怎樣學(xué)好“二次函數(shù)”

王燕

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué)；“二次函數(shù)”；策略

【中圖分類(lèi)號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A

【文章編號(hào)】 1004—0463（2017）12—0119—01

二次函數(shù)是初中升高中必考的重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).其中涉及到五大學(xué)習(xí)目標(biāo)： 會(huì)求函數(shù)解析式、會(huì)畫(huà)函數(shù)圖象、了解圖象性質(zhì)、會(huì)平移圖象、會(huì)把一般式配方成頂點(diǎn)式，更涉及了許多思想方法.那么，如何幫助學(xué)生學(xué)好二次函數(shù)呢？下面，筆者談?wù)勛约旱目捶?

一、理解二次函數(shù)的內(nèi)涵及本質(zhì)

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常數(shù)）中含有兩個(gè)變量x、y，只要先確定其中一個(gè)變量，就可利用解析式求出另一個(gè)變量，即得到一組解.而一組解就是一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，實(shí)際上二次函數(shù)的圖象就是由無(wú)數(shù)個(gè)這樣的點(diǎn)構(gòu)成的圖形.若圖象上某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m（字母），那縱坐標(biāo)可表示成y=am2+bm+c.

例1 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出下列函數(shù)圖象并觀察其有何變化規(guī)律？

①y=x2 ②y=x2+2 ③y=（x-3）2 ④y=（x-3）2+2

引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察→思考，從圖象上可以很容易發(fā)現(xiàn)它們之間的變化規(guī)律：

從它們的圖象上可知其形狀大小一致都是拋物線(xiàn)，只是位置改變了，其變化規(guī)律其方法：就是用x→x-h即設(shè)x=x-h.

∵y=ax2的對(duì)稱(chēng)軸是y軸即直線(xiàn)x=0.

∴當(dāng)x=0時(shí)，有 x=x-h=0.

即y=a（x-h）2的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=h頂點(diǎn)是（h，k）.

二、熟悉幾個(gè)特殊型二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

1. 通過(guò)描點(diǎn)，觀察y=ax2、y=ax2+k、y=a（x+h）2圖象的形狀及位置，對(duì)各自圖象的基本特征.反之，根據(jù)圖象的特征能迅速判定它是哪一種解析式.

2. 理解圖象的平移口訣“括號(hào)內(nèi)加減左右移，括號(hào)外加減上下移”.y=ax2→y=a（x+h）2+k “括號(hào)外加減上下移”是針對(duì)k而言的，“括號(hào)內(nèi)加減左右移”是針對(duì)h而言的.總之，如果兩個(gè)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)相同，則它們的拋物線(xiàn)形狀相同.由于頂點(diǎn)坐標(biāo)不同，所以位置不同，而拋物線(xiàn)的平移實(shí)質(zhì)上是頂點(diǎn)的平移.如果拋物線(xiàn)是一般形式，應(yīng)先化為頂點(diǎn)式再平移.平移時(shí)要區(qū)分清楚是在括號(hào)內(nèi)加減，還是在括號(hào)外加減.

3. 通過(guò)描點(diǎn)畫(huà)圖、圖象平移，理解并明確解析式的特征與圖象的特征是完全相對(duì)應(yīng)的.我們?cè)诮忸}時(shí)要做到胸中有圖，看到函數(shù)就能在頭腦中構(gòu)畫(huà)出它的圖象，并知道圖象的基本特征，這才能在真正意義上做到數(shù)形結(jié)合.

4. 在熟悉函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、分析拋物線(xiàn)的特征，來(lái)理解二次函數(shù)的增減性、極值等性質(zhì)；利用圖象來(lái)判別二次函數(shù)的系數(shù)a、b、c、？駐以及由系數(shù)組成的代數(shù)式的符號(hào)等.在遇到比較復(fù)雜的代數(shù)式的符號(hào)判斷時(shí)，可采用特殊值法處理.

三、靈活應(yīng)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是求解析式時(shí)最常規(guī)有效的方法.求解析式時(shí)往往可選擇多種方法，如已知三個(gè)一般條件，可將函數(shù)關(guān)系式設(shè)為一般式；如已知頂點(diǎn)的任何一個(gè)坐標(biāo)，可將函數(shù)關(guān)系式設(shè)為頂點(diǎn)式；如已知兩交點(diǎn)坐標(biāo)，可將函數(shù)關(guān)系式設(shè)為交點(diǎn)式；如頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸或原點(diǎn)時(shí)，可將函數(shù)關(guān)系式設(shè)為特殊式等.如能綜合利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，不僅可以簡(jiǎn)化計(jì)算，而且對(duì)進(jìn)一步理解二次函數(shù)的本質(zhì)及數(shù)與形的關(guān)系大有裨益.

例2 某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣(mài)出300件.市場(chǎng)調(diào)查反映 ：如調(diào)整價(jià)格每漲價(jià)1元，每星期要少賣(mài)出10件，每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)出20件.已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利率最大？

分析：利用關(guān)系式：總利潤(rùn)=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）/件×總售量（件），而題目中所求定價(jià)又包括漲價(jià)和降價(jià)兩種情況，故數(shù)量關(guān)系復(fù)雜.學(xué)生很難分析、理解，并找出題目中的數(shù)量關(guān)系.若采用“列表分析法”，能有效快速提高解題能力.

解：（略）

編輯：謝穎麗