拉伸思維過(guò)程，提高解題認(rèn)識(shí)

楊春梅

[摘 要] 數(shù)學(xué)解題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)需要一定的思維緩沖、思維過(guò)程，這與學(xué)生對(duì)于知識(shí)理解有更為高效的作用. 但是教學(xué)中往往存在這樣的誤區(qū)：教師自身理解不代表學(xué)生理解，而恰恰在思維過(guò)程環(huán)節(jié)存在的跳躍讓學(xué)生失去了解題理解，教學(xué)要加強(qiáng)思維過(guò)程的引導(dǎo)，提升學(xué)生解題的認(rèn)識(shí)和理解.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)；思維過(guò)程；解題；理解；認(rèn)識(shí)；數(shù)列；不等式；向量；函數(shù)

眾做周知，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)依舊是以典型例題為主的題型模式化教學(xué). 隨著知識(shí)抽象程度的加深，試題出現(xiàn)的變換也愈多，因?yàn)橹R(shí)理解不夠透徹導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于知識(shí)運(yùn)用的水準(zhǔn)未有顯著提升，久而久之教學(xué)演變成題型模式化教學(xué)，這一點(diǎn)我們無(wú)可回避. 從解題教學(xué)現(xiàn)狀來(lái)看，教師應(yīng)通過(guò)一定的教學(xué)處理、教學(xué)藝術(shù)將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為學(xué)生可以吸收的知識(shí)，這是教師專業(yè)化可以做的方面.

筆者以為，解題是一種轉(zhuǎn)化，不斷將抽象的、不熟悉的知識(shí)轉(zhuǎn)換為具象的、熟悉的、簡(jiǎn)潔的表述. 從教學(xué)現(xiàn)狀來(lái)看，教師有時(shí)未能將這種轉(zhuǎn)化以通俗易懂的方式向?qū)W生展示，比如抽象函數(shù)定義域是如何一步一步進(jìn)行思維展示的，比如參考資料中的答案是如何從這一步到達(dá)下一步的，比如在這個(gè)問(wèn)題的節(jié)點(diǎn)上是如何向?qū)W生表述清楚的等等. 這些是學(xué)生學(xué)習(xí)中“卡殼”之處，很多學(xué)習(xí)過(guò)程因?yàn)檫@一處的“卡殼”造成學(xué)生的不理解.因此，在教學(xué)過(guò)程中教師如何將這種難點(diǎn)轉(zhuǎn)化為通俗易懂的語(yǔ)言、拉伸學(xué)生的思維過(guò)程，成為解題教學(xué)提高的關(guān)鍵.

深入思考，挖掘思維深度

問(wèn)題1：（抽象函數(shù)學(xué)習(xí)中的線性函數(shù)認(rèn)識(shí)）已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0，f（-1）=-2，則f（x）在區(qū)間[-2，1]上的值域?yàn)開(kāi)___________.

分析：學(xué)生對(duì)于問(wèn)題求解普遍采用了特殊函數(shù)的方式，即令f（x）=kx，利用f（-1）=-2得f（x）=2x，檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)此函數(shù)模型符合上述所有條件，因此可得值域?yàn)閇-4，2]. 這樣的解答方式的確也能得到答案，也無(wú)可厚非，但是對(duì)于學(xué)生思考抽象函數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)并無(wú)多大的益處，也沒(méi)有有針對(duì)性、有目的地增強(qiáng)學(xué)生的思維品質(zhì). 筆者認(rèn)為，對(duì)于抽象函數(shù)的教學(xué)更需要思考問(wèn)題的本質(zhì)，延長(zhǎng)學(xué)生的思維過(guò)程，進(jìn)而認(rèn)識(shí)問(wèn)題的更深層次.

辨思：筆者從三個(gè)方面加深學(xué)生對(duì)此問(wèn)題的理解，其一求函數(shù)值域需要從函數(shù)的什么性質(zhì)入手？其二抽象函數(shù)的單調(diào)性如何判斷證明？最后條件的使用是如何環(huán)環(huán)相扣的，數(shù)學(xué)思想最終的滲透體現(xiàn)在哪里？有了三步臺(tái)階的鋪墊，對(duì)于學(xué)生的思維過(guò)程有了清晰的拉伸，從而獲得更好的解題體驗(yàn).

步驟一：函數(shù)奇偶性的判別與證明

在條件中，令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x），再令x=y=0，則f（0）=2f（0），所以f（0）=0，故f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數(shù).

步驟二：函數(shù)單調(diào)性的判斷：從x>0時(shí)，f（x）>0，f（-1）=-2猜測(cè)函數(shù)是單調(diào)遞增的. 進(jìn)而證明：設(shè)x10，有條件f（x2-x1）>0，知f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1），所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）>0，即f（x1）

步驟三：綜合上述性質(zhì)，可知由f（1）= -f（-1）=2，又f（-2）=2f（-1）=-4，所以f（x）的值域?yàn)閇-4，2].

說(shuō)明：顯然從拉伸思維過(guò)程的角度來(lái)說(shuō)，步驟一中整體思想運(yùn)用的滲透，讓學(xué)生進(jìn)一步理解了抽象函數(shù)問(wèn)題中條件“當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>0”是如何使用的，這是單調(diào)性證明最重要的環(huán)節(jié)，也是思維量最大之處，教師講透這里提高了學(xué)生對(duì)于抽象問(wèn)題中證明單調(diào)性環(huán)節(jié)的解題認(rèn)識(shí)，對(duì)于后續(xù)諸如作差類、作商類等都可以類比學(xué)習(xí).有興趣的讀者可以類比論證：

問(wèn)題：函數(shù)f（x）滿足定義域在（0，+∞）上的函數(shù)，對(duì)于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），當(dāng)且僅當(dāng)x>1時(shí)，f（x）<0成立. （1）設(shè)x，y∈（0，+∞），求證：f =f（y）-f（x）；（2）設(shè)x1，x2∈（0，+∞），若f（x1）

本原驅(qū)動(dòng)，拉長(zhǎng)思維過(guò)程

問(wèn)題2：求證： + +…+ <3（n>2）.

分析：數(shù)列不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，不少教師往往將答案中的解題方式解釋闡述，并未講清為什么這么做？如何實(shí)現(xiàn)這么做？這么做有沒(méi)有通性？這么做為什么不行等等.筆者以本題為例，談一談如何實(shí)現(xiàn)正確的思維過(guò)程.

師：請(qǐng)同學(xué)們思考幾分鐘，然后談?wù)勛约旱南敕?

生1：我發(fā)現(xiàn)數(shù)列 的和不可求，所以我想轉(zhuǎn)化為可求的數(shù)列，但我還沒(méi)有找到這個(gè)數(shù)列.

師：思路很好，但我們?cè)鯓尤ふ疫@個(gè)數(shù)列呢？請(qǐng)同學(xué)們?cè)俅嗡伎? （學(xué)生思考時(shí)教師最好管好自己的嘴，不要過(guò)多的提示，應(yīng)該讓學(xué)生的思維得到充分發(fā)揮，3分鐘后請(qǐng)學(xué)生說(shuō)說(shuō)自己的想法.）

生2：噢！我有辦法了，利用糖水不等式：0< < （m>0）就可以轉(zhuǎn)化為： < < ， <5× + + +…+ <5× = .

生3：這種解法有錯(cuò)誤，第一項(xiàng) < 不成立.

師：很好！那這種方法是否可行？若可行如何進(jìn)行糾錯(cuò)？

生3：糖水不等式成立的前提條件是0< ≤1，但 >1，所以我們應(yīng)該從第二項(xiàng)開(kāi)始放縮：即 ≤2+5× + +…+ <2+5× = <3.

生4：我不是這么想的，我是直接放成 ≤ .

師：你是怎么想到的？

生4：我發(fā)現(xiàn)糖水不等式 < < 對(duì)于n=1時(shí)，左邊是2，所以考慮放得再大點(diǎn) < < < ，所以采用 ≤ 進(jìn)行放縮.

生5：我是用待定系數(shù)法求出的：令 ≤ 結(jié)合目標(biāo)3= 得到.

生6：我也是用待定系數(shù)法求出的，還可以放得更?。毫?≤ （n>1）恒成立，則k≥ = 對(duì)大于1的自然數(shù)恒成立，則k≥ = ，即 ≤ × （n>1）， + + +…+ ≤2+ × < <3.

生7：我的方法與其他同學(xué)都不一樣，我采用 ≤9× - 裂項(xiàng)求和.

師：這種方法很好，你是怎么想到的？

生7：由 = - 類比到 ≤k× - ，k是根據(jù)目標(biāo) 來(lái)確定的.

說(shuō)明：本題的標(biāo)準(zhǔn)解答采用了生4的放縮，但是很多學(xué)生并不理解為什么可以這么放.筆者通過(guò)拉伸問(wèn)題的思維過(guò)程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到其實(shí)這樣的放縮不是一次成功的，是經(jīng)歷了生4的嘗試后才會(huì)想到這樣的放縮，這正是對(duì)于放縮技巧的認(rèn)識(shí)，才有了后續(xù)生6、生7等人不斷的新解法的產(chǎn)生，這樣的解題認(rèn)識(shí)往往會(huì)來(lái)得更為深刻.

本質(zhì)探究，延展思維長(zhǎng)度

問(wèn)題2探究共有三種方法，生3、生4是利用糖水不等式進(jìn)行證明；生5、生6結(jié)合目標(biāo)把數(shù)列放縮成無(wú)窮等比數(shù)列進(jìn)行求解，生7運(yùn)用的是裂項(xiàng)求和，各種求解把數(shù)學(xué)思維過(guò)程暴露得淋漓盡致.無(wú)論哪種方法本質(zhì)上都是把數(shù)列放縮成等比數(shù)列，然后進(jìn)行求和，這個(gè)過(guò)程要保證不能放得太大，在運(yùn)用公式 ≤ （n≥k）時(shí)，如何確定系數(shù)m？筆者認(rèn)為最原始最樸素的方法才是最好的方法. 在教學(xué)中教給學(xué)生一種方法容易，而要使學(xué)生理解本質(zhì)并靈活運(yùn)用卻并非易事. 要讓學(xué)生不僅知其然，更要知其所以然.

問(wèn)題本質(zhì)繼續(xù)探究，延展思維長(zhǎng)度：

師：本題除了能用等比數(shù)列 去放縮，還能否找其他的數(shù)列？

生1：不能，因?yàn)闂l件中含3n.

生2：能，還能選 ≤ .

師：為什么能？

生3：將上式變化得：4·2n≤m（3n-1），該式對(duì)所有的正自然數(shù)恒成立，分離參數(shù)可得m≥4.

師：思路很好！請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉嚕ńo學(xué)生充分時(shí)間）.

生4： + + +…+ ≤ <4放得太大了，所以此方法不行.

師：這種方法真的不行嗎？

生5：利用案例1的想法，保留第1項(xiàng)、第2項(xiàng)、第3項(xiàng)不動(dòng)，從第4項(xiàng)開(kāi)始放縮.

師：大家再試試看.

學(xué)生： + + +…+ ≤2+ + + <2+ + + <3.

師：還能用其他等比數(shù)列放縮嗎？

生6：我知道了，選擇 ≤ ，只要1

師：你是怎么想到的？

生6：我從變化率看到的，an的變化要比3n的變化慢，所以1

師：那你們認(rèn)為數(shù)列放縮的本質(zhì)是什么？

學(xué)生：找一個(gè)可求和的數(shù)列去逼近它.有些從第1項(xiàng)開(kāi)始放，有些從第2項(xiàng)開(kāi)始，有些甚至從第m項(xiàng)開(kāi)始，這要看選擇的數(shù)列和放縮目標(biāo).

說(shuō)明：通過(guò)繼續(xù)思考，讓學(xué)生對(duì)于放縮的認(rèn)識(shí)來(lái)得更為深刻，也緊緊地抓住了放縮的本質(zhì)——找一個(gè)逼近數(shù)列完成放縮.

總之，對(duì)于數(shù)學(xué)解題中的難點(diǎn)，教師要善于找到切入點(diǎn)，要從核心難點(diǎn)中挖掘培養(yǎng)思維的關(guān)鍵，讓學(xué)生拉伸對(duì)于難點(diǎn)思維的過(guò)程，進(jìn)而獲得更多的解題認(rèn)識(shí)，提高解題素養(yǎng).