用代數(shù)工具 （代數(shù)式的恒等變形、方程（組）、函數(shù)、不等式、行列式等）求得數(shù)的結(jié)果，通過(guò)對(duì)數(shù)的結(jié)果進(jìn)行幾何解釋?zhuān)玫叫蔚慕Y(jié)論。

幾何法是與代數(shù)法并列的利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的方法，是利用幾何知識(shí)來(lái)解決代數(shù)問(wèn)題的思考方法，其指導(dǎo)思想是數(shù)形結(jié)合的思想方法，根據(jù)形與數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)數(shù)的問(wèn)題進(jìn)行形的表述，把數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為形的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)圖形的研究來(lái)推出數(shù)的結(jié)論，從而能使解題更加簡(jiǎn)捷、明晰。學(xué)生在動(dòng)手畫(huà)圖和觀察圖形關(guān)系中經(jīng)歷“觀察、實(shí)驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、猜想、歸納、驗(yàn)證”的過(guò)程，學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的能力和水平得到提高，數(shù)形結(jié)合的思想得到滲透和運(yùn)用。數(shù)形結(jié)合是一個(gè)極富有數(shù)學(xué)特色的信息轉(zhuǎn)換，由數(shù)想其形，由形研究數(shù)，數(shù)形互補(bǔ)。這成為溝通代數(shù)幾何的橋梁，對(duì)簡(jiǎn)化解題過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有重要的作用。endprint