幫助學(xué)生探明算理的五種方法

徐宏臻

算理是算法的依據(jù)，它指導(dǎo)著算法；算法是算理的體現(xiàn)，它外顯著算理。在計(jì)算教學(xué)的起始階段，必須切實(shí)重視算理的教學(xué)，做到“理”為先、“理”為要、“理”充分。教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)、教學(xué)對(duì)象的差異等，采取多種方法幫助學(xué)生探明算理，并逐步掌握探理方法，發(fā)展自主探究能力。幫助學(xué)生探明算理的方法有很多，現(xiàn)結(jié)合一些教學(xué)實(shí)例，簡(jiǎn)介五種，供大家教學(xué)時(shí)參考和運(yùn)用。

一、 操作法

新課標(biāo)重視學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，重視實(shí)踐能力的培養(yǎng)。操作是學(xué)生探明算理的重要途徑，在運(yùn)用時(shí)，我們要讓學(xué)生的操作充分、聚焦且提升，逐步從具體操作向形象操作和符號(hào)操作過(guò)渡。教師須要明確，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，操作不是最終目的，發(fā)展思維才是根本。所以，我們既要切實(shí)重視操作，又要逐步擺脫操作，并適時(shí)超越操作，以逐步提高學(xué)生的抽象思維水平。

在教學(xué)蘇教版（以下均為蘇教版）《數(shù)學(xué)》三年級(jí)上冊(cè)“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算除法”例3時(shí)，筆者讓學(xué)生依據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，先自主探究算理，再根據(jù)需要有目的、有次序地展示和交流學(xué)生探究出的多種算法，以使學(xué)生的思維拾級(jí)而上，逐步提升。先展示在主題圖上的圈一圈、分一分：學(xué)生把4筒羽毛球和6個(gè)羽毛球分別平均分成2份，發(fā)現(xiàn)每份都是2筒和3個(gè)，合起來(lái)每份是23。再展示用小棒代替羽毛球的擺一擺、分一分，學(xué)生先把4捆小棒平均分成兩份，每份是2捆，再把6根平均分成兩份，每份是3根，合起來(lái)每份是23。接著展示在計(jì)數(shù)器上的畫(huà)一畫(huà)、分一分：先把十位上4個(gè)珠子平均分成兩份，每份是2個(gè)珠子，再把個(gè)位上6個(gè)珠子平均分成兩份，每份是3個(gè)珠子，合起來(lái)每份是23。最后，引導(dǎo)學(xué)生聚焦這三種操作的共同點(diǎn)：先把4個(gè)十平均分成兩份，再把6個(gè)一平均分成兩份，最后把兩次分得的結(jié)果合并，即先算40÷2=20，再算6÷2=3，最后算20+3=23。

僅從一例就引導(dǎo)學(xué)生概括算法，筆者認(rèn)為還不夠充分。為此，筆者又讓學(xué)生看著除法算式（如48÷4，246÷2等），先估一估商，再想像分小棒的過(guò)程和步驟，想像在計(jì)數(shù)器上均分珠子的情況，最后分別用課件進(jìn)行演示，以驗(yàn)證想像。如讓學(xué)生看著246÷2，估計(jì)商大約是一百多，并在腦中想像分小棒的情況，即先把兩大捆（2個(gè)百）平均分成兩份，每份得一大捆（1個(gè)百），再把4小捆（4個(gè)十）平均分成兩份，每份得2小捆（2個(gè)十），最后把6根（6個(gè)一）平均分成兩份，每份得3根（3個(gè)一），合起來(lái)每份是123。接著，想像并口述在計(jì)算器上均分珠子的情況。這樣，學(xué)生從中明顯感到：48÷4，246÷2等都可以先從高位分起，再依次往下分。

在充分操作的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生再次聚焦和討論：兩位數(shù)除以一位數(shù)都是先分什么，再分什么？三位數(shù)除以一位數(shù)是先分什么，再分什么，最后分什么？在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生嘗試看著除法算式直接口算出商。這樣就為學(xué)生積累了較多的先從高位除起，再依次往下除的感性認(rèn)識(shí)，為逐步抽象算法和列豎式奠定了充足且堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，便于學(xué)生從動(dòng)手操作逐步過(guò)渡到形象操作和符號(hào)操作上來(lái)，發(fā)展抽象思維能力。尤其是在計(jì)數(shù)器上均分珠子，更有利于學(xué)生借助操作的過(guò)程解釋算理，理解除法豎式的意義，可以說(shuō)是形象操作到符號(hào)操作之間的一座極好的橋梁。

二、畫(huà)圖法

新課標(biāo)重視學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)，指出：借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。實(shí)踐證明，畫(huà)圖法在各年級(jí)計(jì)算教學(xué)中都有著獨(dú)特和神奇的作用，它可以幫助學(xué)生理解數(shù)的意義和組成，外化算式的含義和算理，使算理形象化、可視化。對(duì)于一些難以說(shuō)明的算理，借助畫(huà)圖法可以化晦澀難懂為通俗易懂。

教學(xué)《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)“商不變的規(guī)律”，在讓學(xué)生自己找一些例子，算一算、比一比，看商有沒(méi)有變化時(shí)，總會(huì)遇到這樣的尷尬：一些學(xué)生舉出除數(shù)是三位數(shù)或四位數(shù)，如根據(jù)100÷20，舉出800÷160等，或者舉出被除數(shù)不能被除數(shù)除盡的例子，如根據(jù)100÷20，舉出（100÷6）÷（20÷6）等。學(xué)生或說(shuō)，不會(huì)除，沒(méi)法驗(yàn)證；或說(shuō)，除不盡，沒(méi)法驗(yàn)證。此時(shí)，教師常常不知所措，難以跟學(xué)生說(shuō)清道理。盡管說(shuō)了“商不變的規(guī)律永遠(yuǎn)是成立的，但以你們現(xiàn)在所學(xué)的知識(shí)還不能解決這樣的問(wèn)題，等到了六年級(jí)就會(huì)計(jì)算了”，但學(xué)生半信半疑。怎么辦？借助畫(huà)圖可以講明其中的道理。

設(shè)一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是100平方厘米，長(zhǎng)是20厘米，寬是多少厘米？列式是100÷20=5（厘米）。如果用兩個(gè)這樣的長(zhǎng)方形沿著長(zhǎng)拼在一起，成為一個(gè)大長(zhǎng)方形，從中明顯看出長(zhǎng)方形的面積乘2，長(zhǎng)也跟著乘2，但寬保持不變，即（100×2）÷（20×2）=5（厘米）。同樣，用這樣的3個(gè)、4個(gè)……長(zhǎng)方形分別沿著長(zhǎng)拼在一起，成為一個(gè)個(gè)大長(zhǎng)方形：從中明顯看出，長(zhǎng)方形的面積分別乘3、4……長(zhǎng)也跟著乘3、4……但寬始終保持不變。由此可以推想到：如果長(zhǎng)方形的面積和長(zhǎng)同時(shí)乘一個(gè)相同的數(shù)（0除外），寬保持不變。順勢(shì)推導(dǎo)到：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘一個(gè)相同的數(shù)（0除外），商不變。從而巧妙地化解了除數(shù)是三位數(shù)或四位數(shù)的情況。反過(guò)來(lái)，如果把原來(lái)的長(zhǎng)方形對(duì)折一次，面積是原來(lái)的一半，長(zhǎng)也是原來(lái)的一半，但寬保持不變。同樣，如果把原來(lái)的長(zhǎng)方形分別連續(xù)對(duì)折2次、3次……長(zhǎng)方形面積分別被除以4、8……長(zhǎng)也跟著被除以4、8……但始終寬保持不變。學(xué)生容易推想到：如果長(zhǎng)方形的面積和長(zhǎng)同時(shí)除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），寬始終保持不變。再把上述拼接得到的算式分別與100÷20=5一一作比較，學(xué)生容易得到：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），商不變。

面對(duì)（100÷6）÷（20÷6），可以讓學(xué)生想像，并推理得到：當(dāng)把大長(zhǎng)方形的面積平均分成6份時(shí)，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)也被平均分成6份，但寬保持不變，即（100÷6）÷（20÷6）=5（厘米）。當(dāng)然，對(duì)于其他除法算式也可以引導(dǎo)學(xué)生借圖類(lèi)推。這樣，數(shù)與形結(jié)合、想像與推理結(jié)合，就巧妙地避開(kāi)了繁難的計(jì)算，有效地化解了教學(xué)尷尬，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)、理解和掌握規(guī)律。

三、情境法

新課標(biāo)要求課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索，要求重視學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)，處理好直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系，從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)建構(gòu)新知。學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)是極其寶貴的教學(xué)資源，許多生活事理為學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律等提供了現(xiàn)實(shí)的原型支撐。對(duì)于一些較難理解且易混淆的算理，我們還可以賦予算式現(xiàn)實(shí)意義，通過(guò)創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的情境，幫助學(xué)生借助生活事理理解數(shù)學(xué)算理，并逐步實(shí)現(xiàn)對(duì)情境的超越。

在教學(xué)《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)“運(yùn)算律”時(shí)，一些學(xué)生對(duì)如何簡(jiǎn)便計(jì)算168+98，168-98，168-102等算式，經(jīng)?；煜磺?，錯(cuò)誤百出。盡管有些教師跟學(xué)生反復(fù)講減號(hào)后面如果有括號(hào)，去括號(hào)后括號(hào)里面的數(shù)如何變號(hào)等，但學(xué)生仍然很茫然，即使暫時(shí)記住了，但很快又會(huì)遺忘。這時(shí)，我們可以用學(xué)生熟悉的付錢(qián)和找錢(qián)的事理來(lái)幫其理解其中的算理。如對(duì)于168+98，可以這樣編故事：小英身上原有168元，媽媽又給她98元?，F(xiàn)在她一共有多少元？老師問(wèn)：當(dāng)媽媽給她100元時(shí)，小英會(huì)怎樣做？學(xué)生說(shuō)：小英會(huì)找給媽媽2元，因?yàn)閶寢尪嘟o了2元。于是得到：168+98=168+（100-2）=168+100-2。在此基礎(chǔ)上，再借助多個(gè)類(lèi)似的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生逐步理解和掌握a+（b-c）=a+b-c。對(duì)于168-98，可以這樣編故事：小英身上原有168元，給媽媽98元后，還剩多少元？老師問(wèn)：當(dāng)小英付給媽媽100元時(shí)，媽媽會(huì)怎樣做？學(xué)生說(shuō)：媽媽會(huì)找給小英2元，因?yàn)樾∮⒍嘟o了2元。于是得到：168-98=168-（100-2）=168-100+2。在此基礎(chǔ)上，再借助多個(gè)類(lèi)似的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生逐步理解和掌握a-（b-c）=a-b+c。對(duì)于168-102，可以這樣編故事：小英身上原有168元，給媽媽102元后，現(xiàn)在還剩多少元？老師問(wèn)：小英一般會(huì)怎樣付錢(qián)？學(xué)生說(shuō)：一般會(huì)先給100元，再給2元。于是得到：168-102=168-（100+2）=168-100-2。在此基礎(chǔ)上，再借助多個(gè)類(lèi)似的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生逐步理解和掌握a-（b+c）=a-b-c。

這樣，借助學(xué)生熟悉的、易懂的生活事理幫其領(lǐng)悟其中深?yuàn)W的、難懂的算理，學(xué)生就易于理解和掌握，不易混淆。在算法迷糊時(shí)，他們就會(huì)自覺(jué)地嘗試編情境故事，賦予算式以現(xiàn)實(shí)意義，從而借助生活情境探明算理，生成算法。

四、遷移法

新課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注意知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。遷移法就是利用學(xué)生原有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)中可以類(lèi)比的成分，加以遷移運(yùn)用，構(gòu)成一個(gè)一以貫之的算理體系，從而幫助學(xué)生探明和理解算理，掌握算法。運(yùn)用的關(guān)鍵是找到前后算理的相關(guān)性。

這樣，就把相關(guān)的算理有機(jī)地串聯(lián)起來(lái)，形成一個(gè)有意義的算理體系，便于學(xué)生遷移和運(yùn)用。學(xué)生從中能更深刻地體悟到數(shù)學(xué)思想方法的一致性：只有在計(jì)數(shù)（或計(jì)量）單位相同時(shí)，才可以把計(jì)數(shù)（計(jì)量）單位的個(gè)數(shù)直接相加、減，如果不同，就要設(shè)法先把計(jì)數(shù)（計(jì)量）單位轉(zhuǎn)化成相同的，然后再加、減。

五、演繹法

根據(jù)小學(xué)生的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知水平，教材在編寫(xiě)時(shí)，往往會(huì)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)幾個(gè)具體的、典型的例子，進(jìn)行算理歸納和算法抽象，采用的是合情推理中的不完全歸納法，但不完全歸納法得出的結(jié)論具有或然性。隨著學(xué)生知識(shí)的增多和年級(jí)的升高，筆者認(rèn)為，我們應(yīng)該在側(cè)重合情推理的同時(shí)，適時(shí)、適度地引進(jìn)演繹推理，并把兩者有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生經(jīng)歷完整的探理過(guò)程，從而明確算理，學(xué)會(huì)探究。尤其是對(duì)那些難以通過(guò)操作、畫(huà)圖和情境等探明算理的，更應(yīng)如此。

當(dāng)然，上述五法并不是相互獨(dú)立的，而是密切聯(lián)系的，它們都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、推理、建模等數(shù)學(xué)思想，都是把未知轉(zhuǎn)化為已知，根據(jù)已知求得未知的?？梢哉f(shuō)，操作法、畫(huà)圖法以及情境法是轉(zhuǎn)化和推理的形象模型，遷移法以及演繹法是推理和轉(zhuǎn)化的直接運(yùn)用。教學(xué)中，我們要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種方法探明算理，并感悟其中的數(shù)學(xué)思想方法，把學(xué)生的思維水平逐步從動(dòng)作思維引向形象思維和抽象思維，以提升其數(shù)學(xué)思維水平，增強(qiáng)其自主解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的本領(lǐng)。

[責(zé)任編輯：陳國(guó)慶]