一堂空間距離的拓展課

鄭敏鴿

[摘 要] 課堂教學(xué)，知識(shí)的傳播是第一要素. 但僅僅只有知識(shí)的傳播是不夠的，課堂教學(xué)不僅僅是知識(shí)的傳遞，也是與知識(shí)的探討，更是與生命的對(duì)話(huà). 教學(xué)， 應(yīng)讓生命在場(chǎng)，有思考的課堂才能算是真正的課堂.

[關(guān)鍵詞] 探究；類(lèi)比；拓展；延伸

將教材進(jìn)行有效的拓展，進(jìn)行深層次的挖掘含在空間內(nèi)部的本質(zhì)性問(wèn)題，進(jìn)行探索與開(kāi)發(fā)，既能讓學(xué)生真正掌握所涉及的課程內(nèi)容又有利于其探究能力的培養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)的興趣欲，也是提高教師處理課堂教學(xué)能力的有效途徑.

我們來(lái)看一下人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)必修2第四章中的空間兩點(diǎn)間的距離公式：

類(lèi)比平面兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)，你能猜想一下空間兩點(diǎn)P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）的距離公式嗎？

教材利用類(lèi)比方法，通過(guò)平面兩點(diǎn)間的距離推導(dǎo)出了空間兩點(diǎn)間的距離. 立足平面幾何知識(shí)探究空間幾何知識(shí)，這堂課應(yīng)該能引起學(xué)生的求知欲、探索欲，對(duì)知識(shí)的渴望，不僅是廣度的渴望，更是深度的渴望. 學(xué)生對(duì)于平面和空間知識(shí)的關(guān)聯(lián)激起了更大的思考，他們不禁思考：我還能做更多的探究嗎？

立足教材

例：已知A（3，3，1），B（1，0，5），求：到A，B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P（x，y，z）的軌跡方程.

解法一（常規(guī)法）：由題意得AP=BP，

即 = ，

整理得：4x+6y-8z+7=0.

答：點(diǎn)P的軌跡方程為4x+6y-8z+7=0.

提問(wèn)：同學(xué)們能不能類(lèi)比平面知識(shí)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，平面中到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么幾何圖形？猜想一下空間中又是什么幾何圖形？該圖形可以怎么確定？

解法二：從平面知識(shí)可知，到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是一條中垂線，且易知空間直線的中垂線有無(wú)數(shù)條，這無(wú)數(shù)條直線構(gòu)成直線AB的垂直平分面α，設(shè)ax+by+cz+d=0，且α∩面xOy=l1，即l1：ax+by+cz+d=0，z=0，

α∩面xOz=l2，即l2：ax+by+cz+d=0，y=0.

設(shè)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）；可知AB垂直α內(nèi)任何一直線，則AB⊥l1，AB⊥l2.

設(shè)AB在平面xOy內(nèi)的射影為A1B1，由三垂線逆定理可知l1⊥A1B1，

且A1（x1，y1，0），B1（x2，y2，0）. 現(xiàn)把l1，A1，B1看成平面問(wèn)題，即平面xOy，

l1：ax+by+d=0，A1（x1，y1），B1（x2，y2）.

因?yàn)閘1⊥A1B1？圯 = ，l2⊥A1B1 = ，所以 = = （x1≠x2，y1≠y2，z1≠z2）.

又因?yàn)棣潦莑的垂直平分面，

所以 = = ，a +b +c +d=0.

所以本題可以利用以上思想來(lái)解.

設(shè)點(diǎn)P的軌跡方程為：ax+by+cz+d=0，

所以 = = ，a +b +c +d=0， 所以a= b，c=- b，d= b，所以4x+6y-8z+7=0.

例題內(nèi)容延伸

求到點(diǎn)A（0，-1，0）和點(diǎn)B（0，1，0）距離之和為4的點(diǎn)P（x，y，z）的軌跡方程.

解法一（常規(guī)法）：略.

解法二：把點(diǎn)P的軌跡分別討論，

（1）在xOy平面，由橢圓知識(shí)得 + =1；

（2）在yOz平面，得 + =1.

由以上兩點(diǎn)得，x軸與y軸具有同等地位，可以發(fā)現(xiàn)y軸為長(zhǎng)軸，x軸與z軸為短軸，即可以看成把橢圓繞長(zhǎng)軸轉(zhuǎn)一圈.

綜合橢圓知識(shí)，可得 + + =1.

推廣：若 ∥x軸，且AB的中點(diǎn)O（x1，y1，z1），dAB=2c，PA+PB=2a（a>c），則點(diǎn)P（x，y，z） 的軌跡方程為 + + =1.

若 ∥y軸，且AB的中點(diǎn)O（x1，y1，z1），dAB=2c，PA+PB=2a（a>c），則點(diǎn)P（x，y，z）的軌跡方程為 + + =1.

若 ∥z軸，且AB的中點(diǎn)O（x1，y1，z1），dAB=2c，PA+PB=2a（a>c），則點(diǎn)P（x，y，z）的軌跡方程為 + + =1.

那么若到兩點(diǎn)距離之差等于定值的點(diǎn)的軌跡方程呢？也可以用類(lèi)似的思路去推廣，不妨一試.

例題應(yīng)用

《浙江省高考研究卷》理科數(shù)學(xué)（五）——2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試第15題：若1≤x，y，z≤2，且xyz=4，則log x+log y+log z的取值范圍是_________.

分析：利用本堂課的知識(shí)大大降低了本題的難度. 利用換元思想，設(shè)a=log2x，b=log2y，c=log2z，原題即：已知0≤a，b，c≤1，a+b+c=2，求a2+b2+c2的取值范圍. 可知點(diǎn)（a，b，c）的軌跡是有限的平面，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成空間坐標(biāo)原點(diǎn)到有限平面的距離問(wèn)題.

新課改背景下，課堂的高效性是現(xiàn)在眾多教師探索的熱門(mén)話(huà)題，所謂高效性，就是改變以往的灌輸式教育為學(xué)生自主學(xué)習(xí)，學(xué)生要自主地學(xué)好一節(jié)課，興趣又是最好的引導(dǎo)者，所以有趣的拓展知識(shí)或與本知識(shí)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題成為一節(jié)課的亮點(diǎn)，最終會(huì)實(shí)現(xiàn)課堂的有效性. 課堂知識(shí)拓展是必需的，當(dāng)然它同時(shí)又是一門(mén)藝術(shù)，值得所有教師不斷探索.新課程背景下的課堂，不再是推崇學(xué)生問(wèn)自己“這堂課我懂了嗎”，因?yàn)檫@只是體現(xiàn)學(xué)生接受知識(shí)的程度. 而筆者認(rèn)為我們追求的應(yīng)該是“我從課堂學(xué)習(xí)中獲得快樂(lè)了嗎”. 如何讓學(xué)生能在知識(shí)的海洋中獲得快樂(lè)，那必須讓學(xué)生參與其中，體會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題、獲得新知的過(guò)程. 讓學(xué)生成為課堂的主人，讓他們有所問(wèn)，有所求，有所得.